hepnotLineer bölenle kalan ve çarpan: doğru kök, genel özdeşlik
Konunun mantığı
Bir Ppolinomu x−aile bölünürse kalan sıfır veya0dereceli sabittir;ona rde. Bölüm özdeşliği P(x)=(x−a)Q(x)+rdir. Bu özdeşlikte x=ayazmak her zaman yapılabilir;çarpımın ilk çarpanı0olur ve P(a)=rkalır. Burada bir kesri x=ada hesaplamıyoruz;polinom özdeşliğini kullanıyoruz. Uzun bölme bütün Qyu verirken kalan için yalnız bu özel girdiyi kullanmak yeterlidir.
Genel lineer bölen ax−bolsun;a≠0gerekir. Böleni sıfırlayan sayı b/adır;P(x)=(ax−b)Q(x)+rözdeşliğinde x=b/ayazınca r=P(b/a)çıkar. a,rnin bir bölme katsayısı değildir;son kalan P(b/a)/adiye alınmaz. Bölen ax+bbiçimindeyse sıfır−b/adır;ezber işaret yerine ax±b=0denklemini çöz. a=0olursa bölen lineer değildir ve bu gerekçe aynı biçimde uygulanamaz.
x−a,Pnin bir çarpanıysa P=(x−a)Qolduğundan P(a)=0. Tersine P(a)=0ise bölümde kalan r=0olur,bu yüzden P=(x−a)Qyazılabilir. Böylece kalan0olması ile ilgili lineer çarpanın bulunması iki yönlü bağlıdır. Polinomun tek bir noktada0olması bütün katsayılarının0olduğu anlamına gelmez. Sıfır polinomu da her sıfır olmayan lineer polinoma0bölümüyle tam bölünür;onu dereceli kök sayımı örneği gibi kullanmayız.
Parametre içeren bir polinomda belirli lineer çarpan isteniyorsa önce doğru kökü bul,sonra P(kök)=0denklemini parametreye göre çöz. Bulunan parametreyle geriye dönüp yerine koyma veya açık çarpım özdeşliğiyle kontrol et. Kalan sorusunda ise P(kök)0olmak zorunda değildir;kalansız bölünme ayrıca istenmiş olmalıdır. Kökü unutup bölenin sabit terimini doğrudan girdiye yazmak farklı bir değer verebilir.
Bir polinomun içinde başka ifade varsa kalanını aradığımız bütün dış polinomu adlandır. H(x)=P(2x−1)+xörneğinde xyerine ckonunca H(c)=P(2c−1)+cdir;yalnız P(c)hesaplanmaz. Verilen birkaç değer bütün Pyi belirlemeyebilir ama istenen özel bileşik girdiye denk geliyorsa kalan belirlenebilir. Bu dar ders bütün yüksek dereceli bölenlerle kalan bulmayı veya bütün çarpanlara ayırma yöntemlerini bitirmez;genel özdeşlik gerekçesi sayısal tanıktan ayrı tutulur.
x−aiçin r=P(a);ax−biçin a≠0ve r=P(b/a). Böleni sıfırlayan girdiyi bul;son değeri ayla bölme. r=0ilgili lineer çarpan demektir,polinomun özdeş sıfır olması demek değildir.
Adım adım bir örnek
P(x)=8x³−6x²+3x+2polinomunun2x−1ile bölümünden kalanı iki yolla bulun. Kalanı bulmakla bütün polinomu sıfır sanmak arasındaki farkı belirtin.
Böleni sıfır yapan girdiyi özdeşlikte kullan
- 2x−1=0→x=1/2. P=(2x−1)Q+rözdeşliğinde r=P(1/2).
- 8·(1/8)−6·(1/4)+3·(1/2)+2=1−3/2+3/2+2=3.
- Kalan3;sıfır değil,bölen bu Pnin çarpanı değildir.3ü2ye bölmeyiz.
Sınır: Bölen lineer ve baş katsayısı2sıfır değil. Hesap ryi verir,Qyu bulmuş sayılmaz.
Aday çarpım artığını tüm katsayılarda denetle
- (2x−1)(4x²−x+1)=8x³−6x²+3x−1.
