YKS · MATEMATİK

Tam kare ve ikinci derece üç terimli: orta terim ve alan kısıtı

Bu derste Tam kare özdeşliğinin2ab orta terimini dağıtma özelliğiyle gerekçelendirir. İkinci derece üç terimliyi toplam–çarpım/çapraz çarpanlarla ayırır; sadeleştirmede başlangıç tanım kümesini korur.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Tam kare ve üç terimli. (u+v)² dört parçalı alan modeliyle orta terimin iki uv dikdörtgeni olduğu gösterilir; x²+14x+45 için toplam 14 ve çarpım 45 birlikte denetlenip (x+5)(x+9) bulunur. Sadeleşme x≠−5 yasağını kaldırmaz. — **Tam kare ve üç terimli.** (u+v)² dört parçalı alan modeliyle orta terimin iki uv dikdörtgeni olduğu gösterilir; x²+14x+45 için toplam 14 ve çarpım 45 birlikte denetlenip (x+5)(x+9) bulunur. Sadeleşme x≠−5 yasağını kaldırmaz. Alan modelinde u,v≥0 ve ölçek yoktur; üçüncü paneldeki (x+5) paydalı kesir, aynı üç terimlinin sadeleşme riskini göstermek için seçilmiş gösterimdir.

(u+v)²=(u+v)(u+v)=u²+uv+vu+v²=u²+2uv+v²; iki farklı çapraz çarpım orta terimi üretir. Benzer biçimde(u−v)²=u²−2uv+v². Bu özdeşlikler bütün gerçek u,v için geçerlidir. Son terimin karesi iki durumda da artıdır; eksi işareti orta terime gelir. Yalnız ilk ve son terimlerin kare olması bir üç terimliyi tam kare yapmaz; orta terim de uygun±2uv olmalıdır.

Alan modeli kurmak için u,v değerlerini negatif olmayan gerçek uzunluklar seçebiliriz. Kenarı u+v olan kare, alanları u²,v² ve iki tane uv olan dört parçaya ayrılır; orta terimdeki2nin sebebi iki dikdörtgendir. Negatif u veya v için negatif uzunluklu fiziksel parçalar çizilmez; aynı özdeşliğin bu değerlerde geçerliliği dağıtma cebrinden gelir. Böylece cebirin geçerli tanım alanıyla geometrik temsilin koşulları birbirinden ayrılır.

Baş katsayısı1 olan x²+bx+c üç terimlisini(x+r)(x+s) diye açarsak x²+(r+s)x+rs elde ederiz. Dolayısıyla r+s=b ve rs=c birlikte sağlanmalıdır; yalnız çarpımı tutturmak orta terimi korumaz. r=s olduğunda tam kare özel durumu çıkar. Tam sayı katsayılı çarpan arayışında c için uygun tam sayı çiftleri denenebilir; böyle çift bulamamak ifadenin gerçek katsayılarla hiç ayrılamadığını kanıtlamaz. Örneğin x²−2, gerçeklerde(x−√2)(x+√2) olur.

Genel ax²+bx+c için a≠0 ve(px+r)(qx+s) açılımında pq=a,rs=c,ps+qr=b gerekir. Tam sayı katsayılı örneklerde başka bir yol, çarpımları ac ve toplamları b olan iki sayı bulup orta terimi bölerek gruplamaktır. Sonra çarpımı açarak bütün katsayıları karşılaştırırız. Tam kareye tamamlama ise x²+bx+c=(x+b/2)²+c−b²/4 özdeşliğidir; eklenenle çıkarılan aynı miktar olduğundan değer değişmez. Birkaç xte sayısal uyum genel özdeşlik kanıtı değildir; dağıtma ve katsayı eşitliği genel gerekçeyi sağlar.

