YKS · MATEMATİK

Pozitif tabanda rasyonel üs ve köklü gösterim

Bu derste Pozitif tabanda rasyonel üssü pozitif kök ve tam sayı kuvvetiyle tanımlar; eşdeğer kesir üslerini gerekçelendirir. Negatif rasyonel üste ters alma ve ortak kök derecesi kullanır; başlangıç pozitif taban koşulunu korur.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Rasyonel üs ve köklü gösterim. a>0 için paydası n olan kesir üssünün n. kök, payının tam sayı kuvveti olduğu; negatif üsün ters almak olduğu gösterilir. a^(5/6)·a^(−1/3)/a^(1/4) ifadesi iki yolla ⁴√a değerine indirilir. — **Rasyonel üs ve köklü gösterim.** a>0 için paydası n olan kesir üssünün n. kök, payının tam sayı kuvveti olduğu; negatif üsün ters almak olduğu gösterilir. a^(5/6)·a^(−1/3)/a^(1/4) ifadesi iki yolla ⁴√a değerine indirilir. Ölçeksiz şema; yalnız pozitif tabanda geçerlidir, a=81 sayısal kontrolü genel eşitliğin kanıtı değildir.

Bu derste taban a kesinlikle pozitiftir. m bir tam sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere a^(m/n)=(ⁿ√a)^m diye tanımlarız; ⁿ√a, n. kuvveti a olan pozitif sayıdır. n=1 için kök a olur. Payda kök derecesini, pay ise kök alındıktan sonraki tam sayı kuvvetini gösterir. Bu, tabanı m/n ile çarpmak değildir. Pozitif kök seçildiği için sonuç daima pozitiftir; çift dereceli bir kökün yazımı iki işaretli denklem çözümü gibi ± ile verilmez.

Aynı rasyonel sayı farklı kesirlerle yazılabilir; pozitif tabanda kuvvet değeri bu yazıma bağlı değildir. Nitekim k pozitif tam sayı iken t=ⁿ√a>0 seç; s, s^k=t olan pozitif kök olsun. s^(nk)=a olduğundan s, a sayısının nk. dereceden pozitif köküdür. Böylece (ⁿᵏ√a)^(mk)=s^(mk)=t^m; yani a^(mk/nk)=a^(m/n). Üsleri önce sadeleştirmek hesap kolaylığı sağlar. Pozitif kökün tekliği bu gerekçenin parçasıdır; tek bir sayıda denemek bütün eşdeğer yazımların ispatı değildir.

m negatifse tam sayı üs tanımından (ⁿ√a)^m=1/(ⁿ√a)^(−m) olur; payda sıfır değildir çünkü kök pozitiftir. Dolayısıyla a^(−r)=1/a^r ve a^0=1, r rasyonel. Negatif üs negatif sonuç üretmek zorunda değildir; pozitif tabanda sonuç burada yine pozitiftir. İstenirse a^(m/n)=ⁿ√(a^m) yazılır: sağdaki pozitif sayının n. kuvveti a^m olur. Kök ve kuvvet sırası bu koşullarda değiştirilebilir; büyük sayılarda önce kök almak daha kısa olabilir.

Pozitif a,b ve r,s rasyonel için a^r·a^s=a^(r+s), a^r/a^s=a^(r−s), (a^r)^s=a^(rs) ve (ab)^r=a^r b^r kullanılır. Ortak kök derecesi seçilip pozitif köklerin tekliği ve tam sayı kuvvetleriyle bu kurallar gerekçelendirilebilir. Örneğin r=p/n, s=q/n ise t=ⁿ√a üzerinden t^p·t^q=t^(p+q) elde edilir; farklı paydalar önce ortaklaştırılır. Toplama için benzer üs toplama kuralı yoktur: a^r+a^s genel olarak a^(r+s) değildir. Bölmenin asıl payda koşulları da kaydedilir.

