YKS · MATEMATİK

İkinci derece denklemler: önce derece, sonra kök

Q: a=0 iken ikinci derece kök formülüne ne olur?

Payda 2a sıfır olur ve denklem ikinci dereceden değildir. Önce sadeleştir; kalan doğrusal veya sabit eşitliği ayrı çöz.

Q: Δ=0 olduğunda çözüm kümesinde kaç farklı gerçel sayı bulunur?

Bir sayı: −b/(2a). İki kökün çakışması kümede aynı sayının iki ayrı eleman olması demek değildir.

Bu derste ax²+bx+c=0 biçiminde a≠0 koşulunu kontrol eder ve gerçel çözüm kümesini belirler. Çarpanlara ayırma ve diskriminant yöntemlerini koşullarıyla karşılaştırır; çakışık kökü tek elemanlı çözüm kümesiyle gösterir.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Önce derece, sonra kök. a ≠ 0 denetimi, Δ'nın üç kolu (x² + 6x + k = 0 ailesiyle), 2x² − 7x + 3 = 0'ın iki çözüm yolu ve x² − 7x = 0'da x'e bölünce kaybolan 0 kökü gösterilir. — **Önce derece, sonra kök.** a ≠ 0 denetimi, Δ'nın üç kolu (x² + 6x + k = 0 ailesiyle), 2x² − 7x + 3 = 0'ın iki çözüm yolu ve x² − 7x = 0'da x'e bölünce kaybolan 0 kökü gösterilir. Gerçel sayılarda çözüm kümesi; karmaşık kökler dışarıda, örnekler seçilmiştir.

Bu derste çözüm kümesi gerçel sayılarda aranır. Bütün terimleri aynı tarafa getirip benzer terimleri topladıktan sonra ax²+bx+c=0 biçimi elde edilmeli; a, b, c gerçek ve a≠0 olmalıdır. Başlangıçta bir x² görmek yeterli değildir: iki taraftaki x² terimleri birbirini götürebilir. a=0 olursa ikinci derece kök formülünü uygulamadan kalan doğrusal ya da sabit eşitliği ayrıca incele.

Bir kök, x yerine konulduğunda eşitliği sağlayan sayıdır. Denklemin çözüm kümesi bu değerleri toplar; aynı değer iki kez yazılarak iki eleman oluşmaz. Bir ifadenin çarpanlarına ayrılmış olmasıyla o çarpımın sıfıra eşitlenmiş olması farklı işlerdir. Sıfır çarpım ilkesi yalnız çarpım 0 iken “en az bir çarpan 0” sonucunu verir; toplamın sıfır olmasından her terimin sıfır olduğu çıkmaz.

Sol tarafı iki doğrusal çarpana ayırabiliyorsak her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyebiliriz. Bu yöntem uygun katsayılarda hızlıdır, ancak her ikinci derece polinom tam sayı katsayılı çarpanlara kolayca ayrılmaz. Örneğin x(x−k)=0 denkleminde x ile bölmek x=0 olasılığını silebilir. Çarpanı yok etmek yerine hangi çarpanın sıfır olabileceğini ayrı durumlar olarak tut.

Genel yöntem için Δ=b²−4ac hesaplanır. Δ>0 ise iki farklı gerçel kök, Δ=0 ise çakışık kök ve tek elemanlı gerçel çözüm kümesi, Δ<0 ise boş gerçel çözüm kümesi vardır. Son durum “hiçbir sayı sisteminde kökü yok” demek değildir; karmaşık sayılar bu dersin dışında tutuluyor. İşaretli b ve c değerlerini parantezle yazmak Δ hesabındaki hatayı azaltır.

Δ≥0 olduğunda kökler x=(−b±√Δ)/(2a) ile bulunur; paydanın tamamı 2a, payın tamamı −b±√Δ olur. ± iki olasılığı ifade eder; Δ=0 iken bu iki yazım aynı değeri verir. Formül tam kareye tamamlamadan türetilebilir; çarpan yöntemiyle bulunduğunda da özgün denklemde yerine koyarak kökler denetlenir. Bir kökün kontrol edilmesi öteki kökün unutulmadığını tek başına göstermez; çözüm adımlarının eşdeğerliğini de izle.

KISACA

Önce sadeleştir ve a≠0 kontrol et. Çarpım 0 ise çarpanları ayrı ayrı 0 yap; sıfır olabilen çarpanla bölme. Δ=b²−4ac: pozitifse iki farklı, sıfırsa tek farklı gerçel kök, negatifse gerçel kök yok. Formül (−b±√Δ)/(2a).

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

2x²−7x+3=0 denklemini gerçel sayılarda iki yöntemle çözünüz.

Çarpanlara ayır

2x²−7x+3=(2x−1)(x−3). Açılımda −6x−x=−7x olur.
2x−1=0 veya x−3=0; çözüm kümesi {1/2, 3}.

Sınır: Çarpım sıfıra eşit olduğu için sıfır çarpım ilkesi uygulanır. Tam sayı katsayılı uygun çarpanlar her soruda kolay bulunmayabilir.

Diskriminant ve kök formülü

a=2, b=−7, c=3; Δ=(−7)²−4·2·3=25.
x=(7±5)/4; kökler 3 ve 1/2.

Sınır: a≠0 ve gerçel kök için Δ≥0 koşulları burada sağlanır. Payda 4, yalnız köklü terimin değil bütün payın altındadır.

Çarpanların baş katsayıları köklerde neden 1/2 oluşturuyor? Formülde b=−7 yerine b=7 alınsa hangi iki kökün işaretleri yanlış olurdu?

HATA AVI

Hatayı bul

“x²−4x+7=0 için Δ=16−28=−12. O hâlde denklemin hiçbir sayı kümesinde çözümü yoktur.” İlk yanlış sonuç nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Gerçel kökün yokluğunu bütün sayı kümeleri için kök yokluğu olarak genişletmek.

Δ hesabı doğrudur; bu derste gerçel çözüm kümesi ∅ yazılır. Karmaşık sayılar kümesinde kökler vardır; bu ders onları hesaplamıyor.

x²+6x+k=0 ailesinde k=9 yerine k=10 veya k=8 olursa gerçel kök sayısı nasıl değişir?

k=9 için Δ=0 ve tek farklı kök vardır. k=10 için Δ=−4, gerçel kök yoktur. k=8 için Δ=4, iki farklı gerçel kök vardır.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

a=0 iken ikinci derece kök formülüne ne olur?

Payda 2a sıfır olur ve denklem ikinci dereceden değildir. Önce sadeleştir; kalan doğrusal veya sabit eşitliği ayrı çöz.

Δ=0 olduğunda çözüm kümesinde kaç farklı gerçel sayı bulunur?

Bir sayı: −b/(2a). İki kökün çakışması kümede aynı sayının iki ayrı eleman olması demek değildir.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.