hepnotSonlu ve devirli ondalık: sade payda, devir cebri ve sonsuz9
Konunun mantığı
Ondalık gösterimde virgülden sonraki basamaklar sonlu olarak bitebilir veya bir blok belli yerden sonra sonsuza kadar tekrarlayabilir. Burada 0,4(18), 0,4181818… demektir:4 devretmeyen,18 devreden bloktur; parantez yalnız bu dersteki devir işaretidir, çarpma değildir. 0,(18)=0,181818… başka sayıdır. Sonsuz gösterim, sonlu kesmelerin yaklaştığı gerçek değer olarak anlaşılır. Ekranda birkaç basamak görmek sonsuz örüntüyü tek başına kanıtlamaz; devir bilgi olarak açık verilmeli veya bölme kalanlarından gerekçelendirilmelidir.
a/b kesrini b>0 ve EBOB(|a|,b)=1 olacak şekilde sadeleştir. Sonlu ondalık gösterim varsa bir n için a/b=M/10ⁿ yazılabilir; buradan a·10ⁿ=bM eşitliği elde edilir. a ile b aralarında asal olduğundan b,10ⁿ değerini böler. 10ⁿ=2ⁿ5ⁿ olduğu için b yalnız2 ve5 asal çarpanlarını taşıyabilir. Tersine b=2ᵘ5ᵛ ise n=max(u,v) seçip paydayı10ⁿ yapacak eksik2/5 çarpanıyla genişletmek sonlu gösterim verir. b=1 için u=v=0; tam sayılar da sonlu yazılır. Payın işareti sonlu olma koşulunu değiştirmez. Kritik koşul ilk görünen değil sade paydadır.
Uzun bölmede her basamaktan sonra kalan0 olursa gösterim sonlanır. Sonlanmazsa pozitif b için olası kalanlar1,…,b−1 ile sınırlıdır; bir kalan yeniden oluşmak zorundadır. Aynı kalan bir sonraki rakam ve kalanı aynı şekilde belirlediğinden sonrasında aynı blok tekrar eder. Böylece rasyonel sayıların ondalıkları sonlu veya bir yerden sonra devirlidir; sadece yazımın sonsuz olması irrasyonellik kanıtı değildir. Bu argüman devir uzunluğunu her sayıda hemen bulmaz, fakat sonlu kalan listesinin neden tekrar doğurduğunu açıklar.
Devirli sayıyı kesre çevirirken bilinmeyene x de ve on kuvvetleriyle tekrar kuyruğunu hizala. Virgülden sonra m devretmeyen, k devreden basamak varsa 10ᵐ⁺ᵏx ve10ᵐx aynı sonsuz kuyruğa sahip olur; çıkarınca (10ᵐ⁺ᵏ−10ᵐ)x tam sayı olur. Payda böylece k tane9 ardından m tane0 içerir. Pay, virgülü kaldırarak devir sonuna kadar yazılan tam sayıdan devretmeyen kısmın tam sayısını çıkararak oluşur. Önce basamakları doğru belirle, sonra sonucu sadeleştir; ondalık kesmenin sonlu yaklaşık değerini aynı eşitlikte kullanma.
Sonlu ondalıkların bir de sonsuz9 ile biten eş gösterimleri vardır. y=0,(9) için n basamaklı kesme yₙ=1−10⁻ⁿ olur; yₙ→1 olduğu için sonsuz gösterimin değeri y=1’dir. Her sonlu kesme1’den küçüktür ama bundan limitin de1’den küçük olduğu çıkmaz; gerçek sayılarda burada arada kalan pozitif bir fark yoktur. Örneğin0,7(9)=0,8 eşitliği yaklaşım değil tam eşitliktir; sonlu0,79 ise0,8’den küçüktür. Sonlu/devirli sınıflamasını karıştırmamak için “sonlu gösterime sahip” derken sıfırla devam eden yazımı esas alırız; aynı sayının9 ile devirli başka yazımı olabileceğini saklamayız.
Sade paydada yalnız2/5 varsa sonlu ondalık yazım vardır. Devirli dönüşümde eş tekrar kuyrukları10 kuvvetleriyle hizalanıp çıkarılır. Sonsuz0,(9)=1 tam eşitlik; sonlu0,999 ise1’den küçüktür.
Adım adım bir örnek
x=1,2(36)=1,2363636… sayısının sade kesir karşılığını bulun. Devretmeyen2 ile devreden36 bloğunu ayrı kullanın.
İki hizalı on kuvvetini çıkarma
- 10x=12,363636… ve1000x=1236,363636…; sonsuz tekrar kuyrukları aynı hizadadır.
- Çıkar:990x=1236−12=1224. x=1224/990.
- EBOB(1224,990)=18; sade sonuç68/55.
Sınır: İki devreden basamak ve bir devretmeyen basamak olduğu için payda990. Sadece100x−x yapmak aynı kuyrukları hizalamaz.
Sonlu ön parça ve saf devirli kuyruğu ayırma
- t=0,(36) olsun.100t−t=36 olduğundan t=36/99=4/11.
