hepnotİki merkeze uzaklık toplamı: kritik noktalar ve minimum aralığı
Konunun mantığı
Gerçek a<b için S(x)=|x−a|+|x−b|, aynı doğru üzerindeki x noktasından iki sabit merkeze uzaklıkların toplamıdır. Merkezler farklı olduğu için iki uzaklık aynı anda sıfır olamaz. İlk adım, iç ifadelerin sıfır olduğu a ve b kritik noktalarını sıralamaktır. x<0 olup olmadığı tek başına yeterli değildir; x−a ve x−b ifadelerinin işaretleri ayrı belirlenir. Bu derste iki terimin katsayısı eşit ve1dir; farklı ağırlıkların minimumu aynı aralıkta kalmak zorunda değildir.
x<a bölgesinde iki iç ifade de negatiftir: S=(a−x)+(b−x)=a+b−2x. a≤x≤b bölgesinde ilk fark negatif değil, ikinci pozitif değildir; S=(x−a)+(b−x)=b−a. x>b bölgesinde iki fark pozitiftir; S=(x−a)+(x−b)=2x−a−b. Kritik noktalarda ilgili fark sıfırdır; komşu formüller aynı değeri verir. Bölge çözümünde bulduğun adayın o bölge içinde olup olmadığını ayrıca denetle; yanlış dalın kökü otomatik çözüm değildir.
Arada x sağa kayarken ilk uzaklık aynı miktar artar, ikinci aynı miktar azalır; toplam sabit b−a kalır. Bu yüzden bütün gerçeklerde en küçük değer b−a, minimizer kümesi [a,b]dir. Orta nokta bir minimizerdır ama tek minimizer değildir. Aralık dışına çıkınca iki uzaklık birden artar: aralığın solunda veya sağında sınıra fazladan d kadar uzaklaşınca S=(b−a)+2d olur. Bu genel gerekçe parçalı ifadelerden de çıkar; birkaç sayıyı denemek aralığın tamamı için ispat sayılmaz.
S(x)=t denkleminde önce t ile b−a karşılaştırılır. t<b−a ise çözüm yok; t=b−a ise [a,b]deki bütün gerçekler çözüm; t>b−a ise iki dış bölgede birer çözüm vardır. Fazlalık t−(b−a), aralık dışına taşmanın iki katı olduğundan her uçtan dışarı doğru d=[t−(b−a)]/2 gidilir. Eşitsizlikte t≥b−a için S≤t çözümü [a−d,b+d]dir; S<t durumunda eşik eşitliğini ayrıca ele almak gerekir. Özellikle t=b−a iken S<t boş, S≤t kapalı merkez aralığıdır.
Tanım alanı kısıtlanırsa sonuçlar bu alanla kesiştirilir. x yalnız tam sayıysa [a,b] bir aralık dolusu gerçek çözüm vermekle birlikte kabul edilen noktalar yalnız içindeki tam sayılardır. Alan [a,b]ye hiç uğramıyorsa minimum bu aralıkta alınır cümlesi artık alan içinde geçerli değildir; örneğin bütün izinli noktalar bnin sağındaysa2x−a−b incelenir. Açık uçlu alanlarda infimuma yaklaşılıp minimuma ulaşılamaması da mümkündür. Bu dar ders çok merkezli/ağırlıklı her toplamın çözümünü tamamlamaz.
a<b için |x−a|+|x−b| minimum b−a değerini [a,b]nin tamamında alır. Dışarıdaki d sapması toplamı2d artırır. Önce kritik noktaları, sonra hedefi ve izinli x alanını kontrol et.
Adım adım bir örnek
Gerçek sayılarda |x+4|+|x−7|=17 denklemini çözün. Bulduğunuz iki noktanın, merkezler arasındaki bölgeyle ilişkisini açıklayın.
Kritik noktalara göre üç bölge
- Kritik noktalar−4 ve7. x<−4 için toplam3−2x,−4≤x≤7 için11,x>7 için2x−3.
- Sol bölgede3−2x=17 → x=−7; sol koşulu sağlar. Orta bölgede11=17 olamaz.
- Sağ bölgede2x−3=17 → x=10; sağ koşulu sağlar. Çözüm{−7;10}.
Sınır: Her dalın kökü kendi bölgesine uymalıdır; ortada sabit toplam vardır, denklemi zorla xli yapmak gerekmez.
En küçük toplamdan fazla uzaklığı bölüştürme
- Merkezler arası mesafe7−(−4)=11; aradaki her noktada toplam11.
