hepnotParabolde kısıtlı tanım kümesi: erişilen uçlar ve görüntü aralığı
Konunun mantığı
![Aralıkta parabol: erişilen minimum ve maksimum. f(x)=(x−4)²+2 için D=[1,6) üzerinde tepe 4 tanımdadır: minimum 2, x=1 ile maksimum 11 ve görüntü [2,11]. Açık uç 6 çıktısı 6 verir, ama kapalı 2 girdisi de 6 verdiği için 6 görüntüde kalır. 4 tanımdan çıkarılırsa y=2 alınmaz, görüntü (2,11] olur ve minimum yoktur.](/gorsel/matematik-parabol-aralik.svg)
f(x)=a(x−h)²+k,a≠0 bir polinom kuralıdır;fakat bu derste yalnız belirtilen D tanım kümesindeki girdiler kullanılır. Aynı kuralı Rden[α,β] veya[α,β) gibi bir aralığa kısıtlamak görüntüyü ve erişilen uç değerleri değiştirebilir. Tepe apsisi h tanımda mı sorusu,en küçük veya en büyük değer k demeden önce yanıtlanır. Hedef küme R yazılması bütün gerçek çıktıların alındığı anlamına gelmez;görüntü gerçekten elde edilen değerlerdir.
Kare,(x−h) uzaklığının karesidir. a>0 için hye en yakın izinli girdi en küçük çıktıya,en uzak izinli girdi en büyük çıktıya adaydır;a<0da çıktı sırası tersine döner. Kapalı sınırlı bir aralıkta,h içerideyse onu ve uçları;h dışarıdaysa uçlara olan uzaklıkları karşılaştırmak yeterlidir. Bunun gerekçesi uzaklık arttıkça karenin artmasıdır,sonlu bir değer tablosunun bütün ara girdileri denediği varsayımı değildir.
Minimum,en küçük çıktının gerçekten bir x∈D tarafından alınmasıdır. Yalnız alt sınır olması aynı şey değildir;daha küçük çıktılarla yaklaşılabilen ama kendisi hiç alınmayan en büyük alt sınıra bu derste alt sınır değeri diyeceğiz. Üst tarafta da benzer ayrım vardır. Örneğin tepeye istenildiği kadar yaklaşılabiliyor ama tepe girdisi dışarıdaysa a>0 durumunda k değerine yaklaşmak onu minimum yapmaz. Değere yaklaşma ile değeri alma ayrı denetlenir.
Tanım aralığının bir ucu açık diye onun çıktı değeri görüntüden otomatik çıkarılmaz. Parabolde simetrik başka bir izinli girdi aynı çıktıyı verebilir. Bunun için f(x)=y eşitliğinin bütün aday ön görüntülerini D içinde kontrol et. Tersine,çıktıyı veren tek girdi dışlanmışsa o değer görüntüde bulunmaz. Böylece görüntü aralığında köşeli/yuvarlak parantez kararı,çıktının erişilip erişilmediğine dayanır;tanım parantezleri kopyalanmaz.
Her y değeri için uygun bir girdinin varlığını göstermek,görüntü aralığının içinde boşluk olmadığını açıklar. Kare gösteriminde seçilmiş bir dal x=h±√((y−k)/a) ile alan koşulu denetlenebilir;gerçek karekök için içinin negatif olmaması gerekir. Bu derste kullanılan sınırlı modellerde türev gerekmiyor. Tanım kümesinden bir iç nokta çıkarılırsa genel kapalı aralık güvencesini koşulsuz kullanmayız;özellikle tek tepe girdisinin çıkarılması uç değere erişimi bozabilir. Bütün parabol grafikleri veya bütün fonksiyonlarda ekstremum kuramı burada tamamlanmaz.
Tepe ve uçlar yalnızD içindeki girdilerse değer alır. Yaklaşılabilen ama alınmayan sınır minimum/maksimum değildir. Açık tanım ucunun çıktısı başka girdide alınabilir;görüntü parantezi ön görüntü kontrolüyle belirlenir,alan parantezinden kopyalanmaz.
Adım adım bir örnek
f:D→R,f(x)=(x−4)²+2,D=[1,6). Gerçekleşen en küçük/en büyük değerleri ve görüntü kümesini iki yolla belirleyin. x=6 tanımda yoktur;tepe x=4 tanımdadır.
Tepeye uzaklığın aralığı
- 1≤x<6 için−3≤x−4<2. En küçük mutlak uzaklık0,x=4te;en büyük3,x=1de alınır.
- Kare0–9un bütün değerlerini alır;f için[2,11]. Minimum2 ve maksimum11 erişilir.
- Açık6nın çıktısı6dır ama x=2de de f(2)=6;bu nedenle6 görüntüden çıkmaz.
Sınır: [1,6) parantezleri görüntüye doğrudan taşınmaz. Uzaklık karesi ve erişim bütün aralık için gerekçedir;yalnız uç değer tablosu değildir.
