hepnotÇarpım ve bölüm eşitsizliklerinde işaret tablosu
Konunun mantığı
![İşaret tablosunda kök türleri ve payda yasağı. f(x)=(x+1)(x−3)²/(x−2) için kritik noktalar −1, 2 ve 3’tür. Tek katlı kökte işaret değişir, çift katlı kökte değişmez ama değer 0’dır; payda kökü her zaman yasaktır. Tanık sayılar işaretleri doğrular. f ≥ 0 çözümü (−∞,−1] ∪ (2,∞). Ortak çarpan sadeleşse de asıl ifadenin x=2 deliği çözümde korunur.](/gorsel/matematik-isaret-tablosu.svg)
Bir çarpım veya bölümün pozitifliğini tek bir doğrusal eşitsizlik gibi çözmeden önce ifadenin tanım alanını yaz. Rasyonel ifadede paydanın her sıfırı yasaktır; paydaki aynı çarpanla sonradan sadeleşse bile asıl ifade o girdide tanımsız kalır. Eşitsizlikte ≥ veya ≤ bulunması yalnız tanımlı sıfırları kabul eder, payda sıfırını kabul ettirmez. Burada gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılmış polinomların çarpım ve bölümleri ele alınıyor; köklü veya logaritmalı ifadelerin ek alan koşulları ayrıca gerekir.
Pay ve paydadaki gerçek kökleri birleştirip küçükten büyüğe sırala. Bu kritik noktaların ayırdığı açık aralıklarda her doğrusal çarpanın işareti sabittir. Her satırda çarpanın işaretini yazıp çarpım/bölüm kuralıyla toplam işareti bulabilirsin. Bir aralıktan seçilen tanık sayı işaret hesabını kolaylaştırır; tüm aralık için geçerliliğin gerekçesi çarpanların orada sıfırdan geçmemesidir. Örneğin payda negatif bir aralıkta onunla çarpmak eşitsizlik yönünü ters çevirir; bu yüzden değişken paydayı bütün gerçeklerde aynı işaretli sayma.
(x−a) çarpanı a üzerinden geçerken işaret değiştirir; (x−a)² ise a dışında pozitiftir ve iki tarafta işareti aynıdır. Daha genel olarak tek kuvvetli çarpan işaret değiştirir, çift kuvvetli çarpan değiştirmez. Aynı kritik noktada birden çok çarpan varsa hepsi birlikte değerlendirilir. Bir tek katlı pay ve tek katlı payda ortak sıfırı sadeleşince işaret atlaması kalmayabilir, fakat asıl alanın deliği yine kalır. Kök işareti değişmedi diye kökün çözümden çıkarılması veya otomatik eklenmesi doğru değildir; değer/tanımlılık ve eşitsizlik sembolü ayrıca belirler.
Sıfırdan büyük isteniyorsa pozitif açık aralıkları al; sıfıra eşitliğe izin varsa tanımlı pay köklerini de denetle. Bir çift katlı pay kökü iki yanındaki aralıklar negatif olsa bile ≤0 koşulunu sağlayabilir; tersine >0 koşulu o noktayı almaz. Sonsuzluk bir gerçek sayı olmadığı için sonsuz uçlar daima açık yazılır. Sadeleştirilmiş ifadeyle çözmek geçerli bir ikinci yoldur, ancak en başta dışlanan girdiler son çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Sadeleştirme ifadenin değerlerini ortak alanda korur, bütün tanım alanlarını kendiliğinden eşitlemez.
Tabloyu kurduktan sonra her kritik noktayı asıl ifadede ayrı kontrol et; payda yasağı olup olmadığını görünür tut. Alternatif olarak payda D(x)≠0 alanında D(x)² pozitif olduğundan eşitsizliği onunla çarpabilirsin: yön değişmez; fakat başlangıç yasağı yine korunur. Bu yöntem dereceyi büyütebilir, her soruda daha kısa değildir. İşaret kuralının genel gerekçesi çarpan işaretleridir; sonlu sayı denemeleri bütün gerçekler için ispat sayılmaz. Bu ders bütün rasyonel fonksiyon grafikleri veya bütün yüksek dereceli eşitsizlikleri tamamlamaz.
Önce asıl payda yasakları, sonra sıralı kritik noktalar. Tek kuvvette işaret değişir, çift kuvvette değişmez. ≥/≤ payda sıfırını eklemez; sadeleştirmede asıl alanın deliği korunur.
Adım adım bir örnek
Gerçek sayılarda (x+4)(x−2)²/(x−5)≥0 eşitsizliğini çözün. Payda x−5 olduğundan x=5 baştan yasaktır.
Çarpan satırlarıyla işaret tablosu
- Kritik noktalar −4,2,5. x−2 karesi 2 dışında pozitif; işareti (x+4)/(x−5) belirler.
