YKS · MATEMATİK

Permütasyon ve özdeş nesnede temsil çokluğu

Bu derste Farklı nesnelerin tekrarsız sıralı seçiminde P(n,r) bağıntısını koşullarıyla kurar. Özdeş nesnelerin görünür sıralamalarında etiketli temsillerin sabit çokluğunu gerekçelendirir.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Özdeş nesnede sıralama. P P P Q Q R görünümü geçici kimliklerle 12 farklı yazıma karşılık gelir; 720 etiketli sıra 12'ye bölünüp 60 görünür şerit bulunur. Aynı sayı konum seçimiyle 20·3 olarak da elde edilir. — **Özdeş nesnede sıralama.** P P P Q Q R görünümü geçici kimliklerle 12 farklı yazıma karşılık gelir; 720 etiketli sıra 12'ye bölünüp 60 görünür şerit bulunur. Aynı sayı konum seçimiyle 20·3 olarak da elde edilir. Üç P, iki Q, bir R için ve gizli kimlik kaydedilmediği varsayımıyla; dönmüş ya da ters sıralar ayrıca eşit sayılmaz, her kısıtta otomatik bölme yapılmaz.

Permütasyonda sonuç,nesnelerin hangi konumlara hangi sırayla yerleştiğidir. n tane birbirinden farklı nesneden r tanesini tekrar etmeden,soldan sağa ayırt edilen rkonuma yerleştirelim;0≤r≤n tamsayılar olsun. İlk konum n,ikinci n−1,...,sonuncu n−r+1seçenek verir. Bütün uygun seçimler serbestse P(n,r)=n(n−1)…(n−r+1)=n!/(n−r)!. Bu bağıntı,aynı nesnenin birden çok kullanılabildiği rkonum için n^r sayımıyla aynı değildir. Tekrar veya konum yasağı varsa seçenekler yeniden incelenir.

Faktöriyel gösterim uzun çarpımı kısaltır;0!=1kabulü boş dizilişin tek olmasıyla uyumludur. P(n,0)=1,P(n,n)=n! ve P(n,1)=n. r>n durumunda tekrarsız rkonumu dolduracak sonuç yoktur;faktöriyel formülüne negatif tamsayı faktöriyeli yazmayız. n=0,r=0için de yalnız boş diziliş vardır. Bütün nesneleri sıralama ile bir kısmını seçip sıralama farklı görevlerdir;sonuçta seçilmeyen nesnelerin kendi aralarındaki sırası kaydedilmez.

Bazı nesneler görünür sonuç bakımından özdeş olabilir:aynı etiketi taşıyan iki kartın yer değiştirmesi kayda yeni bir görünüm eklemiyorsa onları ayrı sonuç saymayız. Sabit miktarlar n₁,n₂,...,nₖ ve toplamları n olsun. Her nesneye geçici gizli numara verilirse n!etiketli sıra vardır. Numaralar silindiğinde aynı görünümün n₁!n₂!…nₖ!farklı etiketli temsili bulunur;çünkü her türün kendi etiketleri kendi yerlerinde o kadar şekilde değişebilir. Dolayısıyla görünür sıra sayısı n!/(n₁!…nₖ!). Bu modelde bütün nnesne kullanılır,tür miktarları sabittir ve sıra doğrusaldır.

Bölme rastgele bir düzeltme değildir;her görünür sonucun aynı pozitif sayıda etiketli temsille sayıldığını göstermek gerekir. Türe dayalı bir kısıt varsa ve gizli numaralar sonucu etkilemiyorsa tekrar çokluğu korunabilir;ama etikete göre farklı yasaklar varsa aynı bölen otomatik kullanılmaz. Özdeş olmak fiziksel olarak farklı nesnelerin bulunmadığı anlamına gelmez;sayılan sonuçta farkın gözlenip gözlenmediğini anlatır. Bütün kartlar aynıysa görünür sıra yalnız1dir;hepsi farklıysa bölen1olup n!kalır. Seçilen tür sayıları değişiyorsa tek bir sabit-miktar formülü bütün durumları doğrudan kapsamaz.

Ek koşulda önce uygun sonuç kümesini tanımla. Aynı türün bütün nesneleri yan yana isteniyorsa uygun durumda bir blokla temsil edilebilir;blok içindeki görünür sıralar ve dıştaki özdeşlik ayrıca kontrol edilir. “En az bir ikili komşu” ile “türün tamamı tek blok” aynı koşul değildir. Küçük modelleri listelemek fazla/eksik sayımı yakalar;genel formülün gerekçesi ise her sonuca karşılık gelen temsil sayısıdır,sonlu birkaç test değil. Bu ders dairesel sıralamaları,ayna simetrilerini veya bütün ileri kısıtlı sayımları tamamlamaz.