Aday görüntüden izinli girdiye dön
- Her2≤y≤11 için x=4−√(y−2) seç. Karekök0–3te olduğundan x∈[1,4]⊂D.
- Bu x için f(x)=y;dolayısıyla[2,11]de boşluk yok. Dde uzaklık en fazla3 olduğundan bunun dışında çıktı yok.
- y=2 için x=4,y=11 için x=1 gerçekten tanımdadır;iki uç kapalıdır.
Sınır: Seçilmiş eksi dal bu örnekte bütün aday aralığı D içine taşır. Her parabol/alan için aynı dalın uygun olduğu varsayılmaz.
Tepe4 çıkarılsaydı hangi çıktı tek ön görüntüsünü kaybederdi? Açık6nın çıktısı neden aynı biçimde kaybolmaz?
Hatayı bul
“D=[1,6) olduğu için f(x)=(x−4)²+2nin görüntüsünde sağ uç mutlaka açık;yalnız alanın parantezlerini kopyalarım.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Tanım girdilerinin uç açıklığını,çıktıların erişilip erişilmediğini denetlemeden görüntüye taşımak.
Bu örnekte minimum2,x=4te;maksimum11,x=1de alınır;görüntü[2,11]. Açık6 girdisinin6 çıktısı x=2de yine alınır. Görüntüde bir değeri dışlamak için onu veren bütün izinli girdi olasılıkları kontrol edilir.
Çalışılmış f(x)=(x−4)²+2,D=[1,6) modelinde yalnız x=4 de tanımdan çıkarılırsa görüntü/minimum/maksimum nasıl değişir?
2 çıktısının tek girdisi4 dışlanır;görüntü(2,11] olur. Minimum yok,en büyük alt sınır2; maksimum11,x=1de korunur. Her2<y≤11 için x=4−√(y−2)∈[1,4) hâlâ uygundur;bu yüzden görüntüde başka boşluk oluşmaz.
Dersin soruları
1f(x)=(x−5)²−3 yalnız D=[0,2] üzerinde tanımlı. Görüntü kümesi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2f(x)=2(x−3)²−1,D=(3,7]. (Görüntü kümesi,minimum/maksimum durumu) hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3f(x)=−(x−1)²+8 ve D=[−2,4] kümesinden yalnız x=1 çıkarılmış. Görüntü ve uç değer yorumu hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1f(x)=−2(x+1)²+9 fonksiyonu D=[−4, 1] aralığında tanımlıdır. Görüntü kümesi hangisidir?
2f(x)=−(x+1)²+2 fonksiyonu D=(0, 3) aralığında tanımlıdır. Görüntü kümesi hangisidir?
3f(x)=(x−5)²+3 fonksiyonu D=[1, 4) aralığında tanımlıdır. Görüntü kümesi hangisidir?
4f(x)=(x−1)²−2 fonksiyonu D=(−3, 2] aralığında tanımlıdır. Aşağıdaki y değerlerinden hangisi f’nin görüntüsünde yer almaz?
5f(x)=(x−2)²−1 fonksiyonu D=[−1, 5] aralığında tanımlıdır ve görüntüsü [−1, 8]’dir. D’den yalnız bir nokta çıkarılacaktır. Hangisi çıkarılırsa görüntü kümesi [−1, 8]’den farklı olur?
6a > 0 olmak üzere f(x)=a(x−1)²+2 fonksiyonu D=[2, 5] üzerinde tanımlıdır ve f’nin en büyük değeri 50’dir. f’nin en küçük değeri hakkında hangisi doğrudur?
7f(x)=(x−2)²+1 fonksiyonu D=(a, 3] aralığında tanımlıdır (a<3) ve görüntüsü [1, 10) olarak bulunmuştur. a kaçtır?
8a > 0 olmak üzere f(x)=a(x−h)²+k fonksiyonu D=(2, 6] aralığında tanımlıdır. f’nin minimum değeri yoksa h aşağıdakilerden hangisidir?
9f(x)=(x−1)²+2 fonksiyonu D=(−2, 3) aralığında tanımlıdır. (En küçük değer, en büyük değer) hangisidir?
10f(x)=(x−m)²+1 fonksiyonu D=[0, 2] aralığında tanımlıdır. f’nin en küçük değerinin 1 olması için m hangi koşulu sağlamalıdır?
Aklında kaldı mı?
Minimum ile yalnız en büyük alt sınırın ayrımı nedir?
Minimum değerini veren bir x tanım kümesindedir. En büyük alt sınıra çıktılar yaklaşabilir fakat kendisi alınmıyorsa minimum yoktur. Bu derste alt sınır değeri bu en büyük alt sınır anlamında kullanılır.
Parabolün açık bir tanım ucunun çıktı değeri mutlaka görüntü dışında mı?
Hayır. Simetrik başka izinli girdi aynı çıktıyı verebilir. f(x)=y için bütün ön görüntüleri denetle;parantezler tanımdan görüntüye otomatik kopyalanmaz.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.