hepnotKarekök: ana değer, mutlak değer ve tanım koşulu
Konunun mantığı
Gerçek sayılarda√a, a≥0 için karesi a olan negatif olmayan sayıyı belirtir; buna ana karekök denir.√36=6 tek bir değerdir. Buna karşılık x²=36 denkleminin iki gerçek çözümü vardır:6 ve−6. Kök işareti ile denklemin çözüm kümesini aynı gösterim sanmak±işaretini yanlış yere taşır.
Bir gerçek a için a² negatif olamaz; ana karekökün kendisi de negatif olamayacağından√(a²)=|a| olur. a≥0 ise sonuç a, a<0 ise−a’dır. Örneğin a=−11 alındığında√121=11 elde edilir; kök ile kareyi silip−11 yazmak ana değer koşulunu bozar.
Gerçeklerde a≥0,b≥0 ise√(ab)=√a·√b kullanılır. Her iki tarafın karesi ab, kendileri negatif olmadığı için aynı ana değeri verirler. Yalnız ab≥0 demek ayrıştırma için yetmez: a=b=−1 alınırsa√(ab)=1 gerçektir ama√a ve√b gerçek sayı değildir. Bu derste karmaşık sayılara geçmiyoruz.
Bölümde a≥0,b>0 için√(a/b)=√a/√b olur. Paydanın kökü gerçek ve sıfırdan farklı olmalıdır; b=0 kabul edilemez. Toplam için benzer dağıtma kuralı yoktur:√(4+16)=√20 iken√4+√16=6. İki ifadeyi yalnız kök işaretini paylaştırarak eşitleyemezsin.
Tam kare çarpanı dışarı almak, köklü ifadeyi sadeleştirmeyi sağlar:√(25·7)=5√7. Toplama/çıkarmada aynı köklü çarpan ortaksa katsayılar birleştirilebilir; farklı kök içleri doğrudan toplanmaz. Geometrik uzunluk gibi bir sonuçta negatif olmama koşulu ayrıca görünürdür. Hesap yapmadan kök içini, işareti ve paydayı denetlemek işlem hatasını azaltır.
√a gerçek ve negatif olmayan ana değerdir; a≥0 gerekir.√(a²)=|a|. Çarpım kökü ayrıştırmak için a,b≥0; bölümde a≥0,b>0 gerekir. Toplam köke dağıtılamaz.√36=6 ile x²=36’nın±6 çözümlerini ayır.
Adım adım bir örnek
√108+√12 ifadesini sadeleştiriniz.
Tam kare çarpanları ayır
- √108=√(36×3)=6√3;√12=√(4×3)=2√3.
- Aynı köklü çarpanlar toplanır:6√3+2√3=8√3.
Sınır: Kök içindeki çarpanlar negatif değildir; toplamı√120 diye birleştirmek geçerli değildir.
Ortak köklü çarpan bul
- 108=9×12 olduğundan√108=3√12.
- 3√12+√12=4√12=4×2√3=8√3.
Sınır: Ortaklık sayısal çarpım ilişkisine dayanır; her iki farklı kökün aynı biçime dönüşeceği varsayılmaz.
İlk yol hangi küçük köklü çarpanı, ikinci yol hangi büyük köklü çarpanı ortak kullandı? Her iki yol neden toplamı tek kökün içine almadı?
Hatayı bul
Bir öğrenci a=−6için√(a²)=a=−6yazıyor. İlk yanlış adım nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Ana karekökün negatif olmadığını ve√(a²)=|a| koşulunu unutmak.
√((−6)²)=√36=6. Genel ifade|a|’dır; a<0 olduğunda−a alınır.
Kare plaka sorusunda t<5 yerine t>5 verilirse kenar ifadesi nasıl değişir?
t−5 pozitif olduğu için|t−5|=t−5 olur. Alan yine(t−5)²olsa da mutlak değeri açma koşulu değişir. t=5 ise alan 0 olur; pozitif kenarlı bir kare plaka modeli elde edilmez.
Dersin soruları
1√((−7)²)+√16 ifadesinin değeri kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2√72/√2 − √9 ifadesinin değeri kaçtır?
Bu soruda hata mı var?3Bir kare plakanın alanı (t−5)² cm² olarak veriliyor; t gerçek sayı ve t<5. Kenar uzunluğu santimetre cinsinden hangi ifadedir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Aşağıdaki denklemlerden hangisinin gerçel çözüm kümesi tam olarak bir elemanlıdır?
2x² = 50 denkleminin gerçel çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3Sayı doğrusunda A, B ve C noktalarının koordinatları sırasıyla a, −2 ve 3’tür ve a<−2’dir. √((a+2)²) + √((a−3)²) ifadesinin a türünden eşiti hangisidir?
4Aşağıdaki eşitliklerden hangisi gerçel sayılarda doğrudur?
5√((x−1)/(x−5)) = √(x−1)/√(x−5) eşitliğinin iki tarafı da gerçel sayı olarak tanımlı ve eşit olacaksa x hangi değerleri alabilir?
6Bir marangoz √98 cm uzunluğundaki bir çıtadan √32 cm uzunluğunda bir parça kesiyor. Kalan parçanın uzunluğu kaç cm’dir?
7Bir dikdörtgen levhanın kenar uzunlukları √288 cm ve √50 cm’dir. Levhanın çevresi kaç cm’dir?
8x gerçel sayıdır; √(x²)=9 ve x+2<0 olduğuna göre x kaçtır?
9Aşağıdaki toplamlardan hangisi tek bir a√b biçiminde köklü terime indirgenebilir?
10Aşağıdaki (a, b) sayı çiftlerinden hangisi için √(a/b) = √a/√b eşitliğinin iki tarafı da gerçel sayı olarak tanımlı ve eşittir?
Aklında kaldı mı?
√49 ile x²=49 denkleminin çözümü aynı tür çıktı mı verir?
Hayır.√49=7 tek ana değerdir; denklemin gerçek çözüm kümesi{−7,7}olur.
√(ab)=√a·√b kuralında yalnız ab≥0 olması yeterli mi?
Gerçek sayılarda ayrılmış iki kökün de tanımlı olması için a≥0 ve b≥0 gerekir. a=b=−1 çarpımı pozitif yapar ama ayrılmış kökler gerçek değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.