hepnotKüme işlemleri: ortaklar, dışarıda kalanlar ve çift sayma
Konunun mantığı
Bir küme, elemanların çoklu kayıt sayısını değil üyeliğini belirtir. A∪B birleşimi, A’da veya B’de bulunan bütün elemanları içerir; buradaki veya iki kümede birden bulunmayı da kapsar. Ortak eleman birleşimde iki kez yazılmaz. A∩B kesişimi ise her iki kümede de bulunan elemanlardan oluşur.
Tümleyen için evrensel küme E belirtilmelidir ve A⊆E olmalıdır. A′=E\A, E’de olup A’da olmayan elemanlardır; dünyadaki her şey anlamına gelmez. E değişirse A aynı kalsa bile A′ değişebilir. Fark A\B ise A’da bulunup B’de bulunmayanları seçer; genellikle B\A ile aynı değildir.
İki sonlu kümenin eleman sayılarını doğrudan toplarsan kesişimdekileri iki kez sayarsın. Birleşimin sayısı s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B) olur. Bir kesişim sayısı çıkarılınca ortak elemanlar bir kez kalır; tamamen silinmez. Formül bu biçimiyle sonlu sayımlar içindir.
Venn düşüncesinde dört ayrık bölge kullan: yalnız A, yalnız B, ikisi birden ve E içinde hiçbirinde olmayanlar. Yalnız A sayısı s(A)−s(A∩B), yalnız B sayısı s(B)−s(A∩B) olur. Tam olarak birinde bulunanlar bu ilk iki bölgenin toplamıdır; en az birinde bulunanlarla aynı şey değildir. Hiçbirinde bulunmayanların sayısı s(E)−s(A∪B) ile bulunur.
Bağlamdaki kişi veya nesnelerin tekilleştirilmiş olduğundan emin ol. Aynı kişinin iki ayrı günkü katılımını iki ayrı kişi gibi saymak küme modelini değiştirir. Ayrıca kesişim sayısı iki kümenin her birinden büyük olamaz; bulunan bölge sayıları negatifse veri veya kurulan model yeniden incelenmelidir. İşlemi sembolden önce üyelik cümlesiyle okumak yanlış bölgeyi saymayı önler.
A∪B en az birinde, A∩B ikisinde birden bulunanlardır. A′, E içinde A dışında kalanlardır; E gereklidir. Sonlu kümelerde birleşim sayısı A sayısı+B sayısı−ortak sayısıdır. Tam birinde bulunanlar için ortak sayısını toplamdan iki kez çıkar.
Adım adım bir örnek
A={a;b;c;d}, B={c;d;e}. s(A∪B) değerini iki yolla bulunuz.
Elemanları tekilleştir
- A’daki a,b,c,d elemanlarını al; B’den bunlara yalnız yeni e elemanı eklenir.
- Birleşim {a;b;c;d;e} olur ve 5 eleman içerir.
Sınır: Yinelenen elemanlar ayrı kayıt gibi sayılmaz; burada amaç küme eleman sayısıdır.
Ortak sayımı düzelt
- s(A)=4, s(B)=3 ve A∩B={c;d} olduğundan ortak sayısı 2.
- 4+3−2=5.
Sınır: 4+3 toplamı c,d elemanlarını ikişer kez içerir; çıkarılan 2 ortakların tümünü yok etmez, fazladan sayımı kaldırır.
İlk yöntemde e dışında B’den neden yeni eleman gelmedi? İkinci yöntemde ortak sayı çıkarılınca c,d birleşimden siliniyor mu?
Hatayı bul
“A ve B’de toplam12ve9eleman varsa s(A∪B)=21dir; ortak elemanların olup olmaması önemsizdir.” yorumunun ilk hatası nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Ortak elemanların doğrudan toplamda iki kez sayıldığını göz ardı etmek.
s(A∩B) bilinmeden birleşim genellikle tek sayı olarak belirlenmez. Ortak sayısı k ise s(A∪B)=21−k; yalnız ayrık oldukları verilirse 21 olur.
