hepnotSonlu eşlemede bütün ön görüntüler ve terslik
Konunun mantığı
Sonlu bir f:A→Bfonksiyonunda terslik için her y∈Bnin ön görüntü kümesini yaz: {x∈A:f(x)=y}. Bu küme boşsa yters eşlemede çıktısız kalır;birden fazla elemanlıysa ybirden fazla ters çıktı alır. Her hedefin ön görüntüsü tam bir eleman içeriyorsa okları ters çevirmek Bden Ayalnız bir fonksiyon değil,iki yönlü ters olan bir fonksiyon verir. Özgün fde her girdinin tek çıktısı olması,bu ters koşulu kendiliğinden sağlamaz.
Tablonun bütün satırlarını okuyup aynı hedefe gidenleri topla. Boş ön görüntü örtenlik eksikliği,birden fazla ön görüntü birebirlik eksikliğidir;aynı tabloda ikisi de bulunabilir. Farklı girdileri aynı çıktıya göndermek fyi fonksiyon olmaktan çıkarmaz;ters bağıntının fonksiyon olmasını engelleyebilir. Hedefin içinde hiç kullanılmamış bir elemanı yalnız çizimde kenarda duruyor diye unutma. Belirtilen küme ile tablodaki görüntü birlikte denetlenir.
Hedef B,görüntü f(A)ile değiştirilirse boş ön görüntülü hedefler kalkar;bu yeni fonksiyon artık kendi görüntüsüne örtendir. Fakat iki farklı girdi aynı yye gidiyorsa bu çakışma ortadan kalkmaz. Tersin tek değerli olması için ayrıca birebirlik gerekir. Alanı da daraltıp her kullanılan hedeften bir temsilci girdi bırakmak mümkün olabilir;hangi girdilerin çıkarıldığı açık olmalı ve özgün fonksiyonla yeni kısıtlama aynı sayılmamalıdır.
Sonlu alanda bütün elemanları gerçekten kontrol etmek tam bir ispat olabilir;sonsuz alandan birkaç örneğe bakmakla aynı değildir. Ters aday g:B→Aiçin g(f(x))=xbütün x∈Ada ve f(g(y))=ybütün y∈Bdedeğerlendirilir. Tek yönün sağlanması bütün B üzerinde tersliği garanti etmez;özellikle f örten değilse kullanılmayan hedeflerde ikinci eşitlik bozulabilir. Gösterim−1çarpımsal ters değildir;harf etiketlerinin sayısal çarpımsal tersi de aranmaz.
Küme büyüklükleri yararlı bir ön kontrol verir ama okları okumayı gereksiz kılmaz. Aynı sonlu büyüklükte kümeler arasında bir fonksiyonun birebirliği örtenliğe denktir;ancak büyüklük eşitliği tek başına bu iki özelliği sağlamaz. İki girdinin çakışması zaten birebirliği çürütür. Aşağıdaki tam tablolar kurmacadır;genel sonsuz fonksiyonlar,her tür alan kısıtlaması veya bütün ters fonksiyon kapsamı tamamlanmış sayılmaz.
Her hedefin bütün ön görüntülerini say:0örtenlik,2veüstü birebirlik sorununu gösterir;ters için her hedefte1gerekir. Hedefi görüntüye daraltmak çakışan girdileri düzeltmez. İki yönlü özdeşlik bütün ilgili alanlarda ayrı kontrol edilir.
Adım adım bir örnek
A={a,b,c},B={p,q,r,s}. f:a→q,b→s,c→p;bu tablo bütün Adır. Okları ters çevirince bütün Bde neden fonksiyon oluşmaz? Hedef B′=f(A)olursa ne değişir?
Hedefe göre ön görüntü tablosu
- p:{c},q:{a},r:∅,s:{b}. Her hedef kontrol edildi.
- rnin ön görüntüsü yok;Büzerindeki ters aday rdeçıktısız kalır. f birebir ama Byeörten değildir.
- B′={p,q,s}seçilirse ters p→c,q→a,s→b;her hedefin tek çıktısı var. Bu hedefi değişmiş fonksiyonun tersidir.
Sınır: Bütün A/Bsonlu tablodan açık verilmiştir;yalnız seçili üç okla hedefteki ryok sayılmadı.
İki yönlü geri dönüşü sınama
- B′üstünde geri dönüş adayınıg(p)=c,g(q)=a,g(s)=byaz. a,b,cgirdileri sırayla kendilerine döner.
- p,q,shedefleri de f(g(y))ile kendilerine döner.
- rBdekalırsa hiçbir xonu üretmediği için f(g(r))=rkurulamaz.
Sınır: Geri dönüş kontrolü B′nin bütün elemanlarında yapıldı. Özgün Bde ters var iddiası değildir.
Büyüklükleri eşitlemek için hedeften kullanılan qyu çıkarıp ryibırakmak neden uygun bir hedef daraltması olmaz?
Hatayı bul
“Hedefi görüntüye daralttım;artık eski iki girdinin aynı hedefe gitmesi önemli değil,ters fonksiyon var.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Örtenlik eksikliğinin giderilmesini birebirlik eksikliğinin de giderilmesi saymak.
