hepnotTekrarlı karışım: her turda homojen al, saf çözücüyle aynı kütleye tamamla
Konunun mantığı
Bu ders özgün bir matematiksel kütle dengesi modelidir; laboratuvar veya mutfak talimatı değildir. Kapta toplam kütlesi M>0 gram olan bir karışım vardır ve izlenen bileşenin kütlesi S(0) gramdır. Her turda karışım homojen kabul edilir, içinden 0<d<M gram alınır, yerine d gram saf çözücü eklenerek toplam yeniden M olur ve karışım tekrar homojenleşir. Saf çözücü izlenen bileşeni içermez; tepkime, buharlaşma, çökelme veya dökülme yoktur. Kütlece yüzde ve tek aşamadaki homojen alma karışım problemleri dersinden, ortak çarpanlı yineleme diziler dersinden önkoşul olarak gelir.
Bir turu kütle dengesiyle kuralım. Tur başında bileşen S(k), toplam M’dir. Homojen karışımdan alınan d gram toplamın d/M kesridir; bu yüzden bileşenin de aynı kesri, S(k)·d/M gram, kaptan çıkar. Geride S(k)−S(k)·d/M=S(k)(1−d/M) kalır. Eklenen saf çözücü bileşen getirmediği için tur sonunda S(k+1)=S(k)(1−d/M) olur. Toplam yine M olduğundan yüzde de aynı çarpanla değişir: p(k+1)=p(k)(1−d/M). Çarpan alınan kesir d/M değil, kalan kesir 1−d/M’dir.
q=1−d/M diyelim; 0<d<M olduğundan 0<q<1’dir. Her tur aynı q ile çarptığı için S(n)=S(0)·qⁿ bulunur; S(0) başlangıç olduğundan n turda n çarpan vardır. k. turda kaybolan bileşen S(k−1)·d/M’dir; S küçüldükçe bu kayıp da küçülür, yani kayıp turdan tura sabit değildir. S(0)>0 ise bileşen hiçbir sonlu turda sıfır olmaz ama giderek azalır. Sınır durumlar ayrı okunur: d=0 hiçbir şey değiştirmez; d=M bütün karışımı boşaltır ve ilk turdan sonra bileşen 0 olur. Bu ders bu iki sınırı ana modelin dışında tutar.
n ayrı turda d almak, bir defada nd almakla aynı değildir. nd<M iken bir defada nd gram alınıp yerine saf çözücü eklenirse S(0)(1−nd/M) kalır; n turda ise S(0)(1−d/M)ⁿ kalır. İkinci ve sonraki turlarda alınan d gram artık daha seyreltik karışımdan geldiği için ilk turdaki kadar bileşen götürmez. Bu yüzden n≥2 ve S(0)>0 için (1−d/M)ⁿ>1−nd/M ve turlu işlemde daha çok bileşen kalır. nd≥M olduğunda bir defada alma kabı boşaltır ya da mümkün olmaz; turlu işlem ise tanımlı kalır.
Ters problemde son ve ilk bileşen oranı qⁿ’yi verir; buradan pozitif q, sonra d=M(1−q) bulunur ve 0<d<M koşulu denetlenir. Eşik sorularında yüzdeyi yüzdeyle, gramı gramla karşılaştır; “ilk kez altına düşer” ifadesi eşitliği kapsamaz. Tamamlama saf çözücü yerine bileşen içeren bir karışımla yapılırsa her tura sabit bir ek gelir ve yineleme artık yalnız çarpımlı olmaz; d turdan tura değişirse çarpan da değişir. Bu koşullar soruda açıkça verilmeden model genellenmez.
Her tur: homojen d al, saf çözücüyle M’ye tamamla. Kütle dengesi: S(k+1)=S(k)(1−d/M), S(n)=S(0)(1−d/M)ⁿ. Çarpan kalan kesirdir. Turdaki kayıp giderek küçülür; n turda d almak, bir defada nd almaktan daha çok bileşen bırakır.
Adım adım bir örnek
Toplam 200 g, kütlece %30 bileşen içeren homojen bir karışım var. Her turda 50 g alınıp yerine 50 g saf çözücü ekleniyor ve karışım yeniden homojenleşiyor; başka kayıp yok. 3 tur sonundaki bileşen kütlesini ve yüzdesini iki yolla bulunuz.
Tur tablosu (kütle dengesi)
- Başlangıç S(0)=200·0,30=60 g. Alınan 50 g toplamın 1/4’üdür.
- Tur 1: 60·1/4=15 g gider → 45 g. Tur 2: 45·1/4=11,25 g gider → 33,75 g. Tur 3: 33,75·1/4=8,4375 g gider → 25,3125 g.
- Her tur sonunda toplam yine 200 g; yüzde 100·25,3125/200=%12,65625.
Sınır: Her satırda giden bileşen o turun başındaki kütleden hesaplanır; giden miktar sabit 15 g değildir.
Ortak çarpan
- Kalan kesir q=1−50/200=0,75.
- S(3)=60·0,75³=60·0,421875=25,3125 g; yüzde 30·0,421875=%12,65625.
Sınır: Çarpan modeli 0<d<M, saf çözücü ve her tur yeniden homojenlik koşullarıyla geçerlidir.
Üç turda toplam 150 g karışım alındı. Bir defada 150 g alınıp yerine saf çözücü eklenseydi kaç g bileşen kalırdı? Bunu turlu sonuçla karşılaştırın: neden farklı, hangi tur en az bileşen götürdü?
