hepnotKoşullu olasılık: daralan örnek uzay, kesişim ve koşul yönü
Konunun mantığı
Bir olayın gerçekleştiği bilgisi geldiğinde artık yalnız bu bilgiyle uyumlu çıktıları değerlendiririz. A olayını soruyor, Bnin gerçekleştiğini biliyorsak gösterim P(A|B)dir; dik çizginin sağındaki B koşuldur. B içindeki A çıktıları A∩Byi oluşturur. P(B)>0 için P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Böylece Bnin toplam olasılık ağırlığı yeni değerlendirmede 1e yeniden ölçeklenir; A∪B birleşimini almak aynı işlem değildir.
Sonlu bir örnek uzayda başlangıçtaki bütün temel çıktılar eş olasılıklıysa koşul içindeki çıktılar da eş ağırlıklı kalır ve P(A|B)=s(A∩B)/s(B) yazılır. Paydada bütün E değil, gerçekleştiği bilinen B vardır. Bnin eleman sayısını bulmak tek başına olasılık sonucu değildir; uygun kesişim sayısını bu paydaya bölmek gerekir. Başlangıç çıktıları farklı ağırlıktaysa salt eleman sayısı yerine olasılık ağırlıkları kullanılır.
P(A|B) ile P(B|A) aynı kesişimi kullanır ama genel olarak paydaları farklıdır. İlkinde B, ikincisinde A gerçekleştiği bilinir; biri diğerinin tersi veya otomatik eşiti değildir. İkisinin tanımlı olması için ilgili koşul olasılıkları pozitif olmalıdır. Koşul bilgisi zaman sırası ya da nedensellik iddiası da değildir: bir kayıt hakkında sonradan bilgi edinmek kaydın geçmişteki etiketini değiştirmez.
İki olayın sonlu tablosunu dört ayrık hücreyle düzenleyebiliriz: A∩B, A∩B′, A′∩B ve A′∩B′. B koşulunda yalnız B içindeki iki hücre kalır; A için ilki, A′ için ikincisi kullanılır. Bu nedenle P(A′|B)=1−P(A|B) olur. Tümleyeni koşulun kendisini değiştirmekle karıştırma: P(A|B′) başka bir bilgiyi kullanır ve genel olarak 1−P(A|B) değildir.
Temel oran tanımı P(B)=0 olduğunda kullanılamaz; kesişim de 0 olacağı için 0/0 elde edilir ve buradan 0, 1 veya koşulsuz P(A) seçilmez. Sonlu eş seçilimli modelde boş koşul için gerçekleşti denmesi modelle bağdaşmaz. Sürekli modellerde sıfır olasılıklı nokta bilgisi için daha ileri tanımlar bulunabilir; bu dar ders onları çözmüş sayılmaz. Buradaki özgün tablolar ve seçimler kurmaca teorik modellerdir; gözlenmiş deney veya öğrenci başarısı raporu değildir.
P(A|B)de koşul Bdir; P(B)>0 ise kesişim olasılığını Bnin olasılığına böl. Eş seçilimde kesişim sayısı/B sayısı. Ters koşulun paydası farklıdır; B′ koşulu ile A′ olayı aynı değişiklik değildir. Sıfır koşul temel oranla tanımsızdır.
Adım adım bir örnek
Özgün soyut kayıt modelinde 32 farklı kaydın her biri eş seçiliyor. A∩B hücresinde6, A∩B′de10, A′∩Bde9, A′∩B′de7 kayıt var; her kayıt bu dört hücreden yalnız birinde. Seçilen kaydın Bde olduğu bilgisi geldiğinde A olasılığını bulun; ters koşulla karşılaştırın.
Bilgiyle örnek uzayı daralt
- Bde toplam6+9=15 kayıt; bunların6sı Ada. P(A|B)=6/15=2/5.
- Ters koşulda A toplam6+10=16 kayıt; bunların6sı Bde. P(B|A)=6/16=3/8.
- Aynı6 kesişimi farklı koşul toplamlarıyla bölündüğü için iki oran eşit çıkmak zorunda değildir.
Sınır: Başlangıçtaki32 kaydın eş seçildiği verilmiştir. Etiket sayısını eş olasılıklı temel çıktı sayısı saymayız.
Olasılık ağırlıklarını yeniden ölçekle
- P(A∩B)=6/32; P(B)=15/32. Oran(6/32)/(15/32)=2/5.
- P(A)=16/32; ters koşul(6/32)/(16/32)=3/8.
- Ortak32 çarpanı sadeleşir; s(B) paydasının gerekçesi eş temel ağırlıkların aynı olmasıdır.
Sınır: Bu yöntem temel olasılık tanımını açıklar; farklı ağırlıklar verilse sayım oranını otomatik kullanmak yerine ağırlıkları toplarız.
B koşulunda A′ olasılığını hesaplarken hangi hücreler kalır? B′ koşuluna geçmek aynı soru mudur?
