YKS · MATEMATİK

Türev: fark oranından anlık değişime

Bu derste Ortalama değişim oranını türevi tanımlayan limitten ayırır; teğet eğimini tanım üzerinden bulur. İç noktada süreklilik ile türevlenebilirliğin tek yönlü ilişkisini ve köşe/uç koşullarını açıklar.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Kesen eğiminden teğete ve köşede türevsizlik. f(x)=x²+3x için P(−1,−2) ile a+h noktası arasındaki kesenin eğimi 1+h olur; h=2, 1, 0,5 için 3, 2, 1,5. h→0 iken eğim 1’e gider ve teğet y=x−1 olur. f(x)=|x−2| köşede sürekli olsa da sol eğim −1, sağ eğim +1 olduğundan f′(2) yoktur. — **Kesen eğiminden teğete ve köşede türevsizlik.** f(x)=x²+3x için P(−1,−2) ile a+h noktası arasındaki kesenin eğimi 1+h olur; h=2, 1, 0,5 için 3, 2, 1,5. h→0 iken eğim 1’e gider ve teğet y=x−1 olur. f(x)=|x−2| köşede sürekli olsa da sol eğim −1, sağ eğim +1 olduğundan f′(2) yoktur. Çizimde eksen ölçekleri x ve y için farklıdır; bu nedenle açıların ve eğimlerin görünümü gerçek eğimleri yansıtmaz. Kesen ve teğet doğruları sayısal olarak hesaplanıp yerleştirilmiştir, yine de sonlu üç h değeri limitin kanıtı değildir. Dik teğet, uç noktada tek taraflı türev ve süreklilikle türevlenebilirliğin farkı için başka gerekçe gerekir; bu görsel yalnız iki örnek içindir.

f fonksiyonunun birbirinden farklı a ve b girdileri arasındaki ortalama değişim oranı [f(b)−f(a)]/(b−a) olur. Grafikte bu, (a,f(a)) ile (b,f(b)) noktalarını birleştiren kesenin eğimidir; f(b)−f(a) tek başına oran değildir. Fonksiyon değerinin birimi U, girdinin birimi V ise değişim oranının birimi U/V olur. Bir aralığın ortalama değeri, her noktadaki anlık değişimin aynı olduğu anlamına gelmez.

a noktasının çevresinde iki tarafta da tanımlı fonksiyon için h≠0 alarak [f(a+h)−f(a)]/h fark oranını kurarız. h sıfıra yaklaşırken bu oran tek bir sonlu gerçek L değerine gidiyorsa f′(a)=L deriz. h=0 koyup 0/0 sonucuna türev demeyiz; önce sıfır olmayan h için düzenleyip limiti alırız. x=a+h dönüşümü aynı tanımı lim[x→a](f(x)−f(a))/(x−a) biçiminde verir. Sonlu birkaç h için hesap yapmak kontrol sağlar, bütün limitin varlığını tek başına ispatlamaz.

Sonlu türev, bu koordinat gösteriminde grafiğin ilgili noktadaki teğet eğimidir. Teğetin denklemi y−f(a)=f′(a)(x−a) olur; eğim f(a) yüksekliğiyle karıştırılmaz. Örneğin bir noktada f′(a)=0 yatay teğeti söyler, f(a)=0 veya fonksiyon bütün aralıkta sabittir sonucunu vermez. Bu girişte dik teğet gibi sonsuz eğimli durumlara sonlu türev değeri atamıyoruz.

İç noktada sağ ve sol fark oranlarının sonlu limitleri eşit değilse iki taraflı türev yoktur. |x−a| fonksiyonu a noktasında sürekli olsa da soldan eğimi −1 ve sağdan eğimi +1 olduğundan türevlenmez. Türev varsa süreklilik gerekir: f(a+h)−f(a)=h·[f(a+h)−f(a)]/h eşitliğinde oran sonlu L değerine, h sıfıra gittiği için çıktı farkı sıfıra gider. Bu gerekçe ters yönde çalışmaz; sürekli her fonksiyon türevlenebilir değildir.

