YKS · MATEMATİK

Kartezyen çarpım, alt bağıntı ve bütün çiftlerin denetimi

Bu derste Kartezyen çarpımın bütün sıralı ikililerini, boş çarpanı ve aynı çiftin tekilleştirilmesini üyelikle denetler. Tam çarpım ile onun alt kümesi olan bağıntıyı ayırır; fonksiyon koşulunu her girişte bütün çiftlerle kontrol eder.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Kartezyen çarpım: bütün çiftler ve alt bağıntı. Üç panel: (1) A={−1,2}, B={1,4} için 2×2 çift tablosu, x<y koşuluyla kalan üç hücre (R), elenen (2,1), satır başına çıktı sayıları (2 ve 1) ve |A×B|=4, |R|=3; (2) R={(a,1),(b,2)} için kenar değerleri tam olsa da (a,2) ve (b,1) hücrelerinin eksik olması; (3) A=∅ iken satırsız boş çarpım ile C={∅} iken tek elemanlı C×B={(∅,0)}. — **Kartezyen çarpım: bütün çiftler ve alt bağıntı.** Üç panel: (1) A={−1,2}, B={1,4} için 2×2 çift tablosu, x<y koşuluyla kalan üç hücre (R), elenen (2,1), satır başına çıktı sayıları (2 ve 1) ve |A×B|=4, |R|=3; (2) R={(a,1),(b,2)} için kenar değerleri tam olsa da (a,2) ve (b,1) hücrelerinin eksik olması; (3) A=∅ iken satırsız boş çarpım ile C={∅} iken tek elemanlı C×B={(∅,0)}. Yalnız dersteki küçük sonlu örnekleri gösterir; hücre ve çıktı sayıları genel bir ispat değil, o örneklere ait sayımlardır. Sonsuz kümeler, farklı R koşulları ve birebirlik/örtenlik bu görselin kapsamı dışındadır. Onay ve çarpı işaretleri yalnız R üyeliğini gösterir.

A×B={(a,b):a∈A ve b∈B} kümesidir. İlk bileşen Ada, ikinci bileşen Bde olmalıdır; iki liste arasından yalnız bazı uygun çiftleri seçmek henüz tam çarpımı vermez. Sıralı ikililerde (a,b)=(c,d) ancak a=c ve b=d olduğunda gerçekleşir. Bir koordinatı ötekinin yerine geçirmek genellikle başka eleman üretir; parantezli ikili, sırasız{a,b} kümesi değildir.

Küme yazımında aynı ikili yinelenirse yeni eleman oluşmaz. Örneğin bir kayıtta aynı çift iki kez yazılmış olabilir; çarpımın veya bağıntının eleman sayısı farklı çiftler üzerinden alınır. A×B ile B×A aynı sayıda sonlu elemana sahip olsa bile üyeleri genel olarak farklıdır. Bununla birlikte her farklı A,B için ürünler mutlaka farklıdır denmez: bir çarpan boşsa iki sıra da boş çarpım verir. A=B olduğunda da ürünler aynıdır.

Boş çarpanda hiç ikili kurulamamasının nedeni tanımdır: ilk veya ikinci bileşen için gerekli bir eleman yoktur. Bu yüzden ∅×B=A×∅=∅. Buna karşılık{∅} boş değildir; tek elemanı boş kümenin kendisidir, dolayısıyla{∅}×{0}={(∅,0)} tek elemanlıdır. Sonlu A,Bde her a için farklı |B| ikili vardır; farklı a satırlarının ilk bileşenleri farklı olduğundan örtüşmezler. Böylece |A×B|=|A|·|B|; bu gerekçe burada sonlu sayılar içindir.

Adan Bye bir bağıntı R, A×Bnin herhangi bir alt kümesidir. Örneğin x<y gibi bir koşul, bütün çiftler içinden bazılarını bırakabilir. İlişkinin birinci bileşenlerinde Anın, ikinci bileşenlerinde Bnin bütün elemanlarını görmek R=A×B sonucunu vermez: bazı çapraz çiftler hâlâ eksik olabilir. Tam çarpım iddiası için her a ve her b birleşiminin bulunması gerekir; yalnız iki kenar listesini denetlemek yetmez.