- Hedef17 olduğundan fazlalık6. Aralık dışında d kadar ilerlemek toplamı2d artırır; d=6/2=3.
- Sol uçtan3 sola:−7; sağ uçtan3 sağa:10. Her iki noktada uzaklık toplamı17.
Sınır: İki uzaklığın eşit ağırlıklı olması kullanıldı. Farklı katsayılı toplamda aynı2d şablonu otomatik uygulanmaz.
Merkezlerin arasında niçin üçüncü bir kök aramıyoruz?17 yerine11 gelse neden yalnız iki uç değil bütün aralık çözüm olur?
Hatayı bul
Bir öğrenci H(x)=|x−1|+|x−8| için “Toplam uzaklık en küçükken iki uzaklık eşit olmalı; yalnız x=4,5 minimum verir” diyor. İlk yanlış zorunluluk nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Toplamın minimum olması için iki uzaklığın eşit olması gerektiğini varsaymak.
1≤x≤8 için toplam(x−1)+(8−x)=7. Örneğin x=2de uzaklıklar1 ve6 olmasına rağmen minimum7dir; x=4,5 de minimum verir ama tek değildir. Eşit uzaklık orta nokta koşuludur, minimum için zorunlu değildir.
Örnekteki toplam S(x)=|x+4|+|x−7| için x yalnız(7,10] aralığından seçilebilirse en küçük değer11 mi? Erişilen bir minimum var mı?
Bu açık uçlu alanda S=2x−3>11. x7ye sağdan yaklaşırken S11e yaklaşır ama x=7 izinli değildir;11infimumdur, ulaşılan bir minimum yoktur. Bütün gerçeklerdeki[−4,7] minimum aralığının alanla kesişimi boştur.
Dersin soruları
1Gerçek x için F(x)=|x+2|+|x−6|. Fnin en küçük değeri ve bu değeri aldığı x kümesini birlikte doğru veren seçenek hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Gerçek sayılarda |x+5|+|x−1|≤10 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Bir konum modelinde x YALNIZ TAM SAYI olabilir ve G(x)=|x−2|+|x−9|. G(x)=7 koşulunu sağlayan kaç farklı izinli konum vardır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1S(x)=|x+3|+|x−2| için x>2 bölgesinde S(x) hangisine eşittir?
2S(x)=|x+1|+|x−7| için S(−4)+S(3)+S(10) toplamı kaçtır?
3S(x)=|x+5|+|x−k| (k>−5) fonksiyonunun en küçük değeri 12’dir. Bu değeri alan x değerlerinin kümesi hangisidir?
4|x−4|+|x−10|=t denkleminin tam iki çözümü olması için t hangi aralıkta olmalıdır?
5|x+2|+|x−4|≤6 ve |x+2|+|x−4|<6 eşitsizliklerinin çözüm kümeleri sırasıyla hangisidir?
6x yalnız tam sayı olabilir. |x+3|+|x−4|<11 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?
7x∈[8, 15] olmak üzere S(x)=|x−1|+|x−6| ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
8x yalnız 0<x<5 koşulunu sağlayabilir ve S(x)=|x−2|+|x−8| veriliyor. S’nin en küçük değeri ve bu değeri aldığı x değerleri hangisidir?
9x yalnız (5, ∞) aralığından seçilebilir ve S(x)=|x−1|+|x−5| veriliyor. S(x)=t denkleminin çözümü olması için t nasıl olmalıdır?
10|x+1|+|x−k| ⊙ 8 eşitsizliğinde k>−1 olup ⊙ yerinde <, >, ≤ ya da ≥ işaretlerinden biri vardır. Çözüm kümesi “x<−3 veya x>5” olduğuna göre (k, ⊙) ikilisi hangisidir?
Aklında kaldı mı?
İki eşit ağırlıklı merkeze toplam uzaklığın minimumu neden aralık boyunca sabittir?
a≤x≤b için(x−a)+(b−x)=b−a. Dışarıda d taşınca iki mesafe birden d artar, toplam b−a+2d olur. Sonuç bütün gerçeklerde ve iki eşit ağırlıkta geçerlidir.
|x−a|+|x−b|=t için hedefin minimuma eşit olması ile büyük olması nasıl farklıdır?
a<b ise minimum b−adır. Hedef eşitse[a,b]nin tümü; büyükse iki dış nokta; küçükse boş küme. Sonra izinli tanım alanıyla kesiştirilir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.