hepnotİş problemleri: süreleri değil hızları birleştir
Konunun mantığı
Önce “bir iş”in ne olduğunu sabitle: aynı büyüklük ve nitelikteki tamamlanacak işin toplamını 1 alabiliriz. Bir kişi bu işi A>0 saat boyunca sabit hızla bitiriyorsa hızı 1/A iş/saat olur. t saatlik katkısı t/A iştir. Süre ve hız birbirinin tersi türden niceliklerdir; iki süreyi toplayıp ortak hız elde edemeyiz. İşin toplamını başka bir birimle seçmek de mümkündür, yeter ki bütün hesap boyunca aynı iş ölçülsün.
Birlikte çalışma modelinde iş bölünebilir, çalışanların katkıları aynı toplam işin farklı kısımlarına aittir ve birbirlerinin hızını değiştirmez. Dinlenme, bekleme, ortak alet darboğazı, hazırlık süresi ve tekrar yapılan aynı iş yok kabul edilir. Bu varsayımlarla iki hız 1/A+1/B olarak toplanır. Gerçek hayatta aynı dar alana daha fazla kişi koymak bu koşulları sağlamayabilir; formül koşulsuz bir verim yasası değildir.
İki kişi baştan sona birlikte ve kesintisiz çalışırsa t(1/A+1/B)=1, yani t=AB/(A+B) olur. A ve B aynı zaman biriminde olmalıdır. Pozitif hızlar toplanınca bulunan ortak süre, her kişinin tek başına süresinden küçüktür; aritmetik ortalama veya A+B çıkması model denetiminde uyarıdır. “Hızları eşit” denmedikçe her kişinin yarım iş yaptığını da varsayamayız.
Aşamalı çalışmada her aralığın katkısını ayrı hesapla. Birinci kişi önce s saat yalnız çalışırsa s/A iş bitirir; kalan 1−s/A olur. Sonra iki kişi birlikteyse bu kalan miktar ortak hıza bölünür. İş bitmeden önceki aralıklarda toplam katkı 1i geçmemeli; aksi hâlde tamamlanma daha erken gerçekleşmiş demektir. Bir kişi ayrılırsa yalnız kalan kişinin hızı sürer; bitmiş işi yeniden başlatma.
Kesirli süre bu modelde geçerlidir: çalışma ve iş akışı sürekli kabul edilir. Ancak yalnız bütün nesnelerin sayıldığı ve yarım ürünün aktarılamadığı başka bir modelde ek koşul gerekir. Sonucu saat/dakika birimiyle ve “başlangıçtan toplam süre” mi “ikinci aşamanın süresi” mi olduğunu belirterek yaz. Bir aday hesabı, her kişinin katkısını süre×hız yapıp toplayarak denetle; bütün iş tamamlandıysa toplam 1 olmalıdır.
Sabit hızda A saatte 1 iş → hız 1/A iş/saat. Bağımsız, bölünebilir aynı işte birlikte hızlar toplanır: t=1/(1/A+1/B). Aşamalarda katkıları ayrı hesapla; kalan işi geçerli hıza böl. Kesirli süre ve birim koşullarını, toplam/ek süre ayrımını denetle.
Adım adım bir örnek
Aynı bölünebilir işi A tek başına 9 saatte, B tek başına 18 saatte bitiriyor. Hızlar sabit, bağımsız; birlikte çalışma hızlarını değiştirmiyor. İkisi baştan birlikte çalışırsa süreyi iki temsille bulunuz.
Bir bütün üzerinden hız
- A hızı 1/9, B hızı 1/18 iş/saat; ortak hız 3/18=1/6.
- 1 iş, 1/6 iş/saat hızla 6 saatte biter.
Sınır: Aynı iş ölçüsü ve aynı zaman birimi kullanılır; süreler 9+18 diye toplanmaz.
İşi 18 eş birim seç
- Toplam işi 18 eş birim kabul et. A saatte 2, B saatte 1 birim tamamlar.
- Ortak hız 3 birim/saat; süre 18/3=6 saat. Katkılar 12 ve 6 birimdir.
Sınır: 18 seçimi yalnız hesap birimini değiştirir; işin bölünebilirliği ve sabit bağımsız hız modeli aynıdır.
İş birimini 1den 18e değiştirmek süreyi neden değiştirmedi? İki kişinin bitirdikleri miktarlar neden eşit olmak zorunda değil?
Hatayı bul
“A ve B tek başlarına aynı işi 10 ve 15 saatte bitirdiğine göre birlikte süre (10+15)/2=12,5 saattir.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Birlikte çalışma için toplanması gereken iş hızları yerine bitirme sürelerinin ortalamasını almak.
Hızlar 1/10 ve 1/15 iş/saat; toplam 1/6 olduğundan süre 6 saattir. Bağımsız pozitif katkı modelinde birlikte süre 10dan da kısa olmalı; 12,5 bu denetimi geçmez.