Fonksiyon, bağıntılardan her a∈A için tam bir çift (a,b) içeren özel olandır. Aynı b iki farklı girişe eşleşebilir; bu durum fonksiyonu bozmaz, yalnız birebirliği etkileyebilir. Tam çarpımda A boş değil ve Bnin en az iki elemanı varsa her girişin birden çok çıktısı olur, dolayısıyla tam çarpım fonksiyon değildir. B tek elemanlıysa tam çarpım her girişe tek çıktı verir. A boşken boş bağıntı her giriş koşulunu boş olarak sağlar; boş giriş istisnası, çıktısı eksik bir dolu girişle karıştırılmaz.

KISACA

(a,b)∈A×B ⇔ a∈A ve b∈B. Bütün kombinasyonlar gerekir; aynı çift yeniden sayılmaz. Boş çarpan ürünü boşaltır; {∅} boş küme değildir. R⊆A×B olabilir; fonksiyon olması ayrıca her girişe tam bir çıktı gerektirir.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

A={−1,2}, B={1,4}; R={(x,y)∈A×B:x<y}. Tam çarpımı ve Ryi bulun; R, Adan Bye fonksiyon mudur?

Tam çift listesini kurup koşulla süzme

A×B={(-1,1),(-1,4),(2,1),(2,4)}; dört farklı çift vardır.
x<y koşulunu sağlamayan(2,1) çıkar; R={(-1,1),(-1,4),(2,4)}.
−1 girdisi iki çıktı verdiğinden R fonksiyon değildir; Rnin tam çarpımdan küçük olması tek başına fonksiyon demek değildir.

Sınır: Çiftlerin ilk bileşeni A, ikinci bileşeni Bden seçilir; yalnız bu açık sonlu listeler denetlenmektedir.

Giriş başına uygun çıktı kümeleri

−1 için uygun çıktılar{1,4};2 için uygun çıktı{4}.
Satır sayıları2+1=3 olduğundan |R|=3; tam çarpım2·2=4tür.
İlk satırda iki çıktı bulunduğu için her girişe tek çıktı koşulu sağlanmaz.

Sınır: Bu sayımda satırlar ilk bileşenle ayrıldığı için çakışmaz; aynı4 çıktısının iki satırda bulunması çiftleri eşitlemez.

4 iki farklı girişin çıktısı olsa da neden iki farklı çift bulunur? Tam çarpımın hangi hücresi Rde yoktur?

HATA AVI

Hatayı bul

Bir öğrenci R={(a,1),(b,2)} için A={a,b}, B={1,2} diyerek “İki listede de bütün değerler var; R=A×B” diyor. İlk hatası nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Bileşen listelerinin tam olmasını bütün çapraz çiftlerin varlığıyla eşitlemek.

Tam üründe(a,2) ve(b,1) de bulunmalıdır. R iki elemanlı bir alt bağıntı ve Adan Bye fonksiyondur; A×B ise dört elemanlıdır ve bu dolu A/iki çıktılı Bde fonksiyon değildir.

Çalışılmış A={−1,2}, B={1,4} sabitken R koşulu x<y yerine x>y olsun. Yeni bağıntı ve fonksiyon koşulu nasıl değişir?

Yalnız(2,1) kalır; yeni bağıntı bir elemanlıdır. −1 girdisine hiçbir çıktı kalmadığından yine Adan Bye fonksiyon değildir; artık sorun çok çıktı değil eksik çıktıdır. Tam ürün hâlâ dört elemanlıdır.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

R⊆A×B ile R=A×B ve Rnin fonksiyon olması arasındaki fark nedir?

Alt kümede her seçilen çift uygun bileşenlidir. Eşitlik için bütün a,b birleşimleri gerekir. Fonksiyonda ise her a için tam bir çıktı gerekir; ne tam ürün sayısı ne yalnız bileşen listeleri bu koşulun yerine geçer.

∅×{0} ile{∅}×{0} neden aynı değildir?

İlkinde ilk bileşen seçilemez, ürün boştur. İkincide ilk bileşen∅ elemanı seçilir ve(∅,0) çifti oluşur; ürün tek elemanlıdır.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.