YKS · MATEMATİK

Logaritmaya giriş: hangi kuvvet, hangi koşul?

Bu derste Gerçel logaritmada taban ve argüman koşullarını denetleyip üstel eşdeğerliği kurar. Aynı tabanlı çarpım/bölüm/kuvvet kurallarını pozitif argüman koşuluyla kullanır; toplamı logaritmaya dağıtmaz.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Logaritma: kapı koşulu, üstel biçim ve toplam tuzağı. Dört panel: a>0, a≠1, x>0 kapısından sonra logₐx=y ve aʸ=x eşdeğerliği (taban kare/mavi, argüman daire/yeşil, üs üçgen/turuncu); log_(1/2)8=−3 ⇔ (1/2)⁻³=8; log₃(27·√3)=3+1/2=7/2 ile üslerin toplanması; log₂(4+4)=3 ile log₂4+log₂4=4 arasında ok bulunmadığını gösteren karşı örnek. — **Logaritma: kapı koşulu, üstel biçim ve toplam tuzağı.** Dört panel: a>0, a≠1, x>0 kapısından sonra logₐx=y ve aʸ=x eşdeğerliği (taban kare/mavi, argüman daire/yeşil, üs üçgen/turuncu); log_(1/2)8=−3 ⇔ (1/2)⁻³=8; log₃(27·√3)=3+1/2=7/2 ile üslerin toplanması; log₂(4+4)=3 ile log₂4+log₂4=4 arasında ok bulunmadığını gösteren karşı örnek. Yalnız gerçel logaritma ve dersteki dört örnek sayısı gösterilir; genel kural kanıtı değildir. Oklar işlem/eşdeğerlik yönünü gösterir, ölçek ya da grafik değildir. Çarpım, bölüm ve kuvvet kuralları görselde yalnız çarpım örneğiyle yer alır; denklem çözümü, tanım kümesi taraması ve tabansız kısaltmalar bu görselin kapsamı dışındadır.

Gerçel sayılarda logₐx ifadesini okumadan önce a>0, a≠1 ve x>0 koşulları aranır. a taban, x argümandır. logₐx=y demek aʸ=x demektir: “a sayısını hangi kuvvete yükseltirsem x çıkar?” sorusunu yanıtlarız. Tabanın 1 olması her üste aynı 1 sonucunu verdiği için tek bir ters değer oluşturmaz; negatif ya da sıfır taban da burada kullanılan bütün gerçel üslü fonksiyonu vermez.

Argümanın pozitif olması logaritmanın sonucunun pozitif olması demek değildir. Örneğin geçerli bir a için a⁰=1 olduğundan logₐ1=0; a¹=a olduğundan logₐa=1 olur. Pozitif tabanın negatif üsleri de pozitif sayılar üretir ve bunların logaritması negatif olabilir. 0<a<1 tabanları geçerlidir; birden küçük tabanı otomatik olarak yasaklama. Üstel eşitliği yazmak, değerin işaretini ezberden seçmekten daha güvenilirdir.

Aynı geçerli a tabanı ve u>0,v>0 için logₐ(uv)=logₐu+logₐv. Gerekçesi u=aᵖ ve v=aᑫ yazıldığında uv=aᵖ⁺ᑫ olmasıdır. Bölümde u/v=aᵖ⁻ᑫ olduğundan logₐ(u/v)=logₐu−logₐv. Burada her iki ayrı logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır; yalnız çarpımın pozitif olması açılımı haklı çıkarmaz. İki negatif çarpanın çarpımı pozitif olsa bile ayrı gerçel logaritmaları tanımsızdır.

Pozitif u ve gerçek t için logₐ(uᵗ)=t·logₐu olur; üs dışarı çarpan olarak çıkar. Ancak logₐ(u+v) için aynı tür bir dağıtma kuralı yoktur. logₐu+logₐv, u+v değil uv argümanına karşılık gelir. Ayrıca logₐ(x²)=2logₐx eşitliğinin sağ tarafı x>0 ister; sol taraf x≠0 için tanımlıdır. x negatif olabilirse uygun yazım 2logₐ|x| olur; dönüşüm yaparken tanım kümesini daraltma.

Bir logaritmalı eşitliği çözerken önce özgün ifadelerin ortak tanım koşullarını yaz, sonra üstel biçime veya aynı tabanda tek argümana geç. Son bulunan adayları başlangıç koşullarıyla denetle; cebirsel işlem tanımsız bir ifadeyi geçerli yapmaz. Bir terim logaritma sonucunun katı mı, argümanın çarpanı mı diye parantezlere dikkat et: 2logₐx ile logₐ(2x) genel olarak aynı değildir. Bu girişte tabanlar açık yazılır; tabanı belirtilmeyen kısaltmalara dayanmayız.

KISACA

logₐx=y ⇔ aʸ=x; a>0,a≠1,x>0. Sonuç negatif olabilir. Aynı tabanda ve pozitif argümanlarda çarpım toplama, bölüm çıkarma; pozitif argümanın kuvveti dışarı çarpan olur. Toplama argümanına dağıtma yok; önce özgün tanım kümesi.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

log₃(27·√3) değerini iki geçerli yolla bulunuz.

Tek üs olarak yaz

27=3³ ve √3=3^(1/2); çarpım 3^(7/2).
3 sayısının hangi kuvveti bu sonucu verir sorusunun yanıtı 7/2.

Sınır: Taban 3 geçerli; çarpım argümanı pozitif. Üsleri toplamak aynı tabanlı kuvvetlerde uygulanır.

Çarpım ve kuvvet kuralları

İki çarpan da pozitif: log₃(27·√3)=log₃27+log₃√3.
3+(1/2)log₃3=3+1/2=7/2.

Sınır: Çarpım kuralı logaritmanın içindeki toplama için kullanılamaz; iki ayrı argümanın pozitifliği burada sağlanır.

İkinci yöntemdeki toplamın birinci yöntemde üs toplamı olarak görünmesini açıkla. İçeride 27+√3 olsaydı aynı iki işlem neden yürütülemezdi?

HATA AVI

Hatayı bul

“log₂(4+4)=log₂4+log₂4=4” çözümünde ilk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Çarpım için geçerli logaritma kuralını toplama argümanına uygulamak.

4+4=8 olduğundan log₂8=3. Sağdaki log₂4+log₂4=4 ise log₂(4·4)=log₂16 ifadesidir; farklı bir argümanı hesaplar.

log₃(x−2)+log₃(x+2)=2 yerine yalnız log₃(x²−4)=2 sorulursa çözüm kümesi değişir mi?

Evet. Tek ifadenin koşulu x²−4>0, yani x<−2 veya x>2. Hem −√13 hem √13 geçerlidir. İlk denklemde iki ayrı argüman x>2 gerektirdiği için yalnız pozitif kök kalır.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Gerçel logₐu için hangi üç koşul gerekir?

a>0, a≠1 ve u>0. Sonucun pozitif olması gerekmez; taban 0 ile 1 arasında olabilir.

logₐ(x²)=2logₐx dönüşümü x negatifken kullanılabilir mi?

Sağ taraf x>0 ister; negatif x için tanımsızdır. x≠0 için tanım kümesini koruyan yazım logₐ(x²)=2logₐ|x| olur.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.