- x=1,2+t/10: çünkü0,(36) kuyruğu bir basamak sağa taşınınca0,0363636… olur.
- x=6/5+2/55=66/55+2/55=68/55.
Sınır: t/10 ölçeği devretmeyen bir basamak içindir; onu atlamak1,563636… gibi farklı bir sayı üretir. Sonsuz devir bilgisi açık verilmiştir.
İlk yoldaki990 paydası hangi iki hizalamanın farkıdır? İkinci yolda kuyruğu neden10a bölmek gerekir?
Hatayı bul
Bir öğrenci “9/24 paydasında3 var, bu yüzden sonlu yazılamaz; ayrıca0,7(9)<0,8 çünkü sonlu her kesmesi daha küçüktür” diyor. İlk iddiadaki ilk hata nedir; ikinci iddia nasıl düzeltilir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Sonlu ondalık koşulunu kesrin sade paydası yerine ilk görünen paydasına uygulamak.
9/24=3/8 ve8=2³ olduğundan0,375 sonlu yazımı vardır. İkinci iddiada sonlu kesmenin kesin küçüklüğü limite yanlış taşınmış:0,7(9)=0,8. Sonlu0,79 veya0,799 ise gerçekten0,8den küçüktür.
b=0,7(9) yerine virgülden sonraki7den sonra tam n tane9 yazıp orada durursak, n≥1 için sonlu bₙnin0,8den farkı nedir? Bu her n için pozitif fark, sonsuz gösterimde de pozitif kalır mı?
b₁=0,79,b₂=0,799,…;0,8−bₙ=10⁻⁽ⁿ⁺¹⁾>0. Bu fark n büyüdükçe0a yaklaşır; limitte arada pozitif fark kalmaz. Sonlu her bₙ<0,8 iken lim bₙ=0,8 olur. Sonlu örnekler yalnız tanık; genel fark eşitliği sonlu9ların basamak toplamından veya sonlu geometrik toplamdan elde edilir.
Dersin soruları
1Aşağıdaki kesirlerden hangisi sonlu ondalık gösterime sahip değildir?
Bu soruda hata mı var?2x=0,4(18)=0,4181818… sayısının sade kesir karşılığı hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3a=0,79 sonlu ondalık; b=0,7(9)=0,79999… sonsuz devirli gösterim; c=0,8 olsun. Hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Kurmaca bir hesapta x/30 kesirleri inceleniyor; x, 1’den 30’a kadar bütün doğal sayı değerlerini alıyor ve her kesir sadeleştirilerek değerlendiriliyor. Bu 30 kesirden kaç tanesinin sonlu ondalık gösterimi vardır?
2Sonlu ondalık gösterim koşulu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? (Tüm kesirler pozitif ve sadedir.)
30,1(6)=0,1666… ve 0,(3)=0,333… olduğuna göre 0,1(6)+0,(3) toplamının sade kesir karşılığı hangisidir?
47/30 kesrinin ondalık gösterimi uzun bölmeyle bulunuyor. Bölmede 70’i 30’a bölünce kalan 10, sonra 100’ü bölünce yine kalan 10 çıkıyor. Bu kesrin ondalık gösterimi hangisidir?
5Sade paydası 7 olan ve ondalık gösterimi sonlu olmayan bir kesri uzun bölmeyle yazıyoruz. Devir uzunluğu için bölmedeki kalanlardan hangi üst sınır çıkar?
6Kurmaca bir öğrenci 3/37 kesrini uzun bölmeyle yazıyor. Her bölme adımında bir rakam ve bir kalan yazılıyor; başlangıçtaki pay (3) kalan sayılmıyor ve yazılan kalanlar hiç 0 çıkmıyor. Yazılan kalanlardan en geç kaçıncısı yazıldığında bir kalanın yinelendiği kesinleşir?
7Aşağıdaki ondalık yazımlardan hangisi hiçbir kesre (rasyonel sayıya) eşit olamaz?
80,(3)=0,333… ve 0,(6)=0,666… sayıları veriliyor. Bu iki sayının toplamı için hangi ifade doğrudur?
9Sonlu ondalık gösterimi 0,35 olan sayının, sonsuz 9 ile biten gösterimi hangisidir?
10x=0,3(27) sayısında virgülden sonraki ilk 20 basamağın rakamları toplamı kaçtır?
Aklında kaldı mı?
a/b sade, b>0 iken sonlu ondalık gösterimin payda koşulu neden2/5tir?
Sonlu gösterim M/10ⁿ demektir; aralarında asallıktan b,10ⁿyi bölmelidir.10ⁿ yalnız2 ve5 içerir. Tersine b=2ᵘ5ᵛ ise uygun10 kuvvetine genişletilebilir; b=1 de kapsanır.
m devretmeyen,k devreden basamak için hangi iki çarpım hizalanır?0,(9) ile0,999 aynı mı?
10ᵐ⁺ᵏx ile10ᵐx; farkın katsayısı10ᵐ(10ᵏ−1).0,(9)=1 sonsuz yazımın tam değeridir; sonlu0,999=999/1000 olup1den küçüktür.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.