hepnotAçıklık ve tanımlanmış standart sapmayla yayılım
Konunun mantığı
Merkez ölçüsü verilerin nerede toplandığını,yayılım ölçüsü ise ne kadar dağıldığını özetler. Boş olmayan sayısal listede açıklık R=en büyük−en küçük değerdir;birimi veriyle aynıdır. Yalnız iki uç kullanıldığı için aradaki değerlerin farklılaşmasını kaçırabilir. Aynı ortalama aynı açıklık veya aynı standart sapma demek değildir. Sayısal yayılımı insanların genel yeteneği/başarısı veya gelecekteki risk hakkında tek başına kesin hükme dönüştürmeyiz.
Bu derste MEBde açılıp okunan tanımla n≥2 gözlem için s=√[Σ(xi−x̄)²/(n−1)] kullanılacaktır. Önce ortalama,sonra her farkın karesi,toplam,n−1e bölme ve en son karekök. Son karekök atlanırsa bulunan s²varyanstır,standart sapma değil. n=1bu tanımla hesaplanamaz. Sonlu bir kitleyi bütünüyle betimlerken farklı bir tanımda n ile bölünen σ=√[Σ(xi−x̄)²/n]kullanılır;bu iki tanımı sessizce değiştirmeyiz. Buradaki kurmaca listelerde n−1kullanımı tanımlanmış hesap kuralıdır,bir toplumdan rastgele örneklem toplandığı iddiası değildir.
Farkların toplamı0olduğu için doğrudan farkları toplayarak yayılım ölçülmez;pozitif ve negatifler birbirini götürür. Kareler ise negatif değildir;bu tanımla s≥0ve yalnız bütün veriler eşitse0olur. Verinin birimi metre ise fark karesi m²,varyans m²ve s metre birimindedir. Büyük sapmalar karede daha fazla ağırlık kazanır;bir uç değer s ve açıklığı güçlü etkileyebilir. Küçük s listede ortalamaya göre daha az kareli yayılım anlatır;her gözlemin öteki grubun her gözleminden daha yakın olduğunu tek tek garanti etmez.
Bütün verilere aynı b eklenirse yeni ortalama x̄+b,hazır farklar(xi+b)−(x̄+b)=xi−x̄olur. Böylece açıklık ve s değişmez. Tüm veriler a ile çarpılırsa farklar a katına,kare toplamı a²katına ve s |a|katına çıkar;R de |a|katına çıkar. Negatif a sırayı ters çevirse de yayılım negatif olmaz. a=0bütün veriyi aynı değere toplar,R=s=0. Yeni y=a x+bbiçiminde x̄y=a x̄+b,Ry=|a|Rx,sy=|a|sx. Bu genel sonuç aynı n ve aynı payda tanımının korunmasıyla cebirden çıkar.
Aynı merkezli gruplarda s karşılaştırması hesaplanan ortalama çevresindeki kareli yayılımı ayırır;aynı açıklık da tek başına syi belirlemez. Hesap için eşdeğer kısa yolΣ(xi−x̄)²=Σxi²−n x̄²kullanılabilir;dağıtma veΣxi=n x̄ile genel olarak gerekçelendirilir. Sonlu örnek denemesi bu özdeşliğin veya dönüşüm kuralının genel ispatı değildir. Yuvarlama gerekiyorsa ara adımlarda aşırı yuvarlamadan kaçın;sorular tam köklü değerlerle kurulmuştur. Bu ders örnekleme belirsizliği,standart hata ve bütün istatistiksel çıkarımı tamamlamaz.
R=max−min. Bu derste n≥2için s=√[Σ(x−x̄)²/(n−1)];n paydalı kitle tanımıyla karıştırma. y=a x+biçin ortalama a x̄+b,yayılımlar |a|katı;ötelemede yayılım sabit.
Adım adım bir örnek
Kurmaca A veri listesi2,5,8;B listesi1,5,9. Birimleri aynı. Her ikisinde s=√[Σ(x−x̄)²/(n−1)]tanımlı. Merkez ve yayılımları karşılaştırın.
Merkezden farkların kareleri
- İki ortalama da5. A açıklığı6,B açıklığı8.
- A farkları−3,0,3;kare toplamı18. B farkları−4,0,4;kare toplamı32.
- n−1=2:sA=√9=3,sB=√16=4. Aynı merkezli B daha büyük bu yayılım ölçülerine sahip.
Sınır: Bu üçlüler için hesaplanan sonuç,gelecekteki bütün gözlemler veya bir insan grubunun başarısı hakkında hüküm değildir.
Kare toplamı özdeşliği
- A kare toplamı4+25+64=93;Bnin1+25+81=107.
- n x̄²=3·25=75. Merkezden kare toplamları93−75=18,107−75=32.
- 2ye bölüp kök alınca yine3ve4. Özdeşlik açılımla bütün sonlu gerçek listelerde doğrulanır.
