hepnotOranla paylaştırma: birim pay ve değişen oran
Konunun mantığı
Aynı tür iki miktarın oranını karşılaştırmadan önce birimlerini eşitle:0,6 kg ile300 g oranı0,6/300 değil600/300=2dir. A:B=2:3 ifadesi A=2 birim ve B=3 birim miktar demek değildir; A=2k,B=3k ortak ölçeğini belirtir. Bu derste paylar ve ağırlıklar pozitiftir, toplamT>0dır. Payların fiziksel birimi aynıdır;2 ve3 oran ağırlıkları boyutsuz, k ise seçilen miktar birimindedir.
Pozitif w1,w2,… ağırlıklarıyla paylaştırmada Ai=wi k ve bütün payların toplamı T olduğundan k=T/(w1+w2+…) bulunur. Her payın toplam içindeki kesri wi/Σwdir. Payı yalnız kendi ağırlığına bölmek veya oran paydasını diğer tek ağırlık sanmak bütünün korunmasını bozabilir. Son kontrol hem ΣAi=T hem Ai/Aj=wi/wj olmalıdır. Aynı bütün iki farklı tam sayılı ağırlıkla, örneğin2:3 ile4:6, yazılabilir; k değişse de gerçek paylar değişmez.
Sürekli bölünebilen kütle veya uzunluk modelinde k kesirli olabilir. Bölünemeyen nesne adedi söz konusuysa bulunan payların tam sayı olması ek koşuldur; uygun değilse toplamı veya oranı yaklaşık değiştirip tam eşitlik varmış gibi sunamayız. Oran yalnız payların karşılaştırmasını verir; toplam veya bir pay gibi ölçeği belirleyen başka bilgi olmadan tek bir mutlak miktar bulunamaz. Kurmaca veriler burada tam kabul edilir; ölçüm belirsizliği ya da fiziksel fire ayrıca verilmedikçe hesaba eklenmez.
Bir paydan diğerine d aktarılırsa A′=A−d,B′=B+d ve toplam korunur; fiziksel model için0≤d≤A gerekir. Bu işlem ortak kyi iki paya aynı çarpanla uygulamak değildir; yeni oran başlangıç oranına eşit kalmak zorunda değildir. Dışarıdan yalnız Aya e eklenirse A′=A+e,B′=B ve toplamT+e olur. Bu iki senaryoyu aynı toplam denklemiyle çözme. Oranı sayılara ekleme yapmak yerine önce gerçek miktarları veya ortak kyi yaz, sonra değişimi uygula.
Değişim sonrası oran verilirse örneğin(A+e)/B=r/s eşitliği yeni paylarla kurulur; eski payların k cinsinden ifadeleri yerine yazılır. Bölünen B ve s sıfır olmamalı, çıkan k pozitifliği ve varsa tam sayı koşulları denetlenmelidir. Oran ağırlığına1 eklemek ile paya1gram eklemek aynı işlem değildir; birincisi kgramlık değişim anlamına gelir. Bu anlatımın genel gerekçesi ortak ölçek ve toplamın cebridir; birkaç uygun dağılım bütün mümkün paylaştırmaların deneysel kanıtı sayılmaz. Ters ağırlıkla paylaşım veya çok aşamalı tüm sözlü problemler bu dar pakette tamamlanmaz.
Paylar wi k, toplam(Σwi)k=T. Birim eşitle; oran ağırlığı ile gerçek miktarı ayır. İç aktarım toplamı korur, dış ekleme toplamı artırır; yeni oranı yeni miktarlardan kur.
Adım adım bir örnek
Kurmaca üç kapta toplam210 g aynı tür malzeme var; A:B:C kütle oranı2:3:5. Fire olmadan A kabından B kabına14 g aktarılıyor. Son kütleleri ve yeni oranı bulun.
Oran biriminin kütlesi
- (2+3+5)k=210 g; k=21 g. Başlangıç A42,B63,C105 g.
- Aktarım sonrası A28,B77,C105 g; toplam yine210 g.
- 28:77:105 ortak7ye bölünür; yeni oran4:11:15.
Sınır: 14 g iç aktarımdır; toplamdan çıkarılmaz veya dışarıdan eklenmez. Aktarılan miktar42 gı aşmıyor.
Bütünün kesirleri ve pay güncellemesi
- Başlangıç paylar A=2/10,B=3/10,C=5/10;210la çarpınca42,63,105 g.
- Aktarılan14/210=1/15 bütün kadardır. A kesri1/5−1/15=2/15; B kesri3/10+1/15=11/30; C=1/2.
- Ortak payda30 ile A:B:C=4:11:15; kesirlerin toplamı1dir.
Sınır: Bu yolda kesirlerin paydası aynı bütün210 gdır. Dışarıdan ekleme olsaydı yeni bütünün paydası da değişirdi.
