YKS · MATEMATİK

Kombinasyon, koşullu grup seçimi ve rol ataması

Bu derste Sırasız rseçimin r!sıralı temsilini kullanarak C(n,r)bağıntısını kurar. Koşullu grupları ayrık durumlarla/tümleyenle sayar;rol ataması eklenince sonuç tanımını değiştirir.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Grubu say, rolü ayır. Üç üyenin 6 yazılışının tek seçim olması, 3 A ve 4 B kayıtla iki kategorili üçlülerin 18 + 12 = 30 ve 35 − 1 − 4 = 30 sayımları, başkan rolü eklenince 42 sonucu gösterilir. — **Grubu say, rolü ayır.** Üç üyenin 6 yazılışının tek seçim olması, 3 A ve 4 B kayıtla iki kategorili üçlülerin 18 + 12 = 30 ve 35 − 1 − 4 = 30 sayımları, başkan rolü eklenince 42 sonucu gösterilir. Farklı kayıtlar, tekrarsız seçim; şerit uzunlukları sayılarla orantılıdır, yalnız bu örnek koşullar için geçerlidir.

Kombinasyonda sonuç,seçilmiş nesnelerin kümesidir;sıraları veya görevleri kayda dahil değildir. n tane farklı nesneden tam r tanesi tekrar etmeden seçiliyor ve0≤r≤n tamsayıysa sayı C(n,r)ile gösterilir. Aynı üyeler farklı sırayla söylense de aynı seçimdir. Aynı renkte görünen ama kimlikleri ayrı kaydedilen iki nesne farklı eleman olabilir;özdeş nesne topluluğundan tür miktarı seçimini bu formülle koşulsuz çözmeyiz. Önce hangi farkların yeni sonuç oluşturduğunu tanımla.

Sıralı seçim sayısı P(n,r)olsun. Her rkişilik veya rnesnelik küme,kendi r farklı elemanının r!farklı sırayla yazılmasıyla temsil edilir. Bütün kümeler aynı r!çokluğuna sahip olduğu için C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/[r!(n−r)!]. Bölme sıraları unutmanın bedelidir;gerçekten farklı roller verilmiş sonuçlara aynı bölme uygulanamaz. C(n,0)=C(n,n)=1;boş küme ve tüm küme ayrı sınır durumlarıdır. r>nise uygun seçim yoktur;faktöriyel formülünün alanına negatif faktöriyel sokulmaz.

“En az bir” veya kategori koşulu varsa bütün seçimler serbest değildir. Nesneleri ayrık iki kategoriye ayırdıysak,seçimde ilkinden k,ikinciden r−kalma sayısı C(a,k)·C(b,r−k)olur;burada a+b=nve kategori üyeleri örtüşmemelidir. Geçerli ktamsayılarını ayrı sayıp topla;bir grup kendi ilk-kategori eleman sayısıyla yalnız bir durumda bulunur. Koşulu sağlayamayan durumda katkı0dır. Aynı kişi iki beceri listesinde bulunabiliyorsa bu listeleri ayrık kategori gibi doğrudan çarpmak çift seçme veya fazla sayma yaratabilir.

Bazen tümleyeni saymak daha kısadır:önce bütün rgrupları,sonra yasak olanları çıkar. Tam olarak bir kategori elemanı,en az bir kategori elemanı ve her kategoriden en az bir gibi ifadeler aynı değildir. “Aile Bbirlikte bulunmasın” koşulunda yasak kümeleri belirle;yalnız Aolanları da yanlışlıkla silme. Ekleme/çıkarma yolunun doğruluğu sonuçların ayrık olup olmadığından gelir. Sayısal değerleri yerleştirmeden önce bir üyelik cümlesiyle hangi grupların kabul edildiğini yazmak hatayı azaltır.

Gruba sonradan başkan gibi rol verilirse yeni sonuç hem üyeleri hem rol sahibini kaydeder. Her uygun grubun aynı rüyesinden biri başkan olabiliyorsa C(n,r)·rsayılır;diğer roller yoksa r!ile çarpılmaz. Başkan yalnız belirli alt gruptan olabiliyorsa her grubun aday sayısı farklı olabilir;otomatik sabit çarpan yerine başkanı önce seçip kalan üyeleri koşulla saymak daha açıktır. Yakın uygulamadaki doğru sayım,öğrencinin gecikmeli bağımsız aktarım başarısı değildir. Bu ders tekrarlı seçim,dairesel yerleşim,binomun bütün uygulamaları veya bütün ileri grup kısıtlarını tamamlamaz.