Çarpanlara ayırma bir ifadeyi eşdeğer biçimde yazar; denklem çözümü veya tanım kümesini genişletme değildir. Kesirli ifadede ortak sıfır olmayan çarpanlar sadeleştirilebilir; başlangıç paydasının bütün sıfırları dışarıda kalır. Özellikle tam kare bir paydaki çarpanın yalnız bir kopyası paydada varsa sadeleştirmeden sonra bir kopyası kalır; bütün kareyi yok sayma. Son kontrolde yeni ifadeyi aç, yasak payda değerlerini kaydet ve geometrik temsil varsa uzunluk koşullarını ayrıca koru. Bu dar ders bütün polinom ayrıştırma yöntemlerini tamamlamaz.

KISACA

Tam kare orta terimi±2uv ister. x²+bx+c için toplam b ve çarpım c birlikte sağlanmalı; genel üç terimlide çapraz toplam b olmalı. Sadeleştirme paydanın eski yasaklarını kaldırmaz.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

P(x)=x²+14x+45 ifadesini gerçek x için çarpanlarına ayırın. Sonucun genel eşitliğini açılımla kontrol edin; bu bir denklem çözümü değildir.

Toplam ve çarpımı aynı anda kurma

r+s=14,rs=45 koşulları için r=5,s=9 bulunur.
P(x)=(x+5)(x+9).
Açılım x²+9x+5x+45=x²+14x+45 olur; bütün katsayılar eşleşir.

Sınır: Yalnız45 çarpımını veren3 ve15 gibi bir çift yetmez; toplamları18 olup orta terimi değiştirir.

Tam kareye tamamlama

x²+14x+45=(x+7)²−49+45=(x+7)²−4.
İki kare farkı kullan:(x+7−2)(x+7+2).
Sonuç(x+5)(x+9); tam kareye eklenen49 aynı anda çıkarıldığı için özdeşlik korunur.

Sınır: Bu düzenleme bütün gerçek x için eşitliktir; (x+7)² yerine x²+49 yazmak2·7x orta terimini atlar.

Toplam14 koşulu birinci yolda nerede, ikinci yolda nerede korunuyor? Sonlu değer denemesi yerine açılım neden genel denetim sağlıyor?

HATA AVI

Hatayı bul

Bir öğrenci(x−6)²=x²+36 yazıp “İki terimin de karesini aldım; eşitlik tamam” diyor. İlk eksik işlem nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Çarpımı açarken iki çapraz−6x terimini atlamak.

(x−6)(x−6)=x²−6x−6x+36=x²−12x+36. Alan modeli pozitif uzunluk koşuluyla kurulabilir; bütün gerçek x için gerekçe dağıtma özelliğidir.

ÖrnektekiP(x)=x²+14x+45 yerineQ(x)=x²+14x+49 olursa çarpan yapısı ve gerçeklerde işaret nasıl değişir? Alan modeli kurmak için ayrıca ne gerekir?

Q=(x+7)²; iki farklı(x+5),(x+9) yerine aynı(x+7) çarpanı iki kez vardır. Q≥0 ve yalnız x=−7de0 olur; eskiP=(x+7)²−4 negatif değer de alabiliyordu. Kare kenarı diye geometrik uzunluk kullanılırsa x+7≥0 koşulu veya kenarın|x+7| olarak tanımı ayrıca gerekir; cebirsel özdeşlikte böyle bir kısıt yoktur.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

(u−v)² neden u²−v² veya u²+v² değildir?

İki parantez çarpılınca−uv ve−vu çapraz terimleri oluşur; sonuçu²−2uv+v². Son kare artıdır. Dağıtma tüm gerçek u,v için, geometrik uzunluk modeli yalnız uygun negatif olmayan uzunluklarda kullanılır.

x²+bx+c=(x+r)(x+s) için hangi iki koşul birlikte gerekir? Tam sayı çift bulamamak neyi kanıtlamaz?

r+s=b ve rs=c. Yalnız çarpımı tutturmak yetmez. Tam sayı çifti olmaması gerçek/irrasyonel katsayılı çarpanların da olamayacağını tek başına kanıtlamaz.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.