Pozitif taban sınırı bir süs değildir. Örneğin x−c tabanıyla bu dersin modeli yalnız x>c için kurulmuşsa, kesir üssü sadeleşince x≤c girdilerini kendiliğinden ekleyemeyiz. Sıfırın bazı pozitif kuvvetleri başka bir kapsamda tanımlanabilir; fakat sıfırın negatif kuvveti burada geçerli değildir. Negatif sayıların tek dereceli kökleri de ayrı bir konu olarak bulunur; bu, bütün rasyonel üs kurallarını negatif tabana koşulsuz taşımaz. Buradaki pozitif model farklı kesir yazımlarını güvenle eşdeğer tutar; bütün gerçel/karmaşık üs teorisini tamamlamaz.

KISACA

a>0, m∈ℤ, n∈ℤ+ için a^(m/n)=(ⁿ√a)^m=ⁿ√(a^m). Eşdeğer kesir üsleri aynı değerdir. Negatif üs ters alma; pozitif tabanda rasyonel üs kuralları geçerlidir. Sadeleştirme asıl tanım alanını genişletmez.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

a>0 için E=a^(5/6)·a^(−1/3)/a^(1/4) ifadesini iki yolla tek köklü gösterime dönüştürün. Sonra a=81 verisinde kontrol edin; sayısal kontrol genel eşitlik kanıtı değildir.

Rasyonel üsleri ortak paydada birleştirme

5/6−1/3−1/4=10/12−4/12−3/12=3/12=1/4.
E=a^(1/4)=⁴√a; a>0 olduğundan bütün paydalar tanımlı ve sıfırdan farklıdır.
a=81 için sonuç3; bu tek girdi genel gerekçenin yerine geçmez.

Sınır: Aynı pozitif taban gerekir; negatif üssün eksi işareti ile bölmenin eksi işareti ayrı korunur.

Ortak pozitif kökle tam sayı kuvvetlerine geçme

t=¹²√a>0 koy: a^(5/6)=t^10, a^(−1/3)=t^(−4), a^(1/4)=t^3.
E=t^10·t^(−4)/t^3=t^3; (t^3)^4=a ve t^3>0 olduğundan t^3=⁴√a.
a=81 için pozitif dördüncü kök3tür; aynı sonuç alınır.

Sınır: Bu yöntem ortak kök ve tam sayı kuvvetiyle aynı eşitliği gerekçelendirir; t=0 seçilmez.

İkinci yoldaki10−4−3 sayımı ilk yoldaki3/12 sonucuyla nasıl bağlanıyor? a=0 bu başlangıç ifadeye neden eklenemez?

HATA AVI

Hatayı bul

Öğrenci a>0 için a^(2/6) ile a^(1/3) eşittir diyor, sonra aynı adımı her negatif tabanda bütün kök yazımlarıyla koşulsuz kullanabileceğini söylüyor. İlk kanıt aşımı nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Pozitif kökün tekliğiyle kurulmuş eşdeğerliği başlangıç koşulu dışına koşulsuz taşımak.

Bu derste genel gerekçe a>0 içindir. Negatif tabanda altıncı dereceden kök ile küpkök aynı tanımlılık koşulunda değildir. Bazı tek köklerin gerçek olması bütün rasyonel üs işlemlerini koşulsuz doğrulamaz; yeni alan ve tanım ayrıca gerekir.

Çalışılmış E ifadesinde yalnız paydadaki a^(1/4) yerine a^(1/2) konursa aynı a>0 alanında sonuç ve a=81 kontrolü nasıl değişir?

Üs5/6−1/3−1/2=0 olur; ifade1dir. a=81 de1 verir. Eski⁴√a sonucu bütün a>0 için geçerli bu yeni1 kuralıyla aynı değildir; yalnız a=1de çakışırlar. Bu, yeni taban alanı eklemez.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Pozitif a için a^(−m/n) nasıl okunur; n ve m için koşullar nedir?

n pozitif tam sayı, m tam sayı. a^(−m/n)=1/a^(m/n) ve kök değeri pozitiftir, dolayısıyla payda sıfır olmaz. Negatif üs sonucu negatif yapmaz.

a^(m/n) ile a^(km/kn) eşitliğinde yalnız kesir sadeleştirmesi mi, hangi kök koşulu da kullanılır?

a>0 ve k,n pozitif tam sayıdır. Ortak pozitif kökün tekliği, iki yazımın aynı değeri verdiğini gerekçelendirir. Pozitif taban koşulu atılıp bütün negatif tabanlara genellenmez.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.