hepnotPolinom bölmesi: bölüm–kalan özdeşliği ve durma koşulu
Konunun mantığı
Gerçek katsayılı bir P polinomu sıfır olmayan D polinomuna bölünürken P(x)=D(x)Q(x)+R(x) özdeşliği aranır. D bölen,Q bölüm,R kalandır;eşitlik yalnız birkaç x için değil bütün gerçek xlerde polinom eşitliği olmalıdır. Kalan ya sıfır polinomudur ya da derecesi Dnin derecesinden küçüktür. Sıfır polinomun derecesini zorla0saymak yerine bu sıfır kalan durumunu ayrı belirtiriz. Sıfır polinoma bölme tanımlanmaz.
Polinomları azalan kuvvetlere göre sırala;eksik kuvvetleri gerektiğinde0katsayısıyla kaydet. Uzun bölmede kalan geçici ifadenin baş terimini Dnin baş terimine bölüp Qya yeni terim yazarsın. Bu terimle Dyi çarpıp geçici ifadeden tamamını çıkarınca en büyük kuvvet yok olur. Çıkarmada bütün çarpımın işaretleri değişir. Dnin baş katsayısı sıfır olmadığı için bu adım gerçek katsayılarda yapılabilir;bir basamakta sıfırla bölünmez.
Geçici ifadenin derecesi hâlâ böleninkine eşit veya büyükse devam edilir. Derece her başarılı adımda düştüğü ve dereceler negatif olmayan tam sayılar olduğu için işlem sonlu adımda durur. Bu,aritmetik sonucu bulmanın yanında kalan sınırını da sağlar. Yalnız P=DQ+Ryi tutturmak yeterli değildir: Rden Dnin bir katı daha çıkarılabiliyorsa bölüm tamamlanmamıştır. Ryi değiştirmek gerekiyorsa Qyu da uygun ters yönde güncellemek özdeşliği korur.
P sıfır olmayan ve derecesi Dden küçükse Q=0,R=P geçerlidir;uzun bölmeye zorla bir baş terim yazılmaz. D sıfır olmayan sabitse P/D yine bir polinom,kalan0dır. İki geçerli bölüm-kalan çifti olduğunu varsaysak D(Q1−Q2)=R2−R1 olur. Q1−Q2 sıfır değilse solun derecesi en az Dkadarken sağın derecesi Dden küçüktür;bu olamaz. Dolayısıyla çift tektir. Bu gerekçe sıfır farkları ayrı tutan genel bir polinom gerekçesidir.
Son denetimde DQyu yeniden aç,Ryi ekle ve Pnin bütün katsayılarını karşılaştır;sonra kalan derece sınırını ayrıca kontrol et. Bir xde aynı sayı çıkması özdeşlik için yeterli değildir. Polinom bölmesi,bölenin bir kökünde rasyonel kesri tanımlı yapma işlemi de değildir: P=DQ+R özdeşliği bütün xlerde anlamlıdır;P/D=Q+R/D yazımı ise D(x)≠0girdilerinde kullanılır. Bu derste bütün algoritmalar veya ileri polinom teorisi tamamlanmış sayılmaz.
D≠0polinomu için P=DQ+R;R=0veya derR<derD. Uzun bölmede baş terimi yok et,çarpımın tümünü çıkar,derece küçülene kadar sürdür. Eşitlik tek başına değil,kalan sınırıyla birlikte tamamlanır.
Adım adım bir örnek
P(x)=2x³−3x²+5x−1,D(x)=x²+2. Gerçek katsayılı bölüm Q ve kalan Ryi iki yolla bulup kontrol edin.
Baş terim yok eden uzun bölme
- 2x³/x²=2x. Pden2x(x²+2)=2x³+4xçıkar:−3x²+x−1kalır.
- −3x²/x²=−3. Bu ifadeden−3(x²+2)=−3x²−6çıkar:x+5kalır.
- Q=2x−3,R=x+5. Kalan1dereceli,bölen2derecelidir;durulur.
Sınır: Çıkarmada−3x²−6nın tamamının işareti değişir;yalnız ilk terimi silmek kalan sabitini yanlış yapar.
Bilinmeyen katsayıları özdeşlikle kur
- Derecelerden Q=ax+b,R=cx+dseç;P=(x²+2)(ax+b)+cx+d.
- Açılım ax³+bx²+(2a+c)x+(2b+d). Katsayılar a=2,b=−3,c=1,d=5verir.
- DQ+R=2x³−3x²+5x−1genel özdeşliği ve kalan sınırı birlikte doğrulanır.
