hepnotParabole giriş: tepe, simetri ve eksen kesişimleri
Konunun mantığı
Bu derste f:ℝ→ℝ, f(x)=ax²+bx+c ve a≠0 kabul edilir. Grafik, denklemi sağlayan (x,f(x)) noktalarının kümesidir ve bu koordinat biçiminde bir paraboldür. a>0 olduğunda kollar yukarı, a<0 olduğunda aşağı yönelir. a=0 olursa grafik ikinci derece parabol değildir; kalan fonksiyon doğrusal veya sabit olabilir. Kolların yönü c sabitinin işaretinden belirlenmez.
Tam kareye tamamlandığında f(x)=a(x−h)²+k biçimi elde edilir. Kare her gerçek x için negatif olmadığından a>0 ise f(x)≥k, a<0 ise f(x)≤k olur. Eşitlik x=h iken sağlanır: T=(h,k) tepe noktasıdır. En küçük/en büyük değer bir y değeri olan k, bu değerin alındığı x ise h olur. Burada tanım kümesi bütün ℝ olduğu için tepeye mutlaka erişilir; kısıtlı aralıkta uç noktaları da değerlendirmek gerekir.
Tepe formundaki h noktasının iki yanına eşit uzaklıktaki h−t ve h+t değerleri aynı kareyi üretir. Bu yüzden simetri ekseni x=h doğrusudur; y=h değildir. Standart katsayılardan h=−b/(2a), k=f(h) bulunur. Tepeye ait bu bağıntı gerçel kök yokken de geçerlidir; simetriyi kurmak için iki gerçel kök varmış gibi davranmak gerekmez.
Grafiğin y eksenindeki noktası x=0 alınarak (0,c) bulunur. x eksenindeki noktalar için y=0 gerekir; f(x)=0 denkleminin gerçel kökleri bunların apsisleridir. Δ=b²−4ac pozitifse iki farklı kesişim, sıfırsa tepe üzerinde tek temas noktası, negatifse x ekseninde hiç nokta yoktur. Kök x₁ gibi bir sayıdır, grafikteki karşılığı (x₁,0) noktasıdır; birini diğeriyle karıştırma.
Bir çizimi denetlemek için önce kol yönü ve tepeyi, sonra eksen kesişimlerini, ardından simetrik iki noktayı kullanabiliriz. Az sayıda noktayı cetvelle birleştirmek tam eğriyi vermez; değer tablosu yalnız yönlendiren bir temsildir. İki gerçel kök varsa simetri ekseni onların orta apsisinden geçer. f(x)+d biçiminde sabit eklemek grafiği düşeyde taşır: h ve kol yönü değişmez, k ve y ekseni kesişimi değişir; x ekseni kesişimleri de değişebilir.
f(x)=ax²+bx+c, a≠0. Tepe T=(h,f(h)), h=−b/(2a); simetri ekseni x=h. a>0 minimum, a<0 maksimum tepe değerini verir (tanım kümesi ℝ). y kesişimi (0,c); gerçel kökler x ekseni noktalarının apsisleridir.
Adım adım bir örnek
f:ℝ→ℝ, f(x)=2x²−12x+13 için tepe noktasını, simetri eksenini ve en küçük değeri iki yöntemle bulunuz.
Tam kareye tamamla
- f(x)=2(x²−6x)+13=2[(x−3)²−9]+13=2(x−3)²−5.
- Kare en az 0 olur; x=3 iken en küçük değer −5. T=(3,−5), simetri ekseni x=3.
Sınır: Tanım kümesi ℝ olduğundan x=3 kullanılabilir. Tanım aralığı 3 değerini dışlasaydı aynı minimum sonucunu doğrudan veremezdik.
Katsayıdan apsis, yerine koyarak ordinat
- a=2, b=−12; h=−b/(2a)=12/4=3.
- k=f(3)=18−36+13=−5. a>0 olduğu için tepe minimumdur; T=(3,−5).
