hepnotSayma ilkeleri: ya da, birlikte ve koşullu dallar
Konunun mantığı
Saymaya başlamadan neyin farklı sonuç sayıldığını belirt. İki harfli sıralı kodda AB ile BA farklıdır; yalnız seçilmiş iki harfin oluşturduğu küme sorulursa aynı ikiliyi anlatabilirler. Sıra, tekrar ve aynı nesnenin birden fazla temsille yazılması sonucu değiştirir. Formülü bu tanımdan sonra seç.
Bir sonuç ya A türünden ya B türünden oluşuyor ve iki tür ayrık ise toplam seçenek sayısı a+b olur. Aynı sonuç iki grupta da yer alabiliyorsa doğrudan toplama çift sayma yaratır; ortakları düzeltmek veya grupları ayrıklaştırmak gerekir. “Veya” sözcüğünü görünce koşulları incelemeden otomatik toplama yapma.
Bir sonuç iki aşamalı bir seçimden oluşuyor; ilk aşama a yolla, her ilk seçimden sonra ikinci aşama b uygun yolla yapılabiliyorsa toplam ab olur. Burada gerekli olan koşullu sayının her dalda b olmasıdır. Olasılıktaki bağımsızlık kavramını bu sayma kuralıyla karıştırma: tekrar yasak iki sembollü kodda ikinci sayım ilk sembolden etkilenir, fakat her dalda kalan seçenek sayısı aynı olabilir.
İkinci aşamadaki seçenek sayısı dala göre değişiyorsa bütün dallara aynı çarpanı uygulama. İlk seçimleri ayır, her birinin uygun tamamlanmalarını say ve bu ayrık dal sonuçlarını topla. Bazı dalların hiçbir tamamlanması yoksa o dal 0 katkı verir. Ağaç şeması değişen dalları, tablo ise hangi ikililerin gerçekten izinli olduğunu görünür kılar.
Son kontrol olarak küçük bir örneği listele veya her tamamlanmış sonuca tek bir seçim yolu karşılık geldiğini denetle. Aynı sonuç iki yoldan geliyorsa fazla, uygun bir sonuç hiç gelmiyorsa eksik saymışsındır. Bu ders sonlu seçenekli temel sayımı ele alır; permütasyon/kombinasyon adlarını kullanmadan önce nesne, sıra ve tekrar koşullarını açıklamayı amaçlar.
Ayrık alternatifler toplanır. Her önceki seçimin aynı sayıda uygun devamı varsa aşama sayıları çarpılır. Devam sayıları farklıysa dal dal sayılıp toplanır. Sıra, tekrar ve tekilleştirme koşullarını işlemden önce yaz.
Adım adım bir örnek
Bir etiketin çerçevesi A veya B; simgesi u,v,w,z seçeneklerinden biri. Her çerçeve her simgeyle uyumlu; sonuç çerçeve–simge sıralı ikilisidir. Kaç etiket seçeneği vardır?
Aşama çarpımı
- Çerçeve 2 yolla seçilir; her seçimden sonra 4 uygun simge vardır.
- 2×4=8 etiket seçeneği.
Sınır: Bütün çerçeve–simge eşleşmeleri izinlidir; bir yasak varsa her dalın devamı yeniden sayılır.
Ayrık dalları listele
- A dalı:(A,u),(A,v),(A,w),(A,z).
- B dalı:(B,u),(B,v),(B,w),(B,z). Dallar çerçeve etiketiyle ayrılır;4+4=8.
Sınır: Çerçeve bilgisi sonuçtan silinirse bu ikililer başka biçimde tekilleşebilir; sayılan nesne aynı tutulmalıdır.
Birinci yöntem hangi sabit devam sayısını kullanıyor? İkinci yöntemde iki dalın aynı etiket sonucunu üretmediğini ne garanti ediyor?
Hatayı bul
“Her renkten sonra aynı sayıda seçenek olmayabilir ama3renk ve toplam6izinli devam listesi olduğuna göre3×6=18sonuç vardır.” açıklamasının ilk hatası nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Her dala ait devamları bir havuzda toplayıp bu havuzun her ilk seçimden sonra tamamen kullanılabildiğini varsaymak.
Hangi devamın hangi renkle izinli olduğunu koru. Dallar 2,3,1 sonuç veriyorsa toplam 6 dır;18 değildir.
İki konumlu kod sorusunda sembol tekrarına izin verilirse sonuç sayısı nasıl değişir?
