hepnotTemel istatistik: frekans, merkez ve uç değer
Konunun mantığı
Bu derste boş olmayan sonlu sayısal veri listeleri kullanılır; her gözlem bir değer üretir. Aynı değerin tekrar sayısına frekans denir. “2 değeri bir, 4 değeri üç kez” ifadesi iki gözlem değil dört gözlem anlatır. Frekanslar negatif olmayan tam sayıdır; toplam frekans gözlem sayısını verir. Bir frekans tablosunda listelenen farklı değer sayısı ile toplam veri sayısını karıştırma.
Aritmetik ortalama tüm gözlem değerlerinin toplamının gözlem sayısına bölümüdür. xᵢ değerinin frekansı fᵢ ise toplam ∑fᵢxᵢ, sayı ∑fᵢ olur; ortalama bunların oranıdır. Farklı frekanslara sahip değerleri yalnız birer kez toplayıp farklı değer sayısına bölmek doğru değildir. Ortalama verilerden biri olmak zorunda değildir; örneğin bir sayım verisinde kesirli ortalama çıkması gözlemlerin kesirli olduğu anlamına gelmez.
Ortanca için değerleri küçükten büyüğe, tekrarları koruyarak sırala. Veri sayısı tekse ortadaki tek gözlem, çiftse ortadaki iki gözlemin aritmetik ortalaması alınır. Çift sayıda gözlemde bu sonuç listede hiç bulunmayabilir. Ortanca listedeki ilk ve son sayının ortalaması değildir; onlar yalnız özel simetrik durumlarda aynı sonuç verebilir. Frekanslı veride orta konumu bulurken birikimli sayımı kullanabiliriz.
Tepe değer, en yüksek frekansa sahip değerdir; en büyük sayısal değer olmak zorunda değildir. Aynı en yüksek frekansta birden fazla değer bulunabilir; bu durumlarda birden fazla tepe değeri verilir. Hiç tekrar yoksa bu derste tepe değer yok kabul edilir. Bütün farklı değerlerin aynı frekansa sahip olduğu sınır durumda seçilen mod adlandırma geleneğini belirtmek gerekir; sorularımız böyle bir belirsizliğe dayanmıyor. Frekansın kendisini tepe değer diye yazma: üç kez görülen 8 için tepe değer 8dir, 3 değildir.
Ortalama bütün büyüklükleri topladığı için tek bir çok büyük veya küçük gözlemin değişiminden etkilenir. Ortanca sıralamadaki orta konuma bağlıdır; bazı uç değer değişimlerinde aynı kalabilir, ama her veri ekleme/çıkarma veya değiştirmede mutlaka korunur diyemeyiz. Mod da tekrar sayımları değişirse değişebilir. Uç görünen değeri gerekçe ve veri kaydı olmadan silmek yerine onunla ve onsuz sonuçları ayrı raporla; tek merkez ölçüsü dağılımın bütün özelliklerini açıklamaz.
Veri sayısı toplam frekanstır. Ortalama=değer×frekans toplamı/toplam frekans. Ortanca sıralı listenin ortası, çift sayıda iki ortanın ortalaması. Mod en sık değerdir. Tek uç değişiminde ortalama değişebilir; ortanca/mod etkisi somut listeye göre denetlenir.
Adım adım bir örnek
Bir veri grubunda 1 değeri iki kez, 4 değeri bir kez, 7 değeri üç kez gözlenmiş. Aritmetik ortalamayı iki temsille bulunuz.
Açık liste
- Liste 1,1,4,7,7,7; altı gözlem ve toplam 27.
- Ortalama 27/6=4,5.
Sınır: Tekrarlar atılmamalı; farklı üç değer var diye üçe bölünmez.
Frekans ağırlığı
- Toplam değer 2·1+1·4+3·7=27; toplam frekans 2+1+3=6.
- Ağırlıklı oran 27/6=4,5.
Sınır: Frekanslar aynı gözlem grubunun tekrar sayılarıdır. Bu, açık listedeki toplamın kısa temsilidir.
Üç farklı değeri birer kez ortalamak neden başka bir veri grubunu hesaplar? Ortalamanın 4,5 olması listedeki gözlemlerin birinin 4,5 olduğunu söyler mi?
Hatayı bul
“1,1,4,7,7,7 listesinin ortalaması, üç farklı değer olduğundan (1+4+7)/3=4tür.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Gözlem tekrarlarını silerek başka bir üç elemanlı veri grubunun ortalamasını hesaplamak.