Hatayı bul
Bir öğrenci “Kütlece %30 bileşenli 100 g karışımdan iki turda 20’şer g alıp her seferinde saf çözücüyle tamamladım. Toplam 40 g aldım; bu bir defada 40 g alıp tamamlamakla aynıdır, 18 g bileşen kalır.” diyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: İkinci turda alınan 20 g’ın da ilk turdaki kadar bileşen içerdiğini varsaymak.
İlk tur 30 g’ın 1/5’i olan 6 g’ı götürür, 24 g kalır. İkinci turda karışım seyrelmiştir; 24·1/5=4,8 g gider ve 19,2 g kalır. Bir defada 40 g alıp tamamlamak 18 g bırakır; iki işlem aynı değildir.
Çalışılmış örnekte (200 g, 60 g bileşen, her tur 50 g) tamamlama saf çözücüyle değil, kütlece %10 bileşen içeren 50 g karışımla yapılsa ilk tur sonunda bileşen kaç g olur ve model nasıl değişir?
Alma sonrası 45 g kalır; eklenen 50 g içinde 5 g bileşen gelir ve ilk tur sonunda 50 g (%25) olur. Yineleme S(k+1)=0,75·S(k)+5 biçimine döner; her tura sabit ek geldiği için S(n)=S(0)·0,75ⁿ artık geçerli değildir.
Dersin soruları
1Toplam 500 g, kütlece %40 bileşen içeren homojen bir karışımdan her turda 100 g alınıp yerine 100 g saf çözücü ekleniyor; her tur sonunda karışım yeniden homojen, başka kayıp veya tepkime yok. 2 tur sonunda bileşenin kütlece yüzdesi kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2Toplam 80 g, kütlece %50 bileşen içeren homojen karışıma aynı işlem iki kez uygulanıyor: d gram alınır, yerine d gram saf çözücü eklenir ve karışım yeniden homojenleşir (0<d<80). İki tur sonunda bileşen yüzdesi %12,5 olduğuna göre d kaçtır?
Bu soruda hata mı var?3Toplam 200 g, kütlece %50 bileşen içeren homojen bir karışımdan her turda 40 g alınıp yerine 40 g saf çözücü ekleniyor; her tur sonunda karışım yeniden homojen. Bileşenin kütlece yüzdesi ilk kez hangi turun sonunda %20’nin altına düşer?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Toplam 250 g olan ve 150 g bileşen içeren homojen bir karışımdan 50 g alınıp yerine 50 g saf çözücü ekleniyor; karışım yeniden homojen oluyor. Bu tek turda kaptan çıkan bileşen kaç gramdır?
2Her turda alınan kesri 0,2 (kalan kesri 0,8) olan bir tekrarlı karışım işleminde (saf çözücü, sabit M ve d) 2. turda kaptan çıkan bileşen kütlesi A gram, 4. turda çıkan bileşen kütlesi B gramdır. B/A oranı kaçtır?
3Kapta toplam M=120 g homojen karışım ve S(0)>0 bileşen vardır. Her turda 50 g alınıp yerine 50 g saf çözücü ekleniyor ve karışım yeniden homojen oluyor. Üç turda toplam 150 g alınacağına göre hangisi doğrudur?
4Toplam 250 g sabit olan bir karışımdan her turda 100 g homojen alınıp yerine 100 g saf çözücü ekleniyor; her tur sonunda karışım yeniden homojen. 2 tur sonunda kapta 45 g bileşen bulunuyor. Başlangıçta kaç g bileşen vardı?
5Toplam 200 g olan karışımda 100 g bileşen vardır. Saf çözücüyle tamamlanan bir işlemde 1. turda 40 g, 2. turda 80 g homojen alınıyor ve her seferinde aynı kütlede saf çözücü ekleniyor. 2 tur sonunda kaç g bileşen kalır?
6S(n)=S(0)(1−d/M)ⁿ bağıntısı hangi işlemde doğrudan kullanılabilir?
7Her turda kalan kesri 0,9 olan bir tekrarlı karışım işleminde (saf çözücü, sabit M ve d) 2. tur sonunda 81 g bileşen kalmıştır. 4. tur sonunda kaç g bileşen kalır?
8Toplam 200 g, kütlece %40 bileşen içeren homojen karışımdan 50 g alındı; henüz saf çözücü eklenmedi. Kapta kalan karışımın kütlece bileşen yüzdesi kaçtır?
9Toplam 500 g olan, 250 g bileşenli homojen karışımdan her turda 100 g alınıp yerine 100 g saf çözücü ekleniyor (her tur sonunda yeniden homojen). 3 tur boyunca kaptan çıkan toplam bileşen kaç gramdır?
10Toplam 400 g olan karışımda 200 g bileşen vardır. Her turda 200 g homojen alınıp yerine 200 g saf çözücü ekleniyor (her tur sonunda yeniden homojen). Bileşenin kütlesi tam 12,5 g olduğunda kaç tur tamamlanmış olur?
Aklında kaldı mı?
Tekrarlı karışımda S(k+1)=S(k)(1−d/M) bağıntısı nereden gelir?
Homojen karışımdan alınan d gram toplamın d/M’sidir; bileşenin de d/M’si gider, 1−d/M’si kalır. Saf çözücü bileşen eklemez ve toplam yine M olur. Koşullar: M>0, 0<d<M, her tur yeniden homojenlik, tepkime veya kayıp yok.
n turda d almak ile bir defada nd almak neden farklı sonuç verir?
Turlu işlemde sonraki turlar daha seyreltik karışımdan alır ve her tur daha az bileşen götürür. nd<M, n≥2 ve S(0)>0 için S(0)(1−d/M)ⁿ>S(0)(1−nd/M) olur; turlu işlemde daha çok bileşen kalır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.