- Aralıklar: x<−4 için iki doğrusal çarpan negatif, sonuç pozitif; −4<x<2 ve 2<x<5 için sonuç negatif; x>5 için pozitif.
- −4 ve 2 pay sıfırlarıdır, payda sıfır değil; ikisi de ≥ nedeniyle dahil. 5 yasak. Çözüm (−∞,−4]∪{2}∪(5,∞).
Sınır: Çift kök 2 civarında işaret değişmez, fakat 2de değer sıfır olduğu için tek başına çözüm noktasıdır. Payda yasağı unutulamaz.
Pozitif payda karesiyle çarpma
- x≠5 alanında (x−5)²>0 ile çarpınca (x+4)(x−2)²(x−5)≥0 elde edilir; yön korunur.
- x≠2 iken kare pozitif olduğu için (x+4)(x−5)≥0 gerekir: x≤−4 veya x≥5. Başlangıç yasağı 5i çıkarır.
- Kareyi bölerken ayrı tuttuğumuz x=2 asıl ifadede 0dır ve dahil edilir; aynı çözüm çıkar.
Sınır: Kareyi sıfır olabileceği 2de bölmeme ve 5i sonradan geri eklememe koşulları yöntemin parçasıdır.
İkinci yöntemde 2yi baştan ayırmazsan hangi geçerli çözüm kaybolur? Pozitif kareyle çarpmak 5te neden yeni bir çözüm yaratmaz?
Hatayı bul
“(x−6)²/(x−6)≥0 ifadesini x−6≥0 diye sadeleştirdim;çözüm [6,∞).” İlk eksik işlem nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Asıl paydanın x≠6 koşulunu yazmadan sadeleştirilmiş ifadeye yeni girdi eklemek.
Asıl alan x≠6dır. Bu alanda ifade x−6ya eşit; ≥0 çözümüyle kesiştirince (6,∞) kalır. 6da payın da0 olması0/0ı tanımlı yapmaz.
H(x)=(x−3)(x+1)/[(x−3)(x−2)] için >0 yerine ≥0 istenirse hangi sınır değişir? x=3 geri gelir mi?
Tanımlı pay sıfırı−1 eklenir: (−∞,−1]∪(2,3)∪(3,∞). 2 ve3 asıl payda sıfırları olduğundan ikisi de dışarıda kalır. ≥0, sadeleştirmenin alandaki deliğini doldurmaz.
Dersin soruları
1Gerçek sayılarda (x−1)²(x+2)/(x−4)≤0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2H(x)=(x−3)(x+1)/[(x−3)(x−2)] asıl kesri için H(x)>0 koşulunu sağlayan gerçek xler hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Gerçek sayılarda (x+3)/(x−2)≥2 eşitsizliğinin çözümü hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Gerçek sayılarda (x+2)(x−1)(x−4) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
2g(x)=(x²−9)/(x²−x−6) ifadesi veriliyor. g(x)’in tanımlı olup değeri 0 olan gerçek x değerlerinin kümesi hangisidir?
3Gerçek sayılarda (x+4)(x−6)(x−8)² ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
4Gerçek sayılarda (x−5)/[(x+2)(x−3)²] < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
5Gerçek sayılarda 3/(x−1) ≥ 2/(x+2) eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
6Bir öğrenci (x+3)(x−2)/(x−2)² ≥ 0 eşitsizliğinin iki yanını (x−2)² ile çarparak (x+3)(x−2) ≥ 0 elde ediyor. Asıl eşitsizliğin gerçek sayılardaki çözüm kümesi hangisidir?
7x tam sayı ve −3 ≤ x ≤ 8 olmak üzere (x−1)²(x−2)(x−6) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç x değeri vardır?
8f(x)=(x+3)(x−2)/[(x−2)(x+1)(x−4)] ifadesi hangi gerçek sayılar için tanımsızdır?
9Gerçek sayılarda (x+4)(2x−6)/(x−1) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
10Aşağıdaki gerçek sayı eşitsizliklerinden hangisinin çözüm kümesi, x+1 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [−1,∞) ile aynıdır?
Aklında kaldı mı?
Çift katlı pay kökünde işaret değişmiyorsa o nokta çözüm olabilir mi?
Olabilir. Asıl payda sıfır değilse değer0dır;≤ veya ≥ kabul eder, < veya > kabul etmez. İki yanın işaretiyle noktadaki değer ayrı kontrol edilir.
Değişken paydayla eşitsizliği çarpmak için ne bilmek gerekir?
Paydanın sıfır olmadığı ve o bölgede pozitif mi negatif mi olduğu. Alternatifte D≠0 alanında D²>0 ile çarpılabilir; asıl yasaklar yine korunur.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.