İlk soruda evrensel kümeye 7 eklenip A ve B aynı tutulursa (A∪B)′ nasıl değişir?
Birleşim aynı kalır; tümleyen {5;7} olur. Yeni 7, genişletilmiş E içinde olup A veya B’de değildir.
Dersin soruları
1E={0;1;2;3;4;5;6}, A={0;2;4;6}, B={1;2;3}. E’ye göre (A∪B)′ hangisidir?
Bu soruda hata mı var?234 öğrencilik sabit bir grupta 19 öğrenci A çalışmasına,16 öğrenci B çalışmasına katılmış;7 öğrenci ikisine de katılmıştır. Her öğrenci bir kez sayılıyor. Hiçbir çalışmaya katılmayan kaç öğrenci vardır?
Bu soruda hata mı var?3Tekilleştirilmiş bir kayıt listesinde 24 kişi X oturumuna,17 kişi Y oturumuna kayıtlı;8 kişi iki oturuma da kayıtlı. Tam olarak bir oturuma kayıtlı kaç kişi vardır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1A={1;2;3;5;8} ve B={2;3;5;7} kümeleri veriliyor. A∪B kümesi ve eleman sayısı hangisidir?
2E={1;2;…;10}, A={2;3;5;7} ve B={1;3;5;7;9} kümeleri veriliyor. B\A kümesi hangisidir?
3Tümleyenler ortak E evrensel kümesine göre alınmaktadır. A={1;3;5} ve A′={2;4;6;7} olduğu, ayrıca B={3;4;7} kümesinin E’nin alt kümesi olduğu biliniyor. (B\A)′ kümesi hangisidir?
4Bir şirkette 50 çalışan vardır. Bir inceleme yalnız 30 kişilik ürün ekibinde yapılıyor ve bu ekip evrensel küme E olarak alınıyor. Ekipteki 12 kişi A kümesini (mobil uygulama çalışanları) oluşturuyor. Bu E’ye göre A′ kaç kişiden oluşur?
544 üyelik kaydı kişi bazında tekilleştirilmiştir. 25 üye yazarlık atölyesine, 20 üye çizim atölyesine katılıyor; 9 üye hiçbirine katılmıyor. İki atölyeye de katılan kaç üye vardır?
6Bir yarışmada kişiler tekilleştirilmiştir. Matematik ya da fizik turlarından en az birini geçen 30 kişi vardır; bunlardan 22 kişi tam olarak bir turu geçmiştir. İki turu da geçen kaç kişi vardır?
7Bir mahallede hanelerin %15’i hiçbir servisi, %40’ı yalnız A servisini, %25’i hem A hem B servisini kullanıyor. Her hane bir kez sayılıyor. B servisini kullanan hane yüzdesi kaçtır?
8Bir raporda tekilleştirilmiş 40 kişilik grup için şu veriler yazılıyor: 25 kişi A etkinliğinde, 18 kişi B etkinliğinde, 20 kişi iki etkinlikte birden bulunmuştur. Rapor için hangi yorum doğrudur?
9Bir seminerin kayıt listesinde Cuma günü için 120, Cumartesi günü için 95 kayıt vardır; her kayıt bir günlük katılımdır. İki gün de gelen 40 kişi her iki günün listesinde de yer almaktadır. Seminere katılan farklı kişi sayısı kaçtır?
10Bir ankette her katılımcı en az bir seçeneği işaretliyor. A ve B seçeneklerine toplam 56 işaret verilmiş; 6 kişi her iki seçeneği de işaretlemiştir. Ankete kaç kişi katılmıştır?
Aklında kaldı mı?
A sabitken evrensel küme büyürse A’nın tümleyeni değişebilir mi?
Evet. E’ye eklenip A’da bulunmayan yeni elemanlar tümleyene katılır. Tümleyen daima belirtilen E’ye göredir.
En az birinde ile tam olarak birinde sayımlarında ortak bölge nasıl ele alınır?
En az birinde ortak bölge bir kez bulunur; tam birinde hiç bulunmaz. A+B toplamından sırasıyla ortak sayısı bir kez veya iki kez çıkarılır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.