hepnotYüzde problemleri: hangi miktar yüzde yüz?
Konunun mantığı
Yüzde bir oranı yüz eş parçaya göre ifade eder: %p=p/100. “Hangi miktarın yüzdesi?” sorusu tabanı belirler. Pozitif bir x miktarının %p’si x·p/100 olur. Bir oranı başka bir miktara taşırken tabanın aynı kalıp kalmadığını yaz; yalnız yüzde sayısını görmek yeterli değildir.
Pozitif başlangıç x, %p artıştan sonra x(1+p/100) olur. %p azaltma veya indirimde x(1−p/100) kullanılır; miktarın negatif olmayacağı bu basit modelde 0≤p≤100 alınır. Bunlar değişen miktarı başlangıca ekleme/çıkarma işleminin kısaltmasıdır. Yüzde değişimle mutlak miktar değişimini birbirine karıştırma.
Ardışık iki değişimde ikinci yüzde genellikle ara değerin yüzdesidir. Bu yüzden çarpanlar çarpılır. %10 artış ardından %10 azalış için 1,10×0,90=0,99; başlangıca dönüş olmaz. Sabit tabana göre belirtilen iki ayrı pay ise başka modeldir. Ayrıca bir oranın %40 tan%50 ye çıkması 10 yüzde puan, başlangıç oranına göre%25 artıştır; iki ifade farklıdır.
Ters hesapta son değer başlangıç çarpanı ile ilişkilendirilir. %20 azalma sonrası y=0,80 x ise x=y/0,80 bulunur; y’ye %20 eklemek bu işlemi tersine çevirmez. Çarpan sıfırsa tersinden tek bir başlangıç bulunamaz: %100 azalmayla sıfıra inen çok farklı başlangıçlar olabilir.
“A, B’den yüzde kaç az?” sorusunda fark B’ye bölünür; “B, A’dan yüzde kaç fazla?” sorusunda A’ya bölünür. Pozitif tabanlar farklı olduğu için yüzdeler genellikle eşit değildir. Başlangıç veya karşılaştırma tabanı sıfırsa bu oranı doğrudan tanımlayamazsın. Sonuç kontrolünde tabanı, ara değeri, kullanılan çarpanı ve birimi birlikte yaz.
Önce yüzde yüz kabul edilen tabanı yaz. Artış çarpanı 1+p/100, azalış çarpanı 1−p/100. Ardışık değişimde çarpanlar çarpılır; ters hesapta son değer sıfır olmayan çarpana bölünür. Fark/karşılaştırma tabanı yüzdesi yön değişince aynı kalmaz.
Adım adım bir örnek
Bir model miktarı 500 birimden önce%12 artırılıyor, sonra ara değerden%25 azaltılıyor. Son miktarı iki yolla bulunuz.
Ara miktarları ayrı hesapla
- İlk artış 500×0,12=60; ara miktar 560.
- İkinci azalış 560×0,25=140; son miktar 560−140=420.
Sınır: İkinci%25 başlangıç 500 üzerinden değil, ara 560 üzerinden uygulanır.
Çarpanlarla tek ifade kur
- Son miktar 500×1,12×0,75 olarak yazılır.
- 1,12×0,75=0,84;500×0,84=420.
Sınır: Bu iki temsil aynı ardışık değişim modelini kullanır; sabit tabanlı payların doğrudan toplamı için körlemesine uygulanmaz.
İlk yoldaki 140 azalışı ikinci yolda hangi çarpan temsil ediyor? Son değer başlangıca göre neden%13 değil%16 azalmıştır?
Hatayı bul
“Bir miktarı%20azaltıp sonra%20artırırsam aynı miktara dönerim.” akıl yürütmesinin ilk hatası nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: İkinci değişimde yüzde tabanının azalttıktan sonraki miktar olduğunu dikkate almamak.
Başlangıç 100 ise önce 80 kalır; sonra 80 in%20 si 16 eklenir ve 96 olur. Genel çarpan 0,80×1,20=0,96 dır.
İlk soruda ikinci%10 artışın açıkça başlangıçtaki 240 litrenin%10 u olduğu söylense son miktar nasıl değişirdi?
İlk azalış sonrası 204 litreye başlangıcın%10 u olan 24 litre eklenirdi;228 litre olurdu. Değişen koşul ikinci yüzdenin tabanıdır.
Dersin soruları
1240 litrelik bir miktar önce%15 azaltılıyor; sonra kalan miktar%10 artırılıyor. Başka değişim yoksa son miktar kaç litredir?
Bu soruda hata mı var?2Bir numunenin kütlesi%25 azaltılınca 180 gram kalıyor. Başlangıç kütlesi kaç gramdır?
Bu soruda hata mı var?3X çubuğu 120 cm, Y çubuğu 150 cm uzunluğunda. X, Y’ye göre yüzde kaç daha kısadır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir okulda 500 öğrenci vardır. Öğrencilerin %30’u robotik kulübüne üyedir ve kulüp üyelerinin %40’ı kızdır. Robotik kulübündeki kız öğrenci sayısı kaçtır?
2Bir göldeki su hacmi her yıl, o yılın başındaki hacmin %10’u kadar azalıyor. Başka değişim olmadığına göre 3 yıl sonunda hacim, ilk hacme göre yüzde kaç azalmış olur?
3Bir kumaşın fiyatına önce %25 indirim, ardından yeni fiyat üzerinden %20 indirim uygulanıyor ve ödenen tutar 330 TL oluyor. İndirimsiz ilk fiyat kaç TL’dir?
4Ali’nin puanı Veli’nin puanından %40 fazladır. Veli’nin puanı Ali’ninkinden yüzde kaç azdır? (Sonucu virgülden sonra bir basamağa yuvarlayın.)
5İki makineden A, B’den %25 fazla parça üretiyor; ikisi birlikte günde 630 parça üretiyor. A makinesi günde kaç parça üretir?
6Bir adayın anket desteği %32’den %40’a çıkıyor. Bu değişim için hangi ifade doğrudur?
7Bir ürüne önce %25 zam yapılıyor, ardından yeni fiyattan yüzde kaç indirim yapılırsa ürünün son fiyatı ilk fiyatından %10 fazla olur?
8Bir sınıfta 200 öğrencinin %10’u gözlüklüdür. Sınıfa gözlüksüz 50 öğrenci daha katılıyor. Gözlüklü öğrencilerin yeni toplamdaki yüzdesi kaçtır?
9Bir ürüne uygulanan özel tüketim vergisi oranı %20’den %50’ye çıkarılıyor. Vergili fiyat, vergisiz fiyatın (1 + vergi oranı) katıdır. Vergisiz fiyat 100 TL ise vergili fiyat yüzde kaç artar?
10Aynı ürün iki mağazada 200 TL etiketle satılıyor. A mağazası önce %20, ardından yeni fiyat üzerinden %10 indirim yapıyor; B mağazası tek seferde %30 indirim yapıyor. A mağazasında ödenen tutar eksi B mağazasında ödenen tutar kaç TL’dir?
Aklında kaldı mı?
%pazalma sonrası başlangıcı geri bulurken neden son değere%peklemek yetmez?
Azalış başlangıç üzerinden, eklenen artış son değer üzerinden hesaplanır. Son değeri 1−p/100 çarpanına bölmek gerekir; çarpan 0 olmamalıdır.
A,B’den%25 fazlaysa B,A’dan da%25 az mıdır?
Genellikle hayır. Örneğin B=100,A=125 ise fark 25 tir; B’nin A’ya göre eksikliği 25/125=%20 olur. Karşılaştırma tabanı değişmiştir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.