Hatayı bul
“B biliniyor diye P(A|B)=P(A∩B)/P(A) yazdım; ikisi kesiştiği için koşulun yönü önemli değil.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: B koşulunu kullanırken paydaya Anın olasılığını yazarak ters koşula geçmek.
P(A|B)nin paydası P(B)>0dır. P(A) paydalı oran, P(A)>0 olduğunda P(B|A)yı verir. Kesişim aynı kalsa bile iki koşulun toplamları ve sonuçları farklı olabilir.
Çalışılmış32 kayıt modelinde bilgi B yerine B′ olsun. Aynı hücreler ve eş seçilim korunurken P(A|B′) ve P(A′|B) nasıl karşılaşır?
B′de10+7=17 kayıt; P(A|B′)=10/17. Bde A′ sayısı9 olduğundan P(A′|B)=9/15=3/5. Koşulun tümleyeni ile sorulan olayın tümleyeni farklı hücre/payda seçer; eşit olmak zorunda değildir.
Dersin soruları
1Bir yazılım modeli x,y∈{1,2,3,4} için16 sıralı(x,y) çiftinin her birini eş olasılıkla seçiyor. A:x=y; B:x+y≤4. Bnin gerçekleştiği biliniyor. P(A|B) kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2Eş ağırlıklı olma şartı taşımayan özgün sonlu modelde dört ayrık hücrenin olasılıkları P(A∩B)=0,18; P(A′∩B)=0,12; P(A∩B′)=0,42; P(A′∩B′)=0,28. (P(A|B),P(B|A)) sırasıyla hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Sonlu bir modelde her temel çıktı pozitif olasılıklı. B boş olay, P(A)=2/5. Bir çözüm P(A|B)=P(A∩B)/P(B) oranını kullanmak istiyor. Bu temel tanım için uygun değerlendirme hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir okulda 80 öğrenciden biri eş olasılıkla seçiliyor. A: seçilen öğrenci robotik kulübünde; B: seçilen öğrenci satranç kulübünde. s(A)=24, s(B)=30 ve s(A∩B)=12’dir. Seçilen öğrencinin satranç kulübünde olduğu biliniyorsa robotik kulübünde olma olasılığı kaçtır?
2Bir üyelik sisteminde 96 kayıttan biri eş olasılıkla seçiliyor. B: seçilen kayıt yıllık pakettedir ve s(B)=36. A: seçilen kaydın bildirimi açıktır. Seçilen kaydın yıllık pakette olduğu bilindiğinde bildirimin açık olma olasılığı 5/12 ölçülmüştür. Hem A hem B olan kaç kayıt vardır?
3100 kayıttan biri eş olasılıkla seçiliyor. s(A)=18, s(B)=30 ve s(A∩B)=12’dir. P(B|A) değeri P(A|B) değerinin kaç katıdır?
4Bir kayıt sisteminde 200 kayıttan biri eş olasılıkla seçiliyor. “A” etiketi kayıtlara ilk gün, “B” etiketi ikinci gün verilmiştir. 80 kayıt A, 50 kayıt B etiketlidir; 30 kayıt iki etiketi de taşır. Seçilen kaydın B etiketli olduğu biliniyor. P(A|B) kaçtır?
5Özgün bir modelde dört çıktının olasılıkları P({k})=0,1; P({l})=0,2; P({m})=0,3; P({n})=0,4’tür. A={k;l} ve B={l;m;n} olaylarında P(A|B) kaçtır?
6P(A|B) değerini s(A∩B)/s(B) eleman sayısı oranıyla hesaplamak, modelin hangi özelliğine dayanır?
7Özgün bir modelde dört ayrık hücrenin olasılıkları P(A∩B)=0,12; P(A′∩B)=0,28; P(A∩B′)=0,36; P(A′∩B′)=0,24’tür. P(A′|B) kaçtır?
8Bir modelde P(B)>0, P(B′)>0 ve P(A|B)=0,6 olduğu biliniyor. Yalnız bu bilgiyle kesin olarak belirlenebilen eşitlik hangisidir?
9Sonlu bir modelde P(A)=0, P(B)=0,3 ve P(A∩B)=0’dır. Temel oran tanımıyla (P(A|B); P(B|A)) ikilisi hangisidir?
10Temel tanım P(A|B)=P(A∩B)/P(B) kullanılırken aşağıdaki durumlardan hangisinde belirtilen sonuç doğru elde edilir?
Aklında kaldı mı?
P(A|B) tanımı ve sonlu eş seçilimde sayım biçimi nedir?
P(B)>0 ise P(A∩B)/P(B). Sonlu eş ağırlıklı temel çıktılarda s(A∩B)/s(B). Farklı ağırlıklarda sadece eleman saymak yeterli değildir.
P(A′|B) ile P(A|B′) neden aynı ifade değildir?
İlki aynı B koşulunda A dışını seçer ve1−P(A|B)dir. İkincisi koşulu B dışı olarak değiştirir; P(B′)>0 koşuluyla ayrıca hesaplanır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.