YKS · MATEMATİK

Kök–katsayı ilişkisi: simetrik ifadeler ve çokluk koşulu

Bu derste a(x−r)(x−s) açılımından r+s=−b/a ve rs=c/a ilişkilerini türetir. Kökleri tek tek hesaplamadan simetrik ifadeyi koşullarıyla bulur. Çakışık kökü çoklukla saymayı farklı kök sayısından,ters kökü sıfır kök koşulundan ayırır.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Katsayı köklerin izidir. a(x − r)(x − s) açılımından b ve c okları, 3x² − 12x + 5 = 0'da r² + s² = 38/3'ün iki yoldan bulunuşu ve çakışık kök ile rs ≠ 0 kapısı gösterilir. — **Katsayı köklerin izidir.** a(x − r)(x − s) açılımından b ve c okları, 3x² − 12x + 5 = 0'da r² + s² = 38/3'ün iki yoldan bulunuşu ve çakışık kök ile rs ≠ 0 kapısı gösterilir. a ≠ 0 ve gerçel kök (Δ ≥ 0) varsayımıyla; yalnız seçilmiş bir denklem üzerinde çalışılmıştır, şema ölçeksizdir.

a,b,c gerçek,a≠0 ve ax²+bx+c=0 olsun. Bu derste r,s gerçel köklerle çalışırken Δ=b²−4ac≥0 koşulunu ararız. Δ>0da iki farklı kök,Δ=0da aynı değerli iki kök kaydı vardır. İkinci durumda r=s yazımı çarpandaki çokluğu korur; çözüm kümesinin iki farklı eleman taşıdığı anlamına gelmez. Δ<0da bu dersin gerçel r,s varsayımını kurmayız; genel karmaşık kök kuramı ayrı kapsamdır.

Gerçel kökler çokluklarıyla r,s ise ax²+bx+c=a(x−r)(x−s) olur. Açılım ax²−a(r+s)x+arsdir. Aynı polinomun katsayılarını eşitleyince−a(r+s)=b ve ars=c; buradan r+s=−b/a,rs=c/a. Kök ile çarpandaki işaretin farklı olmasının nedeni x−r biçimidir. Bu gerekçe birkaç xte kontrol değil,bütün xler için çarpım açılımıdır; baş katsayıyı1 sanıp atlamayız.

S=r+s ve P=rs yazmak kökleri tek tek bulmadan simetrik ifadeyi düzenlemeyi sağlar. r²+s²=S²−2P,(r−s)²=S²−4P gibi eşitlikler dağıtma özelliğinden gelir. r ve snin yer değiştirmesi sonucu değiştirmediği için kök sırası aranmaz. Ancak r−s gibi işaretli fark,hangisine r denildiği belirtilmeden tek sayı olarak belirlenmeyebilir; karesini bulmak bu sıra bilgisini gerektirmez.

Ters köklerde r≠0 ve s≠0 şarttır; burada eşdeğer koşul P=c/a≠0dır. Bu koşul altında1/r+1/s=S/P ve(1/r)(1/s)=1/P. Kökleri bu tersler olan monik denklem y²−(S/P)y+1/P=0 yazılabilir. Sıfır kök varsa bölme geçersizdir; kökü sessizce silip iki ters köklü denklem kurulmuş sayılmaz. Katsayıları sıfır olmayan ortak sayı ile çarpmak kökleri değiştirmez ama monik katsayı oranlarını okurken ölçek korunur.

Çakışık r=s kökünde S=2r,P=r² kullanılır; tek farklı çözüm bulundu diye S=r veya P=0 yapılmaz. Parametre varsa önce a≠0,gerçel kök ve gereken sıfır olmayan kök koşulları denetlenir. Bulunan simetrik ifade bu koşullara bağlıdır. Önceki diskriminant/çarpanlara ayırma öğretimi yeni başlangıç sayılmıyor; yeni hedef katsayıdan çokluklu toplam–çarpım yoluyla çıkarımdır. Sonlu hesap tanıkları genel katsayı gerekçesinin veya insan editör onayının yerini tutmaz.

KISACA

a≠0 ve gerçel kök varsayımı içinΔ≥0. Çoklukla r+s=−b/a,rs=c/a. Simetrik ifadeyi S,P ile düzenle;ters kök için P≠0 gerekir. Çakışık kök toplam/çarpımda iki kez,çözüm kümesinde tek farklı değer olarak yer alır.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

3x²−12x+5=0 denkleminin gerçel kökleri r,s. Kökleri tek tek bulmadan r²+s²yi iki geçerli yolla hesaplayın. Katsayılar gerçek ve baş katsayı3≠0.

Toplam–çarpım ile simetrik özdeşlik

Δ=144−60=84>0;gerçel r,s varsayımı uygundur. S=4,P=5/3.
r²+s²=(r+s)²−2rs=16−10/3=38/3.
Köklerin sırası veya ayrı köklü ifadeleri gerekmez.

Sınır: r−s değil,r²+s² simetrik ifade soruluyor. Gerçellik katsayılardan ayrıca denetlendi.

Köklerin sağladığı eşitlikleri topla

3r²−12r+5=0 ve3s²−12s+5=0.
Topla:3(r²+s²)−12(r+s)+10=0. Katsayı ilişkisinden r+s=4.
3(r²+s²)=48−10=38;sonuç38/3.

Sınır: Bu yaklaşım da genel kök toplamını kullanır;her kökü ayrı hesaplamak veya sayısal yuvarlamak değildir.

İkinci yöntemde iki ayrı5 sabiti neden10 yapar? Çakışık kökte aynı kök iki kez yerine konsa çokluk kaydı neden yine korunur?

HATA AVI

Hatayı bul

“x²−5x=0 köklerinin toplamı5; o hâlde1/r+1/s=(r+s)/(rs) ile her durumda hesaplanır.” İlk eksik koşul nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Tersleri almadan r ve snin sıfırdan farklı olduğunu denetlememek.

Bu denklemde rs=0 ve bir kök0dır;1/0 tanımsız. S/P oranı burada kullanılamaz. Kök toplamının bulunması ters köklerin ikisinin de varlığını garanti etmez.

Çalışılmış3x²−12x+5 denkleminde r²+s² yerine(r−s)² istenirse kök sırasını bilmek gerekir mi;değer nedir?

Gerekmez;(r−s)²=S²−4P=16−20/3=28/3. İşaretli r−s sorulsaydı hangi kökün r olduğu belirtilmeden±√(28/3) ayrımı kalırdı. Kareli fark simetrik olduğu için bu sıra sorunu yoktur.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Kök–katsayı ilişkisi hangi açılımdan gelir;çakışık kök nasıl sayılır?

a(x−r)(x−s)=ax²−a(r+s)x+ars; a≠0 ile S=−b/a,P=c/a. Çakışık r=s iki çarpanda çoklukla sayılır;farklı çözüm kümesinde tek değer vardır. Gerçel kök modelindeΔ≥0 ayrıca gerekir.

Ters köklerden yeni denklem kurmadan hangi koşul ve oranlar gerekir?

rs=P≠0;bu derste gerçellik ve a≠0 da korunur. Ters toplam S/P,çarpım1/P; monik denklem y²−(S/P)y+1/P=0. Sıfır kök sessizce silinmez.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.