Her iki konumda 4 seçenek olur;4×4=16 kod. Konum sırası aynı kaldı, değişen tek koşul tekrar yasağıdır.
Dersin soruları
1Bir araç tek dosya dışa aktarıyor. PNG seçilirse 2 çözünürlük ve 3 renk paletinden biri birlikte seçiliyor; SVG seçilirse 4 çizgi stilinden biri seçiliyor. PNG biçiminde her çözünürlük her paletle kullanılabilir. Her izinli seçenek farklı sonuç; iki format birden üretilmiyor. Kaç sonuç vardır?
Bu soruda hata mı var?2A,B,C,D sembollerinden iki konumlu bir kod oluşturuluyor. Semboller tekrar edilmeyecek; ilk ve ikinci konum farklı rollerdir, AB ile BA ayrı kodlardır. Kaç kod oluşturulur?
Bu soruda hata mı var?3Bir eşleştirme aracında ilk alan kırmızı,mavi,yeşil seçeneklerinden biri. Kırmızıdan sonra yalnız 1 ve 2; maviden sonra yalnız 2,3,4; yeşilden sonra yalnız 1 seçilebiliyor. Sonuç renk–sayı ikilisi. Kaç izinli sonuç vardır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir kasa etiketi, {1, 2, 3} rakamlarından oluşan iki konumlu koddur. Rakamlar tekrar edebilir; ancak 12 ile 21 aynı etiket sayılır (yalnız hangi iki rakamın kullanıldığı önemlidir). Kaç farklı etiket vardır?
2Bir kütüphanede “tarih” etiketli 12, “roman” etiketli 9 kitap vardır; 4 kitap bu iki etiketi birlikte taşımaktadır. En az bir etiketi taşıyan kaç kitap vardır?
3Bir kodun üç aşamalı seçimi vardır: 1. aşamada 3, 2. aşamada 4 uygun yol bulunur; bu sayılar önceki seçimlerden bağımsızdır. 3. aşamada da her önceki seçimden sonra aynı sayıda (x) uygun yol vardır. Toplam 60 farklı kod olduğuna göre x kaçtır?
41, 2, 3, 4, 5 rakamlarının her biri en çok bir kez kullanılarak dört basamaklı ve son basamağı tek olan kaç sayı yazılabilir?
5Sütun: 1 2 3 4 Satır P: ✓ ✓ ✗ ✓ Satır Q: ✗ ✗ ✗ ✗ Satır R: ✓ ✗ ✗ ✓ Aşağıdaki tabloda her satır bir ilk seçimi, her sütun bir ikinci seçimi gösterir; ✓ izinli, ✗ izinsiz ikilidir. Sonuç, satır–sütun ikilisidir. Kaç izinli sonuç vardır?
6Aşağıdaki durumlardan hangisinde toplam sonuç sayısı, grupların sonuç sayıları toplanarak bulunur?
7Bir öğrenci K, L, M harflerinin her biri bir kez kullanılarak oluşturulan üç harfli sıralı dizileri şöyle yazdı: KLM, KML, LKM, LMK, MKL. Bu liste için hangisi doğrudur?
8Bir sonuç iki aşamalıdır. İlk aşamada 3 yoldan biri seçilir. 1. yolda 2, 2. yolda 0 uygun ikinci seçim vardır; 3. yolda ise k uygun ikinci seçim vardır. Toplam 12 sonuç olduğuna göre k kaçtır?
9Bir sonuç (k, j) ikilisidir: k ∈ {1, 2, 3, 4}, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5} ve yalnız j > k olan ikililer izinlidir. Kaç izinli sonuç vardır?
10{1, 2, 3, 4} rakamları tekrar edilmeden kullanılarak yazılan iki basamaklı çift sayılar listeleniyor. Bir öğrenci 12, 14, 24, 32, 34, 44 listesini yazıyor. Bu liste ve sayım için hangisi doğrudur?
Aklında kaldı mı?
Toplama ilkesinde ayrık olma neden önemlidir?
Aynı tamamlanmış sonuç iki grupta da varsa doğrudan toplama onu iki kez sayar. Ayrıklaştırma veya ortakları düzeltme gerekir.
İkinci aşama ilk seçime bağlıysa çarpma hiç kullanılamaz mı?
Kullanılabilir. Her ilk seçimin aynı sayıda uygun devamı varsa bu sayıyla çarpılır. Devam sayıları değişiyorsa dalların sayıları ayrı toplanır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.