Sınır: h=3 bir x değeridir, en küçük fonksiyon değeri değildir. Bu formül a≠0 ister.
İki yöntem de neden (3,−5) verir? En küçük değer sorusuna yalnız 3 yazan öğrenci hangi iki büyüklüğü karıştırır?
Hatayı bul
“f(x)=3(x−4)²−2 için en küçük değer 4tür; çünkü tepe apsisi 4.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: En küçük fonksiyon değerini, bu değerin alındığı x koordinatıyla aynı saymak.
x=4 iken kare 0 ve f(4)=−2 olur. Tepe (4,−2); en küçük değer −2, bu değeri veren x ise 4tür.
f(x)=2(x−3)²−5 fonksiyonuna 6 eklenirse tepe, simetri ve gerçel kök sayısı nasıl değişir?
Yeni fonksiyon 2(x−3)²+1. Tepe (3,1) olur; simetri x=3 ve kolların yönü korunur. Eski grafikte iki gerçel kök vardır, yenisi her x için en az 1 olduğundan x ekseniyle kesişmez.
Dersin soruları
1f:ℝ→ℝ, f(x)=−2(x+1)²+7. Tepe noktası ve en büyük değer birlikte hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2f:ℝ→ℝ, f(x)=x²−10x+21. Grafiğin x ekseniyle ortak noktaları ve simetri ekseni hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3f:ℝ→ℝ, f(x)=(x−2)²+1. g(x)=f(x)−1 ve h(x)=f(x)−2 olsun. g ve h grafiklerinin x ekseniyle farklı ortak nokta sayıları sırasıyla kaçtır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1f:ℝ→ℝ, f(x)=x²+8x+13 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası hangisidir?
2f:ℝ→ℝ, f(x)=ax²+bx+c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T=(−3,5) ve grafik y eksenini (0,−4) noktasında kesmektedir. Buna göre b kaçtır?
3f:ℝ→ℝ, f(x)=−x²+6x−5 fonksiyonunun en küçük ya da en büyük değeri ve bu değerin alındığı x hangisidir?
4f:ℝ→ℝ, f(x)=3x²−12x+c fonksiyonunun en küçük değeri 5 olduğuna göre c kaçtır?
5f:ℝ→ℝ, f(x)=x²−8x+5 grafiğinde apsisi 1 olan A noktasının simetri eksenine göre simetriği B noktasıdır. B’nin apsisi kaçtır?
6f:ℝ→ℝ, f(x)=−x²−4x+9 fonksiyonunun grafiğinin simetri ekseninin denklemi hangisidir?
7f:ℝ→ℝ, f(x)=(x−2)(x+6) fonksiyonunun grafiğinin eksenlerle ortak noktaları (önce x ekseni, sonra y ekseni) hangisidir?
8f:ℝ→ℝ, f(x)=x²−6x+m. −2≤m≤12 koşulunu sağlayan kaç tam sayı m değeri için f grafiği x eksenini iki farklı noktada keser?
9f:ℝ→ℝ, f(x)=−2x²+8x−9 ve g(x)=f(x)+4 olsun. g fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası ile x ekseniyle ortak nokta sayısı hangisidir?
10f:ℝ→ℝ, f(x)=2x²+bx+5 fonksiyonunun grafiğinin simetri ekseni x=3 doğrusudur. Buna göre f(1) kaçtır?
Aklında kaldı mı?
Tepe (h,k) ise simetri ekseni ve minimum/maksimum adayı nedir?
Simetri ekseni x=h; fonksiyonun tepe değeri k. Tanım kümesi ℝ ve a>0 ise minimum k; a<0 ise maksimum k.
Δ<0 olduğunda parabol çizilemez mi?
Çizilir; a≠0 olan ikinci derece fonksiyonun grafiği yine vardır. Δ<0 yalnız grafiğin x ekseniyle gerçel ortak noktası olmadığını söyler.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.