Tanım kümesi kapalı bir aralıksa uç noktada iki taraflı türevi otomatik istemeyiz; yalnız mevcut yönden türev ayrıca belirtilerek incelenebilir. Türevlenebilirlik sözü bu derste aksi söylenmedikçe iç noktada iki taraflı ve sonlu türevdir. Parçalı kuralda önce nokta değeri ile sürekliliği, ardından o nokta değerini kullanan sağ/sol fark oranlarını denetleriz; yalnız parçaların biçimsel türevlerini eşitlemek atlamaya yol açabilir. Bu ders bütün türev kurallarını veya maksimum-minimum problemlerini tamamlamaz.

KISACA

Ortalama değişim iki farklı girdinin fark oranıdır; türev bu oranın h→0 sonlu limitidir. İç noktada türev ⇒ süreklilik; süreklilik ⇒ türev değildir. Uçtaki tek taraflı türev ayrıca adlandırılır.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

f:ℝ→ℝ, f(x)=x²+3x. x=−1 noktasında türevi ve bu noktadaki teğet denklemini tanımdan bulun.

Nokta etrafında h fark oranı

f(−1)=−2; f(−1+h)=−2+h+h².
h≠0 için [f(−1+h)−f(−1)]/h=1+h. h→0 iken sonuç 1.
Teğet noktası (−1,−2), eğim 1: y+2=x+1, yani y=x−1.

Sınır: h=0 anında kesir tanımlı değildir; limit sıfır olmayan h değerleri üzerinden alınır.

İki nokta arasındaki kesen eğimini x ile düzenleme

x≠−1 için [f(x)−f(−1)]/(x+1)=(x²+3x+2)/(x+1).
Pay (x+1)(x+2) olduğundan kesen eğimi x+2 olur; x→−1 iken eğim 1.
Aynı (−1,−2) noktasından eğimi 1 olan doğru y=x−1 elde edilir.

Sınır: x≠−1 koşulu sadeleştirme için korunur. Cebir bütün bu x değerlerinde eşitliği verir; az sayıda kesen çizimi genel gerekçe sayılmaz.

h=x+1 dönüşümü iki yöntemin oranlarını nasıl eşleştirir? Nokta yüksekliği −2 ile eğim 1 neden ayrı bilgilerdir?

HATA AVI

Hatayı bul

Bir öğrenci “g(x)=|x−2|+1, x=2 noktasında kesintisizdir; o hâlde iki taraflı türevi de vardır ve köşede eğimlerin ortalaması 0 alınır” diyor. İlk geçersiz çıkarım hangisidir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Süreklilikten türevlenebilirliği zorunlu sonuç olarak çıkarmak.

Süreklilik gereklidir ama yeterli değildir. |h|/h oranı solda −1 ve sağda +1; eşit olmadıkları için türev yoktur. Bu iki sayının ortalaması türev tanımını sağlamaz.

Örnekte aynı f(x)=x²+3x kuralını yalnız [−1,2] üzerinde tanımlarsak −1 noktasında ne söylenebilir? Sayısal sonuç aynı diye iki taraflı türev var denir mi?

−1 artık sol uçtur. Sağ fark oranı yine 1+h olduğundan sağdan türev 1 ve sağdan süreklilik vardır. Bu kısıtlı fonksiyonun −1 solunda girdisi yoktur; mevcut yönden bulunan sonucu iki taraflı türev diye adlandırmayız. ℝ üzerindeki başlangıç fonksiyonunun türevi ile kısıtlanmış fonksiyonun uç incelemesi ayrıdır.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

f′(a) tanımında neden h=0 yerine h→0 yazılır?

Fark oranı h=0 iken tanımsızdır. h≠0 için hesaplanır; a çevresindeki iki yönden aynı sonlu limite gidiyorsa türev o limittir.

İç noktada türev ile sürekliliğin hangi yönü doğrudur? Kapalı uçta neyi ayrıca adlandırırız?

Sonlu iki taraflı türev varsa süreklilik vardır; tersi gerekmez. Kapalı uçta yalnız mevcut yönden türev ayrıca belirtilir, olmayan taraftan türev uydurulmaz.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.