Altı gözlemin toplamı 27, ortalaması 27/6=4,5. Farklı değer sayısı 3 değil toplam frekans 6 paydaya gelmelidir.
2,4,4,6,9 listesindeki 9u 29 yapmak yerine listeye yeni altıncı gözlem olarak 29 eklersek ortalama, ortanca ve tepe değer ne olur?
Yeni liste 2,4,4,6,9,29; toplam 54, sayı 6, ortalama 9. Ortanca (4+6)/2=5; tepe değer 4. Ortalama önceki değiştirme örneğiyle tesadüfen aynı 9 olsa da ortanca 4ten 5e çıkar; veri ekleme ile değiştirme farklı işlemdir.
Dersin soruları
1Bir veri grubunda 2 değeri bir kez, 4 değeri üç kez, 7 değeri iki kez görülüyor. Bu altı gözlemin aritmetik ortalaması kaçtır?
Bu soruda hata mı var?28,3,3,12,7,9 veri listesinin (ortanca, tepe değer) ikilisi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?32,4,4,6,9 veri listesinde yalnız 9 değeri 29 ile değiştiriliyor; gözlem sayısı aynı kalıyor. Değişim hakkında hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir kafede bir gün boyunca masaların sipariş ettiği çay sayısı kaydedildi: 1 çay isteyen 6 masa, 2 çay isteyen 9 masa, 3 çay isteyen 3 masa, 4 çay isteyen 2 masa vardı. Her masa tek sipariş vermiştir. Veride kaç gözlem (masa) bulunur ve toplam kaç çay sipariş edilmiştir? (gözlem sayısı; toplam çay)
2Bir veri grubunda 3 değeri iki kez, a değeri üç kez ve 9 değeri bir kez gözleniyor. Aritmetik ortalama 6 olduğuna göre a kaçtır?
39 müşterinin kasada bekleme süreleri (dakika), geliş sırasıyla şöyle kaydedildi: 7, 2, 0, 8, 5, 2, 3, 1, 2. Bekleme sürelerinin ortancası kaç dakikadır?
4Altı gözlemli 4, 9, x, 12, 6, 15 veri grubunun ortancası 10’dur (x bir gerçek sayı). x kaçtır?
5Bir ayakkabı mağazasında bir günde satılan çiftlerin numara dağılımı şöyledir: 37 numara 5 çift, 38 numara 8 çift, 39 numara 3 çift, 40 numara 8 çift, 42 numara 2 çift. Bu verinin tepe değeri ya da değerleri hangisidir?
63, 4, 5, 6, 7 listesinde yalnız 7 değeri bir y sayısıyla değiştiriliyor; gözlem sayısı aynı kalıyor ve aritmetik ortalama 3 artıyor. (y; yeni ortanca) ikilisi hangisidir?
7Bir sınavda 2 puan alan 3 öğrenci, 5 puan alan 4 öğrenci ve 9 puan alan 1 öğrenci vardır. Bu öğrencilerin puan ortalamasını veren işlem hangisidir?
816 öğrencinin okula yürüyerek geliş süresi (dakika) şöyle derlendi: 3 dk 4 öğrenci, 5 dk 4 öğrenci, 6 dk 3 öğrenci, 10 dk 5 öğrenci. Verinin (ortanca; aritmetik ortalama) ikilisi hangisidir?
9Bir listede yalnız en büyük gözlem daha büyük bir sayıyla değiştiriliyor; öteki gözlemler ve gözlem sayısı aynı kalıyor. Hangisi her durumda doğrudur?
10Bir kütüphanede 13 üyenin bir ayda ödünç aldığı kitap sayısı: 1 kitap alan 2 üye, 3 kitap alan 3 üye, 4 kitap alan 6 üye, 9 kitap alan 2 üye. Ödünç alınan kitap sayısının ortancası kaçtır?
Aklında kaldı mı?
Frekans tablosunda ortalama payı ve paydası nedir?
Pay değer×frekans çarpımlarının toplamı; payda toplam frekanstır. Farklı değer sayısı gözlem sayısı olmayabilir.
Bir büyük uç değer değişince ortanca her zaman aynı mı kalır?
Hayır. Etki sıralama ve gözlem sayısına bağlıdır. Orta konumları değiştirmeyen bazı uç değişimlerinde korunur; somut liste yeniden kontrol edilmelidir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.