YKS · MATEMATİK

Rakam değişkenleri: ters yazım, baştaki sıfır ve ortak koşullar

Bu derste Üst çizgili iki/üç basamak gösterimini çarpımdan ayırıp basamak değerleriyle yazar. Ters yazımın da aynı basamakta kalması için ilk ve son rakam koşullarını birlikte kurar. Denklem adayını rakam aralığı/tamlık ve bütün verilen koşullarla denetler.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Rakam değişkenleri. Basamak kutularıyla ab=10a+b ve abc=100a+10b+c yazılır, ters farklar 9(a−b) ve 99(a−c) olur. Baştaki ve tersin baştaki sıfır koşulu ile ab−ba=36, ab+ba=110 örneğinde 73 bulunur. — **Rakam değişkenleri.** Basamak kutularıyla ab=10a+b ve abc=100a+10b+c yazılır, ters farklar 9(a−b) ve 99(a−c) olur. Baştaki ve tersin baştaki sıfır koşulu ile ab−ba=36, ab+ba=110 örneğinde 73 bulunur. Ölçeksiz; aday taraması yalnız b=1..5 sonlu aralığı için doğrulamadır, bütün basamak sayıları için yeni bir kural ispatı değildir.

Bu derste overline(ab) yazımı iki basamaklı onluk doğal sayıyı, a·b ise çarpımı gösterecek. overline(ab)=10a+b; overline(abc)=100a+10b+c. Rakam değişkenleri0,1,…,9 tam sayılarıdır. Üst çizgi sembolü kaynakta görünmüyorsa sorunun “iki basamaklı sayı” veya “çarpım” tanımını oku; yalnız harflerin yan yana bulunmasından ikisini eşitleme.

İki basamaklı overline(ab) için1≤a≤9 ve0≤b≤9 gerekir. Tersi overline(ba) da iki basamaklı denmişse b de1–9 olmalıdır. Örneğin yazımın ilk yeri0 olunca sayısal değer kalan tek basamaklı sayıdır; basamak sayısı korunmuş olmaz. Üç basamakta overline(abc) ve overline(cba) ikisi de üç basamaklıysa a,c sıfırdan farklı, b ise0 olabilir. Rakamların farklı olması ayrıca verilmedikçe a=b gibi eşitlikleri kendiliğinden yasaklamayız.

Ters yazım farkını basamak ağırlıklarıyla kur:overline(ab)−overline(ba)=(10a+b)−(10b+a)=9(a−b). Üç basamakta overline(abc)−overline(cba)=99(a−c); ortadaki10b katkıları birbirini götürür. Bu fark bağıntısı yalnız uç rakamların farkını söyler; sayının kendisini bulmak için ek koşul gerekebilir. İşaretli fark ile iki sayı arasındaki mutlak fark aynı ifade değildir; hangi sayının önce çıkarıldığı korunur.

Toplam, fark veya başka ilişki denklem adayları üretir; rakam aralığını ve tam sayılılığı ayrıca denetle. a=7,5 çıkmışsa rakam7ye yuvarlanmaz; a=10 rakam değildir. Doğru bir fark eşitliği, tersinin aynı basamakta kalmasını otomatik sağlamaz. Son adımda özgün sayıları yeniden oluşturup bütün koşulları tek tek kontrol et; sadece cebirsel bir eşitliği sağlamak geçerli kayıt oluşturmak değildir.

İki rakamın bütün0–9 adayları sonlu olduğundan verilen bir soruyu sistematik taramayla da doğrulayabiliriz. Önce başlangıç ve ters yazımın baş sıfır yasaklarını uygula, sonra bütün bağıntıları denetle; aday silmenin gerekçesi görünür olsun. Bu sonlu tarama belirli aralıktaki soruyu doğrular;9(a−b) ve99(a−c) genel bağıntılarının gerekçesi basamak çözümlemesidir. Eski son rakam/rakam toplamı bölünebilme konusu zaten işlendi; burada yeni hedef eşzamanlı rakam koşullarıdır.

KISACA

overline(ab)=10a+b çarpım değildir. İlk rakam0 olamaz; tersi de aynı basamaklıysa son rakam da0 olamaz. İki basamak farkı9(a−b), üç basamak ters farkı99(a−c). Denklemden sonra tam rakam aralığı ve bütün koşullar yeniden denetlenir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

overline(ab) ve overline(ba) iki basamaklı doğal sayılar. overline(ab)−overline(ba)=36 ve iki sayının toplamı110. Rakam koşullarını koruyarak overline(ab)yi iki yaklaşımla bulun.

İki basamak denkleminden aday

İki sayı da iki basamaklı: a,b∈{1,…,9}. Fark9(a−b)=36→a−b=4.
Toplam11(a+b)=110→a+b=10. İki denklemden a=7,b=3.
Sayılar73 ve37; ikisi iki basamaklı, fark36 ve toplam110.

Sınır: İlk ve ters sayının baş rakamları sıfır olamaz. Denklemden çıkan aday yalnız bu koşullar da sağlandığı için kabul edilir.

Rakam aralığında sonlu aday daraltma

a=b+4;1≤b≤9 ve a≤9 nedeniyle b=1,2,3,4,5. Aday sayılar51,62,73,84,95.
Tersleriyle toplamları sırasıyla66,88,110,132,154. Yalnız73ün toplamı110.
73−37=36 da sağlanır; bütün koşullar tamam.

Sınır: Tarama bu sonlu rakam aralığının tamamını kapsadığı için belirli soruyu doğrular. Bütün basamak sayılarına yeni bir kural ispatı değildir.

Tersinin de iki basamaklı olması kaldırılırsa ilk aday aralığında b=0a neden artık izin çıkabilir? Fark ve toplam koşulları yine ayrıca denetlenir mi?

HATA AVI

Hatayı bul

“a−b=3 için b=0,a=3 uygundur;30−03=27 olduğundan iki sayının da iki basamaklı olduğu koşulu tamam.” İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: 03 yazımını baş sıfıra rağmen iki basamaklı doğal sayı saymak.

03ün sayısal değeri3tür; iki basamaklı değildir. İki yön de iki basamaklıysa a,b≥1 gerekir. Eşitliği sağlamak adayın bütün basamak koşullarını sağladığını göstermez.

Çalışılmış örnekte yalnız fark36 korunsun, toplam110 koşulu kaldırılıp tersin de iki basamaklı olması korunsun. Aday sayısı ve adaylar ne olur?

a=b+4 ve a,b1–9→b1–5. Beş aday51,62,73,84,95; tek sayı artık belirlenmez. Toplam bilgisi kaldırılması a=7,b=3 sonucunu zorunlu olmaktan çıkarır; genel fark bağıntısı ise aynı kalır.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Üç basamaklı overline(abc) ve tersi overline(cba) için hangi rakamlar0 olabilir?

İkisi de üç basamaklıysa a,c1–9; orta rakam b0–9 olabilir. Rakamların birbirinden farklılığı ayrıca verilmedikçe eklenmez.

Ters yazım farkında iki/üç basamak için hangi genel açılım kullanılır?

(10a+b)−(10b+a)=9(a−b);(100a+10b+c)−(100c+10b+a)=99(a−c). Ortadaki katkı üç basamak farkında iptal olur; bu farkı sağlamak tek başına bütün rakam koşullarını garanti etmez.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.