Sınır: Bölüm/kalan biçimleri derece sınırıyla seçildi;birkaç xde sayısal eşitlik değil tüm katsayıların eşitliği kullanıldı.
İlk adım sonundaki−3x²+x−1ifadesine neden hemen kalan denemez?
Hatayı bul
“P=DQ+Ryi açınca doğru çıktı;Rnin derecesi Dkadar olsa da kalan tamamdır.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Özdeşliğin yanında standart kalanın derece sınırını denetlememek.
R≠0ise derR<derDgerekir. Aksi hâlde Rden Dnin uygun bir katı daha çıkarılıp Qya eklenebilir. Hem özdeşlik hem son kalan sınırı birlikte sağlanmalıdır.
Çalışılmış Pden x+5çıkarılarak yeni S=P−(x+5)polinomu seçilirse aynı Dile bölmede bölüm/kalan ve özdeşliğin geçerli olduğu girdiler ne olur?
S=(x²+2)(2x−3);bölüm2x−3,kalan0dır. Bu bir polinom özdeşliğidir ve bütün gerçek xlerde geçerlidir. Sıfır kalana derece0verilmez;S/Doranı yazılsaydı ayrıca D(x)≠0koşulu konuşulurdu.
Dersin soruları
1P=x³+2x²−3x+7polinomu D=x²−x+2ile bölünüyor. Geçerli(bölüm Q;kalan R)hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Bir öğrenci P=x³+2x+1,D=x²+1için P=D(x−1)+(x²+x+2)özdeşliğini doğru buluyor. Standart polinom bölmesini tamamlayan(Q;R)hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3D=x²+3ile yapılan polinom bölmesinde geçici özdeşlik P=DQ+Rve R=(a−2)x²+(b+1)x+5veriliyor; a,bgerçektir. Rnin standart kalan olması için a ve bkoşulu hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1P(x) = x³ − 4x + 3 polinomu D(x) = x − 1 ile bölünüyor. Standart bölmeyi tamamlayan (bölüm Q; kalan R) hangisidir?
2D(x) ikinci dereceden bir polinomdur. P = D·Q + R özdeşliğiyle kurulan standart bölmede kalan R için hangisi doğrudur?
3P(x) = 3x + 5 polinomu D(x) = x² + 2 ile bölünüyor. Standart (bölüm Q; kalan R) hangisidir?
4P(x) = x³ + ax² + bx − 6 polinomu D(x) = x² − x − 2 ile kalansız bölünüyor ve bölüm Q(x) = x + c biçimindedir. (a ; b) hangisidir?
5P(x) = (x² − 3)·(2x) + (5x² + x − 4) polinomu x² − 3 ile bölünüyor. Standart bölmedeki bölüm Q ve kalan R için Q(1) + R(1) kaçtır?
6P(x) = 3x³ − 4x + 5 polinomu D(x) = x² + x − 1 ile bölünürken ilk bölüm terimi bulunup D ile çarpılıyor ve P’den çıkarılıyor. Bu çıkarmadan sonra geçici ifade hangisidir?
7D(x) = 3 sabit polinomu ile P(x) = 6x³ − 9x + 12 bölünüyor. Standart (bölüm Q; kalan R) çifti hangisidir?
8D(x) = x² − 1 için P = D·Q + R özdeşliğinde Q(x) = x + 2 ve R(x) = 3x + 1 verilmiştir. P(x) polinomunun x katsayısı ile sabit teriminin toplamı kaçtır?
9D(x) = x² − 4 olmak üzere P = D·Q + R özdeşliği kurulmuştur. Bu özdeşlik ile P/D = Q + R/D eşitliği hangi x değerleri için geçerlidir?
10D(x) = x − 3 ve P(x) = x² + x + 1 için P = D·Q + R özdeşliğinde Q(x) = x + 4 ve R(x) = 13 bulunmuştur. x = 3 yerine konursa hangi yorum doğrudur?
Aklında kaldı mı?
Sıfır kalan için derR<derDyazarken hangi uyarı var?
Sıfır polinomun derecesine bu derste sayısal değer verilmez. Koşulu R=0veyaR≠0iken derR<derDdiye ayrı kur;tam bölünmede R=0dır.
Uzun bölmede bir baş terim neden kaybolur ve işlem neden biter?
Baş terim oranıyla Dçarpılıp çıkarılır;en yüksek kuvvet iptal olur. Geçici derece düşer ve negatif olmayan tam derece sonsuza kadar azalmaz;sonunda düşük dereceli veya sıfır kalan vardır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.