hepnotÜç kümede dağılım ve eleman üyeliğiyle özdeşlik
Konunun mantığı
A, B ve C aynı E evrensel kümesinin alt kümeleri olsun. A′=E\A gösteriminde tümleyen her defasında bu E içinde alınır. İki kümenin eşitliği yalnız eleman sayılarının eşitliği değildir: E içindeki her x için birinde olma ile diğerinde olma aynı olmalıdır. Birleşimdeki veya kapsayıcıdır; x hem Bde hem Cde bulunabilir. Parantezler, hangi işlemin önce kurulduğunu gösterir ve genel olarak silinmez.
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) eşitliğini keyfî bir x ile inceleyelim. Solda bulunan x, Ada ve ayrıca B veya Cdedir. Bdeyse A∩Bde, Cdeyse A∩Cde olduğundan sağdadır. Tersine sağda bulunan x, iki kesişimden en az birindedir; her durumda Adadır ve B veya Cdedir, dolayısıyla soldadır. İki yön bütün x için kurulduğundan eşitlik geneldir. Sadece çizimde seçilmiş birkaç bölgeyi denemek bu iki yönün yerine geçmez.
Diğer dağılım A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) biçimindedir. x Adaysa sağdaki iki birleşimde de vardır. Ada değilse sağdaki iki birleşimde bulunabilmesi için hem Bde hem Cde olması gerekir; bu da soldaki ikinci seçenektir. Böylece ve ile veya işlemlerinin rolleri değişirken iki taraftaki parantezler korunur. İki dağılımı A∩B∩C ile karıştırmak, B veya C koşulunu ikisi birden koşuluna dönüştürür.
De Morgan kurallarında (A∪B)′=A′∩B′ ve (A∩B)′=A′∪B′ olur. İlkinde birleşimin dışında kalmak, hem Anın hem Bnin dışında olmaktır. İkincide kesişimin dışında olmak için ikisinden en az birinin dışında kalmak yeterlidir; ikisinin de dışında olmak zorunlu değildir. Bu, mantıktaki değillemenin küme üyeliğine uygulanmasıdır; değilleme ilk kez burada öğretilmiyor. Tümleyen işareti içeri dağıtılırken işlem de değişir.
Her A, B, C için öne sürülen yanlış eşitliği çürütmeye bir karşı eleman yeter: bir tarafın üyesi olup ötekinin üyesi olmayan x bulunur. Eşitliği doğrulamak ise bir başarılı örnekle bitmez. Bir elemanın A/B/C üyeliğinin sekiz olası doğruluk durumu, bu üyelik ifadelerinin noktasal mantık eşdeğerliğini eksiksiz inceleyebilir; bunun genel kümelere bağlanması keyfî x gerekçesidir. Belirli sonlu Edeki sayım yalnız o örneğin sonucudur.
Ortak E içinde keyfî x üyeliğini iki yönde izle. Dağılımda A her kola girer; De Morganda tümleyen içeri geçerken ∪ ile ∩ değişir. Bir karşı eleman yanlış özdeşliği çürütür; eşit sayılar eşit kümeler demek değildir.
Adım adım bir örnek
E={0,1,2,3,4,6,8}, A={1,3,6,8}, B={0,3,8}, C={1,4,8}. T=A∩(B∪C) kümesini iki yolla bulun. Bu sonlu hesap genel dağılım kanıtı değildir.
Önce birleşim, sonra üyelik filtresi
- B∪C={0,1,3,4,8}.
- Bu listedeki A üyeleri1,3,8dir; T={1,3,8}.
Sınır: Listeler bu E ve verilmiş kümeler içindir; aynı eleman iki kez yazılmaz.
Dağılımı kullanıp iki kesişimi birleştirme
- A∩B={3,8}, A∩C={1,8}.
- İki listenin birleşimi{1,3,8}dir; ortak8 yalnız bir eleman sayılır.
Sınır: Genel dağılım foundationdaki keyfî eleman gerekçesine dayanır; burada yalnız verilen örneğe uygulanır.
8 iki kesişimde de bulunmasına rağmen neden Tde iki kez sayılmıyor? A∩B∩C aynı sonucu verir mi?
