hepnotMutlak değer: uzaklık, iki yön ve sınır koşulu
Konunun mantığı
![Mutlak değer eşitlik ve eşitsizliğinde uzaklık okuması. |x−6|, x ile 6 arasındaki uzaklıktır. |x−6|=4 merkezden 4 birim uzaktaki 2 ve 10 noktalarını verir. |x−6|<4 uçları dışlayan (2,10), |x−6|≤4 uçları içeren [2,10] aralığıdır. Yarıçap 0 ise tek nokta, negatifse hiçbir nokta seçilmez.](/gorsel/matematik-mutlak-deger.svg)
Bir gerçek u sayısının mutlak değeri |u|, sayı doğrusunda sıfıra uzaklığıdır; bu yüzden negatif olamaz. İki a ve b noktası arasındaki uzaklık |a−b| ile yazılır. Farkın sırası uzaklığı değiştirmez: |a−b|=|b−a|. Ancak mutlak değerin içindeki işaretli farkın kendisi değişebilir.
Parçalı tanım, uzaklığın cebirsel ifadesidir: u≥0 ise |u|=u; u<0 ise |u|=−u. İkinci satırda eksi yazılması sonucun negatif olduğu anlamına gelmez; negatif bir u’nun işareti çevrilir. Örneğin x<3 iken |x−3|=3−x olur. Koşul x’in değil, mutlak değerin içindeki ifadenin işaretine uygulanır.
|x−a|=r denkleminde önce r’yi incele. r>0 ise a’nın sağında ve solunda r uzaklıktaki iki nokta, yani x=a+r veya x=a−r bulunur. r=0 için yalnız x=a vardır. r<0 için çözüm yoktur; negatif uzaklık oluşturmak için iki cebirsel dal yazmak başlangıç koşulunu değiştirmez.
Pozitif r için |x−a|≤r, a−r≤x≤a+r kapalı aralığını; |x−a|<r ise uçları dışarıda bırakan açık aralığı verir. r=0 durumunda ≤ yalnız x=a’yı kabul eder, < hiçbir noktayı kabul etmez. r<0 olduğunda bu iki üst sınır eşitsizliği de çözümsüzdür. Buna karşılık |u|≥r, r≤0 ise bütün gerçek u değerlerinde doğrudur. İşaret yönünü incelemeden aynı şablonu uygulama.
Çözümü başlangıç ifadesinde ve uzaklık anlamında birlikte kontrol et. İçerideki ifade iki farklı bölgede işaret değiştirebilir; parçalı çözümde her sonucun kendi bölge koşulunu koru. Mutlak değerler toplama/çıkarma üzerine genel olarak dağılmaz: |2−5|=3 iken |2|−|5|=−3 olur. Uzaklık yorumunu işlemler için koşulsuz bir dağıtma kuralına dönüştürme.
|u|≥0; u≥0 ise |u|=u, u<0 ise |u|=−u. |x−a|=r için r>0 iki aday, r=0 tek aday, r<0 çözüm yok. Üst sınır eşitsizliklerinde açık/kapalı uçları ve r’nin işaretini koru; mutlak değer toplama/çıkarma üzerine genel olarak dağılmaz.
Adım adım bir örnek
Gerçek sayılarda |x−6|=4 denklemini iki yolla çözünüz.
Sayı doğrusunda uzaklık
- x’in 6 noktasına uzaklığı 4 olmalıdır.
- 6’nın 4 solundaki 2 ve 4 sağındaki 10 noktaları uygundur.
Sınır: Sağ taraf 4 pozitif olduğu için iki ayrı nokta vardır; sağ taraf 0 veya negatif olduğunda aynı iki nokta modeli kullanılmaz.
İki cebirsel durum
- x−6=4 veya x−6=−4 yazılır.
- İlkinde x=10, ikincide x=2; ikisi de mutlak değer denkleminde 4 verir.
Sınır: İki durum yazmadan önce sağ tarafın negatif olmadığını kontrol et; değişken sağ tarafta da varsa adayları başlangıçta denetle.
İki cebirsel durumun sayı doğrusundaki iki yönle ilişkisi nedir? Sağ taraf sıfır olsaydı neden iki farklı çözüm çıkmazdı?
Hatayı bul
Bir öğrenci x<3 iken |x−3|=x−3 yazıyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: İçteki x−3 ifadesi negatif olduğu hâlde parçalı tanımın pozitif dalını kullanmak.
x<3 için x−3<0; dolayısıyla |x−3|=−(x−3)=3−x. Örneğin x=1 için mutlak değer 2 verir; yanlış ifade−2 olur.
Konum modelindeki koşul D−2=−5 yerine D−2=−1 olursa çözüm durumu nasıl değişir?
Yeni koşul D=1 ister. |p−8|=1 olduğundan p=7 veya p=9 elde edilir; negatif hedef yerine pozitif uzaklık geldiği için iki konum vardır.
Dersin soruları
1Sayı doğrusunda −3 noktasına uzaklığı 5 birim olan iki gerçek sayının çarpımı kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2Gerçek sayılarda |x+4|≤3 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Bir doğrusal konum modelinde D=|p−8| uzaklığı tanımlanıyor; p gerçek sayı. Yazılım D−2=−5 koşulunu istiyor. Bu koşulu sağlayan p değerlerinin kümesi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
11<x<4 iken |x−1|−|x−4| ifadesi hangisine eşittir?
2|x−5|=m²−4 denkleminin çözüm kümesi tam bir elemanlıdır. m’nin alabileceği değerler kümesi hangisidir?
3|x−3|≤0 ve |x−3|<0 eşitsizliklerinin çözüm kümeleri sırasıyla hangisidir?
4Çözüm kümesi [−2, 8] olan eşitsizlik hangisidir?
5a=−4 ve b=9 için aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur?
6|x−1|=2x−5 denkleminin gerçel çözüm kümesi hangisidir?
7Doğrusal bir rayda iki aracın konumları 3 ve −8’dir. Aralarındaki uzaklık kaçtır?
8x=5 sayısının |x−2|=x+k denkleminin bir çözümü olması için k kaç olmalıdır?
9|x−1|+|x−5|=2x−6 eşitliği gerçel sayıların hangi kümesinde sağlanır?
10Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin çözüm kümesi bütün gerçek sayılardır?
Aklında kaldı mı?
|x−a|=r için r’nin işareti neden önce kontrol edilir?
Mutlak değer negatif olamaz. r<0 ise çözüm yok; r=0 için x=a; r>0 için x=a±r adayları bulunur.
|x−a|≤r ile |x−a|<r arasındaki sınır farkı nedir?
Pozitif r için ilki a−r ve a+r uçlarını içerir; ikincisi dışlar. r=0 veya negatifse ayrıca inceleme gerekir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.