hepnotSayı ve yaş problemleri: bilinmeyene anlam ve zaman ver
Konunun mantığı
Sayı probleminde ilk iş bilinmeyene anlam vermektir: x, küçük sayı mı, toplam mı, kişi sayısı mı? “Bir sayının iki katının üç fazlası” 2x+3, “üç fazlasının iki katı” 2(x+3) olur. Parantez farkı, iki ayrı ilişkinin aynı görünmesini önler. Aynı x simgesini hem bir miktar hem o miktarın iki katı gibi kullanmak modelin anlamını bozar. Sorudaki her cümleyi kurduğun ifadeden geri okuyarak denetle.
Cebirsel çözüm, sorunun izin verdiği sayı kümesinde olmalıdır. Kişi veya nesne sayısı pozitif tam sayı istenmişse 0, negatif veya kesirli bir sonuç kabul edilmez. Ardışık tam sayılar x,x+1; ardışık çift sayılar 2k,2k+2 gibi yazılır; iki sayı arasındaki fark her soruda 1 değildir. Bir aday denklemde çalışsa bile bütün sözel koşulları sağlamıyorsa çözüm değildir. Model veriyle çelişiyorsa uygun sayı yok sonucunu açıkça söyle.
Yaş için bu derste sürekli bir yıl ölçeği kullanılır: aynı t yıl geçince her kişinin yaşı t artar, t yıl geriye gidince t azalır. Sorular bugünkü yaşlar için pozitif tam sayı, geçmişteki tarihler için de doğmuş olma koşulunu ayrıca belirtir. Takvimde doğum günlerinin hangi gün kutlandığına göre yuvarlanan “doldurulan yaş” hesabını modellemiyoruz. Böylece yaş tablosunun bugün sütunu x, t yıl sonra x+t, t yıl önce x−t biçimindedir.
Aynı iki kişiyi aynı tarihlerde karşılaştırırsak fark korunur: (a+t)−(b+t)=a−b. Toplam ise iki kişide 2t, üç kişide 3t artar. Farkın sabitliği yaş oranının da sabitliği demek değildir. Ayrıca birinin bugünkü yaşıyla diğerinin üç yıl önceki yaşını karşılaştırmak, ortak zaman kayması değildir; böyle bir cümleyi kendi tarih etiketleriyle yazmak gerekir.
Yaş probleminde küçük bir kişi×zaman tablosu, her yaşın hangi tarihe ait olduğunu görünür kılar. Denklemden sonra bulunan değerleri tabloya geri koy: o tarihteki yaş pozitif mi, istenen tam sayı koşulu var mı, söz edilen oran veya eşitlik gerçekten sağlanıyor mu? Gelecek süre t için “kaç yıl sonra” denmişse t≥0, “kaç yıl önce” denmişse uygun geri zaman sınırı gerekir. Negatif bulunan bir gelecek süresini sessizce pozitif yapıp yanıtlamak farklı bir soruyu çözer.
Bilinmeyene anlam ve sayı kümesi ver; parantez sözü değiştirmesin. Yaş modelinde aynı t yıl herkesin yaşına t ekler: fark sabit, iki kişinin toplamı 2t değişir. Farklı tarihli yaşları etiketle; adayları pozitiflik/tam sayı ve geçmişte doğmuş olma koşuluyla denetle.
Adım adım bir örnek
Bir sayı x, pozitif tam sayıdır. Bu sayının 4 fazlasının 3 katı ile 2 katının toplamı 47. x değerini iki temsille bulunuz.
Denklem kur
- İlişki 3(x+4)+2x=47. Dağıtınca 5x+12=47.
- 5x=35 → x=7; pozitif tam sayı koşulu sağlanır.
Sınır: 4 fazlası parantez içinde olmalıdır; 3x+4+2x aynı sözel ilişki değildir.
Parça modeli
- 3(x+4), üç x parçası ve 12 sabit birimden oluşur; diğer 2x ile toplam beş eş x parçası vardır.
- 47den sabit 12 çıkarılır; kalan 35, beş eş parçaya ayrılır: her biri 7.
Sınır: Parça modeli aynı doğrusal ilişkiyi temsil eder; terimlerin eş x parçaları olduğu varsayımı korunur.
3(x+4) yerine 3x+4 yazılsa sabit kısım neden değişir? x=7yi özgün cümleye koyarak 47yi nasıl doğrularsın?