A12, B24 saatte bitiriyor. A ilk 3 saat yalnız çalıştıktan sonra B katılmak yerine A ayrılıp yalnız B kalan işi yaparsa başlangıçtan toplam süre ne olur?
İlk 3 saatte 1/4 tamamlanır, kalan 3/4. Yalnız B hızı 1/24 olduğundan kalan 18 saat; toplam 21 saat. Önceki birlikte çalışma durumundaki 9 saat kullanılamaz.
Dersin soruları
1Aynı bölünebilir işi A tek başına 10 saatte, B tek başına 15 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız; birlikte çalışınca değişmiyor. Başlangıçtan birlikte kesintisiz çalışırlarsa iş kaç saatte biter?
Bu soruda hata mı var?2A aynı işi tek başına 12 saatte, B 24 saatte bitiriyor. İş bölünebilir, hızlar sabit ve bağımsız. A başlangıçta 3 saat yalnız çalışıyor; sonra B katılıyor ve ikisi kalan işi kesintisiz bitiriyor. Başlangıçtan bitişe toplam kaç saat geçer?
Bu soruda hata mı var?3Aynı bölünebilir işi A tek başına 16 saatte, A ve B birlikte 10 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız; Bnin katkısı pozitiftir ve birlikteyken değişmez. B tek başına işi kaç saatte bitirir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1A bir işi tek başına 12 saatte bitiriyor. B, A’nın hızının 3 katı hızla (sabit hızla) çalışıyor. B aynı işi tek başına kaç saatte bitirir?
2A bir işi tek başına 8 saatte, B tek başına 12 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız; birlikte çalışmaları hızlarını değiştirmiyor. Birlikte kesintisiz çalışarak işi t saatte bitirdiklerine göre t’yi veren denklem hangisidir?
3A bir işi tek başına 20 saatte, B tek başına 30 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız. İşe A tek başına başlıyor; s saat sonra B de katılıyor ve ikisi kalan işi kesintisiz bitiriyor. İş başlangıçtan toplam 16 saatte tamamlandığına göre s kaç saattir?
4B, A’dan iki kat hızlı çalışıyor (B’nin hızı A’nın hızının 2 katıdır); hızlar sabit ve bağımsız, birlikte çalışmak hızları değiştirmiyor. Aynı bölünebilir işi birlikte kesintisiz çalışarak 6 saatte bitiriyorlar. A bu işi tek başına kaç saatte bitirir?
5A bir işi tek başına 90 dakikada, B tek başına 3 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız; birlikte çalışmaları hızlarını değiştirmiyor. İkisi baştan birlikte kesintisiz çalışırsa iş kaç dakikada biter?
6A bir işi tek başına 15 saatte bitiriyor. B’nin tek başına süresi bilinmiyor. Hızlar sabit ve bağımsız. A işe tek başına başlayıp 5 saat çalıştıktan sonra B katılıyor; ikisi birlikte 4 saat daha kesintisiz çalışınca iş tamamlanıyor. B bu işi tek başına kaç saatte bitirir?
7A bir işi tek başına 10 saatte, B tek başına 15 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız. İkisi birlikte 3 saat çalışıyor; sonra A ayrılıyor ve B kalan işi tek başına bitiriyor. A ayrıldıktan sonra B kaç saat daha çalışır?
8A bir işi tek başına 3 saatte, B tek başına 6 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız; birlikte çalışmaları hızlarını değiştirmiyor. İkisi birlikte yalnız 40 dakika çalışırsa işin ne kadarı biter?
9A bir işi tek başına 8 saatte, B tek başına 20 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız. Bir öğrenci birlikte çalışılırsa işin 6 saatte biteceğini bulup sonucu her kişinin katkısını (süre×hız) toplayarak denetliyor. Denetimden çıkan doğru yorum hangisidir?
10A bir işi tek başına 15 saatte, B tek başına 30 saatte bitiriyor. Hızlar sabit ve bağımsız. A işe tek başına başlıyor; 3 saat sonra B de katılıyor ve ikisi 7 saat birlikte çalışıyor. Bu 7 saatin sonunda A işi bırakıyor ve iş bitene kadar B tek başına çalışıyor. B, A ayrıldıktan sonra kaç saat daha çalışmalıdır?
Aklında kaldı mı?
A saatte 1 iş bitiren sabit hızın birimi ve değeri nedir?
1/A iş/saat. t saatlik katkı t/A iş olur; hızın sayısal değerini saat diye yazma.
Birlikte hızları toplamak için hangi model koşulları gerekir?
Aynı bölünebilir iş, sabit bağımsız katkılar ve birlikteyken değişmeyen hızlar gerekir; aynı işin tekrar sayılması, bekleme veya ortak darboğaz modele dahil değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.