- Pbu çarpımdan3fazla;P=(2x−1)(4x²−x+1)+3.
- Artık sabit3ün derecesi lineer bölenden küçük;aynı kalan genel özdeşlikle doğrulanır.
Sınır: Aday Qnun doğruluğu açılımla tüm katsayılarda denetlendi. Tek özel girdinin eşitliği bütün Qözdeşliğinin kanıtı yapılmadı.
Bölen4x−2olsaydı kök ve kalan değişir miydi;aynı bölüm kuralı aynen kalır mıydı?
Hatayı bul
“Pnin2x−5ile bölümünden kalan P(5)tir;bulduktan sonra baş katsayı2ye bölerim.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Böleni sıfır yapan5/2yerine doğrudan sabit5sayısını girdi seçmek.
2x−5=0→x=5/2. P=(2x−5)Q+rözdeşliğinde r=P(5/2)olur. Son değeri2ye bölme;baş katsayı bölümün biçimini etkiler,kalanın bu değer özdeşliğini değiştirmez.
Çalışılmış Pnin böleni2x−1yerine4x−2olsa aynı kalan ve bölüm nasıl değişir?
İki bölen de1/2de0olur;kalan yineP(1/2)=3.4x−2=2(2x−1)olduğu için yeni bölüm eski bölümün yarısıdır:2x²−x/2+1/2. P=(4x−2)(2x²−x/2+1/2)+3genel özdeşliği korunur;kalana fazladan bölme uygulanmaz.
Dersin soruları
1P(x)=6x³−5x+2polinomunun3x+2ile bölümünden kalan kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2P(x)=x³+kx+6gerçek katsayılı polinomunda x+2bir çarpan olsun. Gerçek kkaçtır?
Bu soruda hata mı var?3Pbir gerçek katsayılı polinom;P(5)=7veP(3)=−2veriliyor. H(x)=P(2x−1)+xpolinomunun x−3ile bölümünden kalan kaçtır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir P polinomunun belirli bir lineer bölenle bölümünden kalan, her P için P(−1/2) değerine eşittir. Bu bölen hangisidir?
2P(x)=x³+2x²−5x+k polinomunun 2x−1 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre k kaçtır?
3P(x)=2x³+mx²+nx−6 polinomunun bir çarpanı 2x−3’tür ve P’nin x+1 ile bölümünden kalan −10’dur. (m; n) ikilisi hangisidir?
4P polinomu için P(1)=4 ve P(2)=−1 veriliyor. H(x)=(x+1)·P(2x−3)+5 polinomunun 2x−4 ile bölümünden kalan kaçtır?
5P gerçek katsayılı bir polinomdur ve P(3)=0 verilmiştir. Yalnız bu bilgiyle hangisi kesinlikle doğrudur?
6P gerçek katsayılı bir polinomdur ve P(4)=7 verilmiştir. Yalnız bu bilgiyle hangisi doğrudur?
7P(x)=(3x−2)·Q(x)+5 olacak biçimde bir Q polinomu vardır; Q bilinmemektedir. Hangi eşitlik kesinlikle doğrudur?
8Bir P polinomu için yalnız P(3)=4 biliniyor. H(x)=P(2x−1)+x² polinomunun aşağıdaki bölenlerden hangisiyle bölümünden kalan bu bilgiyle kesin hesaplanabilir?
9P(x)=x²+px+q polinomunun 2x−2 ile bölümünden kalan 3, x+2 ile bölümünden kalan −3’tür. (p; q) ikilisi hangisidir?
10P(x)=2x²−x−6 polinomunun bir çarpanı aşağıdakilerden hangisidir?
Aklında kaldı mı?
P(a)=0neden x−açarpanı için yeterlidir?
Lineer bölmede kalan sabitr=P(a)dır. Bu0ise P=(x−a)Qkalır. Ters yönde bu çarpım varsa x=adayazınca P(a)=0çıkar;özdeş sıfır olmak gerekmez.
ax−bveax+biçin,a≠0altında kalanın girdileri nelerdir?
Böleni0yap:ax−biçin b/a;ax+biçin−b/a. Kalan bu girdideki Pdeğeridir;baş katsayıya ayrıca bölünmez.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.