Sınır: n−1paydası son aşamada korunur;Σxi²tek başına yayılım değildir ve ortalamanın katkısı çıkarılmalıdır.
Açıklık bu örnekte doğru sıralasa da neden her zaman tek başına s değerini vermez? İki yöntemde75terimi neyi ayırıyor?
Hatayı bul
“Farkların toplamı0çıktı;standart sapma da0dır. Ayrıca n−1yerine nyazsam aynı şey.” İlk sorun nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: İşaretli farkların toplamını,fark karelerinin toplamıyla karıştırmak.
Standart sapmada önce her farkın karesi alınır;zıt farklar birbirini götürmez. Bu derste tanımlı payda n−1dir;n kullanımı farklı bir ölçü tanımı verir. s=0olması n≥2için tüm verilerin eşit olmasını gerektirir.
Çalışılmış A=2,5,8listesinde MEBkuralı s²=Σfark²/(n−1)yerine bütün listeyi betimleyen σ²=Σfark²/nölçüsü açıkça seçilse hangi sayı değişir? Bu yeni bir gözlem eklemek midir?
Aynı liste/ortalama5/açıklık6ve kare toplamı18kalır. s²=18/2=9,s=3iken σ²=18/3=6,σ=√6olur. Gözlem eklenmez;tanım değişir. İki sayıyı aynı ad altında sessizce karıştırmak veya eski soruda n−1yerine nkullanmak uygun değildir.
Dersin soruları
11,3,5listesinde s=√[Σ(x−x̄)²/(n−1)]kuralı kullanılacak. (Açıklık R;standart sapma s)ikilisi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2I:0,0,6,6ve II:0,3,3,6listeleri için aynı s=√[Σ(x−x̄)²/(n−1)]kuralı var. Hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?3n≥2li bir kurmaca veri grubunda ortalama5,açıklık6ve n−1paydalı standart sapma3. Her değer y=−2x+7ile değiştiriliyor;aynı gözlem sayısı ve aynı s tanımı korunuyor. Yeni(ortalama;açıklık;s)hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir mağazada altı günde satılan ürün adetleri sırasıyla 14, 9, 21, 17, 9 ve 12’dir. Satış adetlerinin açıklığı kaçtır?
2A ve B listelerinin her biri n=5 ölçüm içerir; n−1 paydalı standart sapmaları sA=0,2 ve sB=0,3’tür. Başka bilgi yokken yalnızca bundan hangisi kesin olarak söylenebilir?
3Dört ölçümün ortalamadan farkları −3, −1, 2 ve d’dir. n−1 paydalı standart sapma kaçtır?
4Bir listede uzunluklar metre cinsindendir: ortalama 1,5 m, açıklık 0,8 m ve standart sapma (n−1 paydalı) 0,2 m. Tüm değerler santimetreye çevrildiğinde (ortalama ; açıklık ; standart sapma) üçlüsü hangisi olur?
5Bir termometre listesi °C cinsindendir: ortalama 22, açıklık 6 ve standart sapma (n−1 paydalı) 1,5. Değerler kelvine (K = °C + 273,15) çevrilirse (ortalama ; açıklık ; standart sapma) hangisi olur?
6Altı gözlemin toplamı 30, kareleri toplamı 190’dır. n−1 paydalı standart sapma kaçtır?
7U: 4, 4, 4, 4, 14 ve V: 0, 6, 6, 6, 12 listelerinin ortalamaları 6’dır; n−1 paydalı standart sapmaları sU=√20 ve sV=√18’dir. Hangisi doğrudur?
8Bir listede 0 değeri 1 kez, 3 değeri 2 kez ve 7 değeri 2 kez gözlenmiştir. n−1 paydalı standart sapma kaçtır?
9Bir listede 4, 6 ve 8 ölçümleri vardır. Listeye ortalamaya eşit olan 6 ölçümü de eklenince oluşan dört ölçümlük listenin (açıklık ; n−1 paydalı standart sapma) ikilisi hangisidir?
10Bir listeye y=−3x+10 dönüşümü uygulanmıştır. Dönüşümden sonra ortalama −2, açıklık 21 ve n−1 paydalı standart sapma 6 bulunmuştur. Dönüşümden önceki (ortalama ; açıklık ; standart sapma) üçlüsü hangisidir?
Aklında kaldı mı?
Aynı açıklık neden aynı standart sapmayı zorunlu kılmaz?
Açıklık yalnız en küçük ve en büyüğü kullanır;s tüm gözlemlerin ortalamadan fark karelerini kullanır. Uçlar aynı kalsa da aradaki tekrarlar/konumlar kare toplamını değiştirebilir.
y=a x+bsonrası neden s, a değil |a|katına çıkar?
Farklar a katı,kareleri a²katı olur;karekök√a²=|a|verir. bmerkezle birlikte çıkarak yok olur;negatif ölçek negatif yayılım üretmez.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.