14 g neden oran ağırlıklarından14 çıkarmak değildir? İkinci yolda bütünün paydasının sabit kalmasını hangi işlem garanti etti?
Hatayı bul
Bir öğrenci A:B=2:5 ve toplam98 g için “A=98/2=49 g,B=98/5=19,6 g; oran sayılarına böldüm” diyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Bütünü, toplam oran ağırlığı yerine her tek ağırlığa ayrı bölmek.
A=2k,B=5k ve7k=98 g; k=14 g. A28,B70 g. Bu payların toplamı98, oranı2:5tir. Öğrencinin miktarları ne toplamı ne istenen oranı korur.
Örnekte210 gın2:3:5 paylaşımından sonra14 g A→B aktarmak yerine yalnız B kabına dışarıdan14 g eklenirse yeni oran ve toplam nasıl değişir?
Başlangıç42,63,105 g. Dış ekleme sonrası42,77,105 g; toplam224 g. Ortak7yle oran6:11:15tir. İç aktarımın4:11:15 ve210 g sonucuyla farkı, Anın azalmaması ve bütünün büyümesidir.
Dersin soruları
1Toplam0,84 kg bölünebilir malzeme A,B,C kaplarına kütlece2:5:7 oranında dağıtılıyor; fire yok. B kabına kaç gram düşer?
Bu soruda hata mı var?2A ve B kaplarında toplam200 g aynı tür malzeme var; başlangıç A:B=3:7. Fire olmadan Bden Aya20 g aktarılırsa yeni A:B oranı hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Başlangıçta iki bölünebilir malzeme payının oranı A:B=4:5. Yalnız Aya dışarıdan12 g ekleniyor; B değişmiyor ve yeni A:B=6:5 oluyor. Başlangıçtaki toplam kütle kaç gramdır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir atölyede iki parti altın tozu var: birinci parti 1,5 kg, ikinci parti 900 g. Birinci partinin ikinciye kütle oranı en sade biçimde hangisidir?
2Toplam 270 g malzeme üç kaba bölünüyor; A kabındaki B kabındakinin yarısı kadardır, C kabındaki ise B kabındakinin 3 katıdır. C kabında kaç g vardır?
3A ve B kaplarında toplam 150 g aynı tür malzeme var ve A:B=7:3. Fire olmadan A kabından B kabına kaç g aktarılırsa iki kapta eşit miktar olur?
4A, B, C kaplarında toplam 120 g malzeme var ve A:B:C=1:2:3. Fire olmadan yalnız C kabına dışarıdan 30 g ekleniyor. Eklemeden sonra C kabındaki miktarın yeni toplam içindeki kesri nedir?
5İki bölünebilir payın oranı yalnız A:B=3:5 olarak biliniyor; toplam ya da paylardan biri verilmemiş. Bu bilgiyle kesin olarak bulunabilen nicelik hangisidir?
6Bölünemeyen özdeş kartlar A:B=5:7 oranında ve tam sayı paylarla paylaştırılacak. Aşağıdaki toplam kart sayılarından hangisinde bu oran tam olarak sağlanır?
7A ve B kaplarında A:B=3:4 oranında toplam 70 g malzeme var. Yalnız B kabına dışarıdan e g eklendiğinde A kabının yeni toplam içindeki kesri 1/4 oluyor. e kaç g’dır?
8Toplam 0,18 kg malzeme paylaştırılıyor. Birinci öğrenci A:B için 2:3 ağırlıklarını, ikinci öğrenci 4:6 ağırlıklarını kullanıyor. İkinci öğrencinin hesabında A payı ve ortak ölçek k kaçtır (A payı; k)?
9Bölünemeyen özdeş parçalardan A kabında 10, B kabında 20 parça var (A:B=1:2). Parça kaybı olmadan B kabından A kabına bir miktar parça aktarılarak A:B=3:5 oranı elde edilebilir mi?
10İki payın oranı A:B=3:5’tir. Aşağıdaki işlemlerden hangisi uygulandıktan sonra A:B oranı kesinlikle 3:5 olarak kalır?
Aklında kaldı mı?
Oran birimi k ile toplam Tyi nasıl ayırırsın?
Ai=wi k ve T=(Σwi)k. wi boyutsuz ağırlık, k bir oran biriminin miktarıdır. Önce fiziksel birimleri eşitle; bütün ağırlıkları toplamadan k bulma.
İç aktarma ile yalnız bir paya dış eklemede hangi toplam korunur?
A→B iç aktarımında A−d,B+d ve eski toplam sabit. Dışarıdan Aya e eklenirse A+e,B ve yeni toplamT+e. Her iki durumda yeni oran yeni paylardan hesaplanır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.