KISACA

Farklı nesnelerde tekrarsız sıralı seçim P(n,r)=n!/(n−r)!,0≤r≤n. Sabit miktarlı özdeş türler bütün olarak doğrusal sıralanırsa n!/(n₁!…nₖ!). Bölmenin gerekçesi her görünümün eşit temsil çokluğudur;her kısıtta otomatik bölme yapma.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Bir yazılımın çıktı şeridi altı soldan sağa konum içeriyor;her görünümde tam3P,2Qve1Rişareti kullanılacak. Aynı harfli işaretler özdeş,gizli nesne kimliği kaydedilmiyor. Dönmüş/ters sıralar ayrıca eşit sayılmıyor. Kaç görünür şerit vardır?

Geçici kimlikleri kaldırma

P1,P2,P3,Q1,Q2,Rdiye bütün nesneleri ayırt etsek6!=720etiketli sıra olur.
Her görünüm Pkimlikleri için3!,Qkimlikleri için2!temsil taşır;Rtek olduğundan1!çarpanı vardır.
720/(6·2)=60görünür sıra. Her görünümün aynı12temsil taşıması bölmeyi gerekçelendirir.

Sınır: Her görünümde miktarlar3/2/1sabit ve gizli kimlikler sonuca dahil değil. Kimlikler görünür olsaydı720sıra sayılırdı.

Türlerin konumlarını ayırma

Plerin kapladığı üç konumu sıralı seçersek6·5·4=120yol;aynı üç konumu3!=6kez yazdığımız için20konum kümesi kalır.
Kalan üç konumdanQların iki konumu3·2/2!=3yolla seçilir;son yerRdir.
20·3=60. Bu yer seçimleri her görünür şeridi bir kez üretir.

Sınır: Buradaki bölmeler konum kümesinin yazılış sırasını siler;harflerin şerit üzerindeki yerini silmez. Önceki kod örneğinin yalnız sayı değişimi değildir;çoklu temsili tekilleştiriyoruz.

İlk yöntemde12neden her görünüm için aynı? İkinci yöntemde Pkonumlarının seçilme sırası kayıttan silinirken şeridin sol-sağ sırası neden hâlâ önemlidir?

HATA AVI

Hatayı bul

“İkiAözdeş diye bütün sayımları2ye bölerim;gizli A1yalnız ilk konuma gelebiliyor ama A2gelemiyorsa da kural aynıdır.” İlk koşul eksikliği nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Kısıtın gizli kimliklere bağlı olduğu durumda her görünümün2!uygun etiketli temsil taşıdığını göstermeden bölmek.

Temsil sayısı kısıtlar altında denetlenmelidir. Sonuç yalnız görünür harfse ama izinler A1/A2ye farklı uygulanıyorsa uygun etiketli sıraların görünür eşdeğer sınıfları aynı büyüklükte olmayabilir;doğrudan2ye bölmek desteklenmez. Tür koşullu,kimlikten bağımsız kısıtlarda sabit çokluk ayrıca gösterilebilir.

Çalışılmış3P/2Q/1Rşeridinde Plerin her biri artık P1,P2,P3diye görünür ve farklı kabul edilsin;Qlar özdeş kalsın. Sayı nasıl değişir,neden?

Yeni görünür sıra sayısı6!/2!=360olur. Eski her görünümde üçPyeri3!=6şekilde ayırt edilebilir;60·6=360. Qkimlikleri hâlâ kaydedilmediği için onların2!tekrarını düzeltmeye devam ederiz.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

n!/(n−r)!ile n^rhangi tekrar varsayımında ayrılır?

İlki farklı nnesneden tekrarsız rkonum;ikincisi her konumda aynı nseçeneğin yeniden kullanılabildiği serbest sıralı model. Sonuç tanımı/kısıtlar önce yazılır.

Özdeş tür miktarları n₁,n₂ise neden n!den n₁!n₂!ile bölme yapılır?

Bütün nesneler geçici etiketliyken aynı görünümün tür içi etiket yer değiştirmelerinden n₁!n₂!temsili vardır. Her görünümde bu çokluğun aynı olması gerekir;dairesel veya kimliğe bağlı kısıta otomatik taşınmaz.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.