KISACA

Sırasız tekrarsız farklı nesne seçimi C(n,r)=P(n,r)/r!. Koşullu kategori seçiminde geçerli ayrık durumları topla veya yasakları çıkar. Rol eklenirse sonuç değişir;aday sayısı gruba göre değişiyorsa otomatik sabit çarpan kullanma.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Bir inceleme havuzundaki bütün kayıtlar farklı. A kategorisinde3,B kategorisinde4kayıt var ve kategoriler ayrık. Üç kayıtlık sırasız bir grupta iki kategoriden de en az bir kayıt bulunmalı;rol veya iç sıra yok. Kaç uygun grup vardır?

Tam kategori sayısına göre ayrık durumlar

1A+2B: C(3,1)C(4,2)=3·6=18.
2A+1B: C(3,2)C(4,1)=3·4=12.
Bu durumlar ayrık ve bütün uygunu kapsar;18+12=30.

Sınır: 3kayıtlık grupta iki kategoriden en az bir varsa yalnız bu iki dağılım mümkündür;seçim sırası veya rol sayılmıyor.

Tüm gruplardan tek kategorili olanları çıkar

Bütün üçlüler C(7,3)=35.
Yasak üçü deA: C(3,3)=1;üçü deB:C(4,3)=4. İki yasak kümesi ayrık.
35−1−4=30. Aynı seçimi farklı yazılışlarla yeniden saymıyoruz.

Sınır: Tümleyen aynı7kayıt ve üçlü seçim evreninde kuruluyor;kategori başına en az2gibi farklı koşulu çözmez.

18ve12yi toplarken neden kesişim çıkarılmıyor? Tümleyen yönteminde35i bulduktan sonra tekrar3!e bölmek neden yanlış olur?

HATA AVI

Hatayı bul

“Her üç üyeli grubun3!yazılışı var;grupta bir başkan seçilmiş olsa bile başkanlı bütün kayıtları3!e bölerim.” İlk yanlış eşdeğerlik nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Başkan değişimini aynı sonuç sayarak,silinmemesi gereken rol bilgisini sırasız grup yazılışıyla karıştırmak.

Yalnız üyelerin yazılış sırası silinir;üyeler aynıyken başkanın değişmesi soruda farklı sonuçtur. Başkan önce seçilmişse kalan iki normal üyenin2!yazılışı tekilleştirilir;başkan dahil üç konumu ayırt eden P(n,3)modeliyle aradaki fark açık kurulmalıdır.

Çalışılmış3A/4B,iki kategoriden de en az bir içeren üçlü gruba şimdi yalnız Akaydından bir başkan atanacak;iki normal üyede sıra yok. Her grubu3ile çarpmak uygun mu,yeni sayı nedir?

Uygun değil;1A+2Bgrubunda1,2A+1Bgrubunda2uygun başkan var. Yeni sayı18·1+12·2=42. Başkan önce3Ayolla seçilip kalan6kayıttan iki üye,aralarında en az birBolsun diye C(6,2)−C(2,2)=14yolla tamamlanır:3·14=42. Üyeler ve başkan ayrı sonuç bilgisidir.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

C(n,r)hesabında r!ile bölmenin gerekçesi nedir?

Her rüyeli sırasız küme,tamr!sıralı yazılışla temsil edilir. Her kümede aynı çokluk vardır ve iç sıra sonuçtan silinir. Rol farkı sonuçta kalıyorsa aynı tekilleştirme otomatik uygulanmaz.

Ayrık iki kategoriden koşullu grup sayarken hangi durumlar toplanabilir?

Seçilen ilk kategori üye sayısı kgibi birbirini dışlayan durumlar. Her durum C(a,k)C(b,r−k)ile,geçerli tamsayı sınırlarında sayılır;kategori örtüşmesi varsa model önce düzeltilir.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.