Hatayı bul
“Bugünkü yaşları a ve b olan iki kişinin üç yıl sonraki yaşları toplamı a+b+3tür.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Ortak üç yıllık artışı kişi başına değil yalnız toplamın bir kez artışı olarak saymak.
Yeni toplam (a+3)+(b+3)=a+b+6. Fark ise (a+3)−(b+3)=a−b olarak korunur. İki ilişkiyi karıştırma.
A ile B için bugünkü toplam 45 ve A’nın üç yıl önceki yaşı B’nin bugünkü yaşının yarısı koşulu yerine, “A kişisinin üç yıl önceki yaşı, B kişisinin üç yıl önceki yaşının yarısıdır” denirse bugün A kaç yaşındadır?
Yeni ilişki a−3=(b−3)/2; a+b=45 ile 2a−6=b−3 → b=2a−3 → a=16,b=29. Eski modelde a=17ydi; B’nin tarihini değiştirmek denklemi ve sonucu değiştirir.
Dersin soruları
1Aralarındaki fark 4 olan iki pozitif tam sayıdan büyüğünün 2 katı, küçüğünün 3 katından 1 fazladır. Bu iki sayının toplamı kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2Sürekli yıl modelinde A ile B kişisinin bugünkü yaşları pozitif tam sayılar ve toplamları 45. A kişisinin üç yıl önceki yaşı, B kişisinin bugünkü yaşının yarısına eşit. O geçmiş tarihte ikisi de doğmuş. A kişisinin beş yıl sonraki yaşı kaçtır?
Bu soruda hata mı var?3Sürekli yıl modelinde iki kişinin bugünkü yaş farkı 10 yıl ve yaşları pozitiftir. Bir kayıt, “Aynı iki kişinin dört yıl sonraki yaş farkı 14 yıl olacaktır.” diyor. Bu kayıt hakkında hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Pozitif tam sayı x için, x’in 7 eksiğinin 3 katı x’in 2 katının 5 fazlasına eşittir. x kaçtır?
2Ardışık üç çift pozitif tam sayının toplamı 66’dır. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?
3Ardışık iki tek pozitif tam sayının toplamı 50 olabilir mi?
4Bir sınıfta x sıra vardır. Her sıraya 2 öğrenci oturtulursa 7 öğrenci ayakta kalıyor; her sıraya 3 öğrenci oturtulursa 2 sıra boş kalıyor. Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
5Bugün Ece 12, Can 20 yaşındadır (sürekli yıl modeli). Kaç yıl sonra Can’ın yaşı Ece’nin yaşının 3 katı olur?
6Sürekli yıl modelinde Ayşe’nin bugünkü yaşı x, Berk’in bugünkü yaşı ise Ayşe’den 5 fazladır. Ayşe’nin 3 yıl sonraki yaşı ile Berk’in 2 yıl önceki yaşının toplamı 30’dur. Bu cümleyi hangi denklem doğru modeller?
7Üç kardeşin bugünkü yaşları toplamı 39’dur. Kaç yıl sonra bu üç kardeşin yaşları toplamı 54 olur?
8A, B’den 12 yaş büyüktür ve bugün A’nın yaşı B’nin yaşının 3 katıdır. Kaç yıl sonra A’nın yaşı B’nin yaşının 2 katı olur?
9Sürekli yıl modelinde Deniz 8, Ela 14, Fatih 26 yaşındadır; geçmiş tarihte kişi doğmuş olmalıdır. Kaç yıl önce üç kişinin yaşları toplamı 12 idi?
10A, B ve C’nin bugünkü yaşları pozitif tam sayıdır ve toplamları 53’tür. A, B’den 5 yaş, B de C’den 3 yaş büyüktür. A’nın 4 yıl önceki yaşı kaçtır? (4 yıl önce hepsi doğmuş olmalıdır.)
Aklında kaldı mı?
Aynı iki kişi t yıl sonra neden aynı yaş farkına sahiptir?
İki yaş da aynı t artışını alır; (a+t)−(b+t)=a−b. Bu modelde toplam 2t artar, oran genel olarak sabit kalmaz.
Denklemden x=5/2 çıkması bir sayı probleminde her zaman kabul edilir mi?
Hayır. Başlangıç koşulu pozitif tam sayı/nesne sayısı ise kabul edilmez. Sorunun sayı kümesi ve sözel koşulları özgün modelde denetlenir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.