Görüntüde her hedefe en az bir girdi gider ama tam bir girdi gitmesi ayrıca gerekir. Çakışan iki girdi hâlâ aynı ön görüntü kümesindedir. Girdi alanını da açık ve uygun biçimde kısıtlamak ayrı bir değişikliktir.
Çalışılmış tabloya d→qgirdisi eklensin;hedef B′={p,q,s}kalsın. Şimdi bütün B′üzerinde ters için ne eksilir;yalnız hedefi yeniden daraltmak yeter mi?
qön görüntüsü{a,d}olur;fonksiyon örten ama birebir değil. Kullanılan qyu hedefte tutmak zorunlu olduğundan hedefi görüntüye daraltmak bu çakışmayı gidermez. aveyadgirdilerinden birini çıkaran açık alan kısıtlamasıyla kalan p/q/shedeflerinde tek ön görüntü sağlanabilir;bu yeni fonksiyondur.
Dersin soruları
1A={u,v,w,z},B={1,2,3,4}; f:u→1,v→2,w→2,z→3tablosu bütünAüzerinde veriliyor. Hedef B′=f(A)={1,2,3}yapılırsa hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?2A={a,b,c,d},B={r,s,t,u};f:a→r,b→r,c→s,d→t. Bir girdi A’dan ve bir hedef B’den çıkarılıp kalan oklar aynen korunacak. Yeni eşlemenin birebir-örten bir fonksiyon olması için hangi çıkarma uygundur?
Bu soruda hata mı var?3A={0,1},B={p,q,r}. f:0→p,1→q. g:B→Aise p→0,q→1,r→0. İki tablonun tamamı verilidir. Terslik hakkında hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1A={1,2,3,4,5}, B={a,b,c,d,e}; f: 1→b, 2→b, 3→c, 4→e, 5→e tablosu bütün A üzerinde verilmiştir. B’nin elemanlarının ön görüntüleri için hangisi doğrudur?
2A ve B dörder elemanlı kümelerdir ve f:A→B bir fonksiyondur. A’nın iki farklı elemanı B’de aynı elemana gidiyor. Hangisi kesindir?
3A={1,2,3,4}, B={a,b,c,d}; f: 1→b, 2→a, 3→d, 4→c ve g: a→2, b→1, c→4, d→3 tabloları bütünüyle verilmiştir. Yalnız tersin tanımına dayanarak (büyüklük ya da birebirlik bilgisi kullanmadan) g’nin f’nin tersi olduğunu göstermek için hangi kontroller birlikte yeterlidir?
4A={1,2,3,4,5}, B={a,b,c,d}; f: 1→a, 2→b, 3→b, 4→c, 5→c. Birebir ve örten bir fonksiyon elde etmek için hedef ve alanı kısıtlamak isteniyor. Hangisi bunu doğru yapar?
5A ve B dörder elemanlı kümelerdir ve f:A→B örten bir fonksiyondur. f birebir midir?
6A={1,2,3}, B={p,q}; f: 1→p, 2→p, 3→q ve g: p→1, q→3 tabloları bütünüyle verilmiştir. (g∘f)(2) ve (f∘g)(q) değerleri sırasıyla nedir?
7A={a,b,c,d}, B={1,2,3}; f: a→1, b→1, c→2, d→3. Bir öğrenci b girdisini atıp {a,c,d} üzerinde kısıtlanmış fonksiyonun tersini h:B→{a,c,d} olarak yazıyor. Özgün f ile birlikte kullanıldığında h(f(b)) hakkında hangisi doğrudur?
8B={a,b,c,d} hedef kümesinin ön görüntü kümelerinin eleman sayıları a için 0, b için 2, c için 1, d için 3’tür. f:A→B için hangisi doğrudur?
9A={1,2,3,4,5}, B={a,b,c,d}; f: 1→a, 2→b, 3→c, 4→d, 5→d ve g: a→1, b→2, c→3, d→4 tabloları bütünüyle verilmiştir. f(g(y))=y eşitliği B’nin dört elemanı için, g(f(x))=x eşitliği x=1, 2, 3, 4 için doğrulanmıştır. Hangisi doğrudur?
10A altı, B beş elemanlıdır; f:A→B fonksiyonunun görüntüsü dört elemanlıdır. Hedef B′=f(A) olarak değiştirilirse hangisi kesindir?
Aklında kaldı mı?
Bir hedefin boş,tek veya iki elemanlı ön görüntüsü ters eşleme için ne söyler?
Boşsa ters o hedefte çıktısız;tekse o satır uygun;iki veya daha fazlaysa çok çıktılıdır. Bütün hedefler tek elemanlı olmalı;bir uygun satır bütün tabloyu onaylamaz.
g∘f=IAtek başına gnin bütün Bde ters olduğunu neden göstermez?
f Bdeki bazı hedeflere ulaşmıyor olabilir. Bu hedefler için f∘g=IBayrıca denetlenir;tek yönlü kimlik,eksik hedeflerin geri dönüşünü garantilemez.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.