YKS · MATEMATİK

Köklü paydada eşlenik ve asıl tanım alanı

Bu derste Tek ve iki terimli köklü paydayı sıfır olmayan uygun çarpanla düzenler. Eşlenik çarpanı sıfır olabilen girdide asıl ifadeyi ayrı değerlendirerek tanım alanını korur.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Eşleniği güvenle kullan. 4/(√13 + √5) eşlenikle genişletilir ve c ≠ 0 kapısı gösterilir; sonuç katsayı kurarak denetlenir; F ve G örneğinde x = 9'un alanda mı yasak mı olduğu ayrılır. — **Eşleniği güvenle kullan.** 4/(√13 + √5) eşlenikle genişletilir ve c ≠ 0 kapısı gösterilir; sonuç katsayı kurarak denetlenir; F ve G örneğinde x = 9'un alanda mı yasak mı olduğu ayrılır. Gerçel ana değerli karekökler; tek bir kesir ve iki F, G örneği üzerinde çalışılmıştır, sayı doğruları ölçekli ama 0-11 aralığıyla sınırlıdır.

Gerçek kareköklü kesirde önce kök içlerinin negatif olmamasını ve asıl paydanın sıfır olmamasını denetle. Paydayı rasyonel yazmak değeri değiştirme zorunluluğu değildir; aynı sayının farklı bir temsilidir. Bir kesri c/c ile genişletmek yalnız c≠0 için değeri korur. Paydada kök görülmesi ifadenin yanlış veya tanımsız olduğu anlamına gelmez; tanımsızlığı kökün gerçek olmaması ya da paydanın sıfır olması belirler.

Tek köklü paydada b>0 için A/√b=A√b/b. Burada√b≠0 olduğu için çarpılan√b/√b gerçekten1dir. Payda katsayılıysa katsayı da korunur; yalnız paydayı√b ile çarpıp payı aynı bırakmak başka bir sayı verir. b=0 baştan yasaktır; yeni görünen b paydası önceki yasağı kaldırmaz. Çarpımın kökten çıkması ana karekökün karesinin b olmasıyla gerekçelendirilir; kökü toplamın içine dağıtma kuralı kullanılmaz.

İki terimde u+v ile u−v çarpımı u²−v²dir. Bu nedenle√a+√b için√a−√b bir eşlenik araçtır; uygun alanlarda payda a−b olur. a,b≥0 ve a≠b ise her iki çarpan da sıfır değildir; genişletme yapılabilir. Ama a=b>0 durumunda asıl toplam2√a sıfır değilken önerilen fark sıfırdır; onunla genişletme0/0üretir. Böyle özel durumda önce benzer terimleri birleştirip tek köklü paydayı düzenle. İki terimli her gerçek ifadeye koşulsuz aynı kesir şablonu uygulanmaz.

Değişken varsa işlemin getirdiği yeni yasağı asıl tanım alanıyla karşılaştır. Örneğin1/(√x+2),x≥0ın tümünde tanımlıdır. Eşlenik yoluyla(√x−2)/(x−4) yazımı yalnız x≠4 için geçerlidir; x=4te asıl değer1/4tür ve ayrı korunur. Buna karşılık başlangıç paydası√x−2 ise x=4 zaten yasaktır; sadeleştirme bu eski yasağı kaldırmaz. Aynı görünür payda sıfırı iki farklı kökte farklı anlama gelebilir; alan kaydı yalnız son satıra bakarak yapılmaz.

Son denetimde yeni ifadeyi asıl payda ile çarpıp başlangıç payını elde ettiğini genel cebirle göster; sonra varsa özel girdiyi asıldan hesapla. Birkaç yaklaşık sayının eşleşmesi bütün gerçek alan için ispat değildir. Eşlenikle düzenleme negatif payda veya negatif sonuç oluşturabilir; kesrin işareti ana kökün negatif olmamasıyla aynı şey değildir. Bu dar ders bütün yüksek dereceli kökleri,karmaşık eşleniği veya limit hesabını tamamlamaz.

KISACA

Kesri eşlenikle genişletmek sıfır olmayan çarpan ister. (u+v)(u−v)=u²−v². Yeni payda sıfırı asıl ifadenin yasağı olmayabilir; özel girdiyi asıldan ayrı koru.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

4/(√13+√5) sayısını paydasında kök bulunmadan iki yolla yazın. Bütün karekökler gerçek ana değer; iki terim de pozitif.

Fark eşleniğiyle genişletme

√13−√5≠0;pay ve paydayı bu farkla çarp.
Payda13−5=8,pay4(√13−√5).
Sonuç(√13−√5)/2;pozitif sayı olduğu asıl ifadeyle tutarlı.

Sınır: Farkın sıfır olmadığı13≠5ile kontrol edildi. Aynı kök içlerinde bu genişletme ayrı değerlendirilir.

Çarpımı4verecek katsayıları kurma

Sonucu c√13+d√5 biçiminde arayalım;asıl paydayla çarpım13c+5d+(c+d)√65olur.
√65irrasyonel olduğundan rasyonel c,d için c+d=0,13c+5d=4seçimi yeterlidir. Buradan c=1/2,d=−1/2.
Bulunan(√13−√5)/2ile asıl paydanın çarpımı(13−5)/2=4;payda sıfır olmadığından sonuç doğrudur.

Sınır: Bu bir yeterli katsayı kurma ve genel çarpım denetimidir;her köklü kesrin aynı iki terimli biçimde olduğu iddia edilmez.

İlk yol sıfır olmayan hangi ifadeyi1olarak kullandı? İkinci yolun son çarpım kontrolü neden yalnız yaklaşık sayı denemesinden güçlüdür?

HATA AVI

Hatayı bul

“1/(√7+√7)kesrini√7−√7ile genişlettim;payda0çıktı,başlangıç kesri tanımsızmış.” İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Sıfır olan eşlenik farkıyla kesri genişletmek;0/0,1değildir.

Başlangıç payda2√7sıfır değildir. Benzer kökleri birleştir:1/(2√7)=√7/14. Yöntemin seçilen çarpanının sıfır olması,asıl ifadenin tanımsızlığı değildir.

F(x)=1/(√x+3)yerine G(x)=1/(√x−3)alınırsa x=9un durumu ve düzenleme nasıl değişir?

Gnin asıl alanı x≥0,x≠9. Toplam eşleniği√x+3bu alanda sıfır değildir;G=(√x+3)/(x−9). Bu kez9asıl paydanın yasağıdır,ayrı bir değerle tamamlanmaz;Fde ise9tanımlıydı.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Paydanın eşleniği sıfırsa her zaman başlangıç kesri de tanımsız mı?

Hayır.√a+√aiçin a>0iken asıl payda2√a≠0ama fark eşleniği0dır. Bu genişletme yapılamaz;önce aynı kökler toplanır.

Düzenlenen paydada yeni bir sıfır görülürse ne kontrol edilir?

Asıl kök içleri ve asıl payda. Özel girdi başta tanımlıysa dönüşümün istisnasıdır,ayrı asıl değeri korunur;başta yasaksa sadeleştirmeyle geri eklenmez.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.