Hatayı bul
Öğrenci (A∩B)′=A′∩B′ yazıyor; gerekçe olarak “x ikisine birden ait değilse ikisine de ait değildir” diyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: İkisine birden ait olmamayı, her ikisine de ait olmama ile eşitlemek.
x Ada olup Bde olmayabilir: bu x kesişimin dışındadır ama A′∩B′de değildir. Doğru koşul en az birinin dışında olmak, dolayısıyla A′∪B′dir. Aynı E korunur.
Çalışılmış örnekte A,B,C sabit kalsın; yalnız Eye yeni9 elemanı eklensin. T=A∩(B∪C) ve Eye göre T′ nasıl değişir?
T={1,3,8} değişmez; hiçbir iç kümeye9 eklenmemiştir. Eski T′={0,2,4,6}, yeni T′={0,2,4,6,9} olur. Tümleyen evrensel kümeye bağlıdır; yalnız kardinaliteye bakmak hangi elemanın eklendiğini söylemez.
Dersin soruları
1A,B,C⊆E ve tüm tümleyenler Eye göre. (A∪B)′∩(A∪C) ifadesi bütün bu kümeler için hangisine eşittir?
Bu soruda hata mı var?2Bir öğrenci her A,B,C⊆E için A∩(B∪C)=(A∩B)∩C olduğunu savunuyor. Bir x elemanının aşağıdaki üyelik durumlarından hangisi iddiaya karşı eleman sağlar? Sıra A,B,C; 1 üye,0 üye değil demektir.
Bu soruda hata mı var?3E={p,q,r,s,t,u}, A={p,q,s}, B={q,r,s}, C={s,t}. E\[(A∩B)∪C] hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir kafede 1’den 8’e numaralı 8 müşteri var (evrensel küme E). Kahve alanlar A={1,2,3,4}, tatlı alanlar B={3,4,5} kümesidir. Kahve ile tatlıyı birlikte almamış müşterilerin kümesi, yani (A∩B)′ hangisidir?
2P, Q, R aynı E evrensel kümesinin alt kümeleridir. (P∪Q)∩(P∪R) ifadesi bütün P, Q, R için hangisine eşittir?
3A∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C) yönünü göstermek için keyfî bir x∈A∩(B∪C) alınıyor. Bundan sonraki hangi akıl yürütme doğru ve eksiksizdir?
4Aşağıdakilerden hangisi, A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) eşitliğinin her A, B, C alt kümesi için doğru olduğunu gerçekten kanıtlar?
5Bir x elemanının A, B, C kümelerine üyeliği için 2·2·2=8 olası durum vardır. Bu sekiz durumun kaçında x, A∩(B∪C) kümesinin elemanıdır?
6Bir öğrenci her A, B, C için (A∩B)∪C = A∩(B∪C) olduğunu savunuyor. E={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,3}, B={2,3,4}, C={4} alındığında aşağıdaki elemanlardan hangisi, iddianın yanlışlığını tek başına gösteren karşı elemandır?
7A ve B aynı E evrensel kümesinin alt kümeleridir. (A′∪B)′ ifadesi bütün A, B için hangisine eşittir?
8A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) eşitliğinde keyfî x∈A alınıyor. Sağ taraftaki üyelik hangi gerekçeyle gösterilir?
9Bir öğrenci her A, B, C için A∪(B∩C) = (A∪B)∩C olduğunu savunuyor. E={1,…,8}, A={1,2}, B={2,3,4}, C={1,2,3,5} alıyor ve iki tarafın da {1,2,3} çıktığını görüyor. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
10E={1,…,8}, A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6} olsun. Bir öğrenci A∩B′ ve A′∩B kümelerinin ikisinin de 2 elemanlı olduğunu görüp bu iki kümenin eşit olduğunu söylüyor. Hangisi doğrudur?
Aklında kaldı mı?
Üç kümede dağılımı genel olarak doğrularken neden keyfî x ve iki yön kullanılır?
Eşitlik her elemanın iki tarafa aynı anda üye olmasıdır. Keyfî x için soldan sağa ve sağdan sola üyelik gerekçeleri bütün kümeleri kapsar; tek sonlu örnek yalnız kendi durumunu doğrular.
(A∩B)′ ile (A∪B)′ hangi üyelik koşullarıdır?
İlki Anın veya Bnin dışında olmak: A′∪B′. İkincisi Anın da Bnin de dışında olmak: A′∩B′. Tümleyenler ortak Eye göredir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.