hepnotPolinom işlemleri: terimi, katsayıyı ve dereceyi ayır
Konunun mantığı
Bu derste değişkenimiz x, katsayılarımız gerçek sayıdır. Bir polinom sonlu sayıda axⁿ teriminin toplamıdır; n, sıfır dahil negatif olmayan bir tam sayıdır. Örneğin 2x³−5x+1 bir polinomdur. 1/x ve √x, x değişkeninde bu biçimde yazılamaz; buna karşılık √2 gibi sabit bir sayı katsayı olabilir. Katsayıyı değişkenin üssüyle karıştırma.
Sıfır olmayan polinomun derecesi, benzer terimler toplandıktan sonra katsayısı sıfır olmayan en büyük üstür. x² terimi yazılmamışsa onun katsayısı 0 olabilir; olmayan terimi uydurmayız. Sıfırdan farklı sabit polinomun derecesi 0, bütün katsayıları sıfır olan sıfır polinomunun derecesi ise bu derste tanımsız/belirsiz kabul edilir. Sıfır polinomuna otomatik olarak derece 0 verme.
Katsayılarda bir a parametresi varsa dereceyi x bakımından belirlerken a sabit sayılır; seçilen a değeri baş katsayıyı sıfırlayabilir. Örneğin (a−1)x³+2x, a=1 iken üçüncü değil birinci derecedir. Bir polinomun belirli bir x değerinde sıfır olması bütün katsayılarının sıfır olması anlamına gelmez. Özdeş sıfır olma, her x için aynı sıfır polinomunu anlatır.
Toplama ve çıkarmada yalnız aynı x kuvvetlerinin katsayılarını birleştiririz. Çıkarmada ikinci parantezin bütün terimleri işaret değiştirir. İki polinomun derecesi eşitse baş terimler iptal olabilir; toplamın derecesi bu yüzden düşebilir, hatta sıfır polinomu oluşabilir. Dereceler farklı ve iki polinom da sıfırdan farklıysa büyük dereceli baş terimin karşılığı bulunmadığından toplam/çıkarma derecesi büyük olan derecedir.
Çarpmada birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimiyle çarpılır; katsayılar çarpılır, aynı tabanlı x kuvvetlerinin üsleri toplanır. Sonra benzer terimler birleştirilir. Gerçek katsayılı iki sıfır olmayan polinomda baş katsayıların çarpımı sıfır olmadığı için çarpım derecesi derece toplamıdır. Çarpanlardan biri sıfır polinomuysa bu derece kuralını kullanmayız. İşlem sonunda bir değeri yerine koymak kontrol sağlar; tek değer eşitliği tek başına polinom özdeşliğini kanıtlamaz.
Derece, sadeleştirme sonrası sıfır olmayan en büyük üs; sıfır polinomunda belirsizdir. Benzer terimler toplanır, çıkarmada bütün işaretler değişir. Çarpmada her terim her terimle çarpılır. Sıfır olmayan iki polinomun çarpımında dereceler toplanır; eş dereceli toplamda iptal olabilir.
Adım adım bir örnek
P(x)=2x²−3x+4 ve Q(x)=−2x²+5x−1 için P(x)+Q(x) polinomunu ve derecesini iki temsille bulunuz.
Terimleri grupla
- P+Q=(2−2)x²+(−3+5)x+(4−1).
- Sonuç 2x+3; x katsayısı 2 sıfır olmadığından derece 1.
Sınır: Dereceyi ilk yazılan x² üslerine bakarak seçme; önce katsayıları birleştir.
Katsayı sütunları
- x², x, sabit sırasıyla P satırı (2,−3,4), Q satırı (−2,5,−1).
- Sütun toplamı (0,2,3); sıfır x² sütunu çıkarılınca 2x+3 kalır.
Sınır: Bu, aynı toplamanın tablo temsilidir; iki polinom için birkaç x değerini denemekle genel eşitlik kanıtlanmış olmaz.
Baş terimlerin iptali tabloda nerede görülüyor? Q içindeki x² katsayısı −1 olsaydı toplamın derecesi ne olurdu?
Hatayı bul
“P(x)=x²+1 ve Q(x)=−x²−1 ikinci dereceden olduğundan P+Q da ikinci derecedendir.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Toplamın baş teriminde ve diğer bütün terimlerde iptal olabileceğini kontrol etmeden dereceyi korumak.
P+Q=0 sıfır polinomudur. Bu dersteki kabule göre derecesi belirsizdir; 2 veya 0 denmez. Derece toplamı kuralı, sıfır olmayan polinomların çarpımı içindir.
Pₐ(x)=(a−2)x³+(a+1)x−3 ailesinde a=2 yerine a=−1 seçilirse derece nasıl değişir?
a=2 iken P₂=3x−3 ve derece 1. a=−1 iken P₋₁=−3x³−3; x terimi kaybolur ama baş katsayı sıfır değildir, derece 3 olur.
Dersin soruları
1P(x)=3x³−2x²+x−6 ve Q(x)=−3x³+5x²−x+8. R(x)=P(x)+Q(x) için (derece, x² katsayısı, sabit terim) üçlüsü hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2R(x)=(2x−3)(x²+x+4). R polinomunda x² teriminin katsayısı kaçtır?
Bu soruda hata mı var?3Gerçek a için Pₐ(x)=(a−2)x³+(a+1)x−3 polinomunun x bakımından derecesi tam 1 olsun. Buna göre a ve Pₐ(2) birlikte hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Aşağıdaki ifadelerden hangisi x değişkeninde bir polinomdur?
2P(x)=(x−1)(x+2)+m·x+n ve Q(x)=x²+3x+1 polinomları her gerçek x değeri için eşit olacaksa (m, n) ikilisi hangisidir?
3(x−2)(x+3) − (x+4)(x−3) polinomunun derecesi kaçtır?
4A(x)=5x³−2x²+4x−7 ve B(x)=2x³−6x²−3x+1 için A(x)−B(x) polinomunda (x² katsayısı, x katsayısı) ikilisi hangisidir?
5P(x)=(m−3)x³+4x²−5 ve Q(x)=(2m+3)x³−x²+2x polinomları veriliyor. P(x)+Q(x) toplamı ikinci dereceden bir polinom olduğuna göre (m, toplamdaki x² katsayısı) ikilisi hangisidir?
6P(x)=x³−2x+1 ve Q(x)=2x⁴+x²−3 için P(x)·P(x)·Q(x) çarpımının derecesi kaçtır?
7(x²+kx+3)(2x²+x−4) çarpımında x² teriminin katsayısı 0 olacaksa k kaçtır?
8A(x)=x³−x ve B(x)=x²−x polinomları için A(0)=B(0) ve A(1)=B(1) eşitlikleri sağlanıyor. A ve B’nin verilen kurallarına göre hangisi doğrudur?
9P(x)=x^(2m−7)+5x^(9−m)+2 ifadesi x değişkeninde bir polinom olacak biçimde kaç farklı m tam sayısı vardır?
10Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
Aklında kaldı mı?
Sıfır olmayan sabit polinom ile sıfır polinomunun derecesi aynı mıdır?
Hayır. Örneğin 7 polinomunun derecesi 0; sıfır polinomunun derecesi bu derste belirsiz/tanımsızdır.
İki sıfır olmayan polinomun toplamında ve çarpımında derece için hangi fark var?
Çarpımda dereceler toplanır. Toplamda baş terimler iptal edebilir; eş dereceli polinomlarda önce toplama yapılmalıdır. Farklı derecelerde toplamın derecesi büyük olandır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.