hepnotHareket problemleri: yol, zaman ve yönü aynı modelde tut
Konunun mantığı
Bu derste her hareket parçasında sürat sabit ve negatif olmayan bir büyüklüktür; yol=sürat×süre, v>0 için süre=yol/v. Yön gerektiğinde konum denklemine ayrıca işaret verilir. Aynı doğrultuda 20 km/sa süratle doğuya veya batıya hareket etmek aynı sürat, farklı yönlü hız demektir. Sayısal sorularda hareket boyunca durma, hızlanma ve bekleme yoksa bunu model koşulu olarak açıkça belirtiriz.
Zamanın hangi anda sıfır seçildiği önemlidir. İki hareketli aynı anda başlayınca geçen süre t her ikisinde de aynıdır; farklı saatlerde başlarlarsa her birinin hareket süresini kendi başlangıcına göre yazmak gerekir. Hız km/sa ise t saat, yol km olmalıdır. Örneğin 30 dakika 0,5 saattir; 30 sayısını saat gibi kullanmak sonucu 60 kat değiştirir. İstenen karşılaşma süresi ile birinin o sürede aldığı yol ayrı büyüklüklerdir.
Doğrusal yolda aralarında D>0 mesafe olan iki hareketli aynı anda birbirine doğru v₁ ve v₂ süratleriyle gelirse aralık her birim zamanda v₁+v₂ kadar kapanır. İlk karşılaşma süresi D/(v₁+v₂) olur. Aynı yönde, arkadaki daha hızlıysa kapanma sürati v_arka−v_ön olur ve yetişme süresi D/(v_arka−v_ön)dür. Arkadaki sürat daha büyük değilse bu başlangıç ve sabit yön modelinde gelecekte yetişme gerçekleşmez; paydası sıfır veya negatif sonucu pozitif süre diye sunma.
Ortalama sürat alınan toplam yolun, o yolculuk için sayılan toplam süreye bölümüdür. Bu derste kaynakların kimi yerde “ortalama hız” dediği bu skaler büyüklüğü ortalama sürat olarak adlandırıyoruz; yer değiştirme/toplam süre olan yönlü ortalama hızla ayırıyoruz. Gidip başlangıca dönünce yer değiştirme 0 olabilir ama alınan yol pozitif olduğu için ortalama sürat 0 olmak zorunda değildir. Duraklama verilirse toplam yolculuk süresine dahil olup olmadığı sorunun tanımından okunmalıdır.
İki hızla eşit süre hareket edilmişse ortalama sürat (v₁+v₂)/2 olur. Eşit yol gidilmişse süreler D/v₁ ve D/v₂ olduğundan ortalama 2v₁v₂/(v₁+v₂)dir; v₁,v₂ pozitif olmalıdır. Gidiş ve dönüşte aynı yol izlenip bekleme yoksa eşit yol koşulu sağlanır. Süratler farklıyken bu iki ortalamayı birbirinin yerine koyma; yavaş bölümde daha çok zaman geçmesi ortalama sürati aşağı çeker.
Sabit süratte yol=vt; birimleri ve başlangıç saatini eşleştir. Karşılaşmada kapanma v₁+v₂, aynı yönde yetişmede daha hızlı arka için v_arka−v_ön. Ortalama sürat toplam yol/toplam süre; eşit zamanda aritmetik, eşit yolda harmonik biçim kullanılır.
Adım adım bir örnek
Bir hareketli aynı 54 km yolu gidişte 36 km/sa, dönüşte 54 km/sa sabit süratle alıyor; bekleme yok. Yolculuğun ortalama süratini iki yolla bulunuz.
Süreleri ayrı hesapla
- Gidiş 54/36=1,5 saat, dönüş 54/54=1 saat; toplam süre 2,5 saat.
- Toplam yol 108 km; ortalama sürat 108/2,5=43,2 km/sa.
Sınır: Burada yer değiştirme 0 olsa da toplam yol 108 kmdir. Sürat ortalaması hesaplanıyor.
Eşit yol bağıntısı
- İki yol eşit ve iki sürat pozitif; v_ort=2·36·54/(36+54).
- 3888/90=43,2 km/sa.
Sınır: Bu aynı toplam yol/süre hesabının kısaltmasıdır. Yol parçaları eşit olmasa bu özel bağıntı doğrudan kullanılamaz.
(36+54)/2=45 neden bu yolculuk için doğru değil? Her süratle birer saat gidilse hangi koşul değişirdi?
Hatayı bul
“Araç 54 km gidip aynı yoldan dönmüş; yer değiştirmesi 0 olduğundan ortalama sürati de 0dır.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Toplam alınan yol ile yönlü yer değiştirmeyi aynı nicelik saymak.
Ortalama sürat toplam yol/toplam süredir; alınan yol 108 km. Yönlü ortalama hız yer değiştirmeye dayandığı için bu gidiş-dönüşte 0 olabilir. İki tanım ayrı tutulmalıdır.
48 ve 72 km/sa süratleri aynı yol gidiş-dönüşü yerine birer saatlik iki bölümde kullanılırsa ortalama sürat ne olur?
İki saatte toplam 48+72=120 km; ortalama 120/2=60 km/sa. Eşit süre koşuluna geçildiği için aritmetik ortalama bu kez doğrudur; eşit yol örneğinde 57,6 çıkıyordu.
Dersin soruları
1Doğrusal bir yolda aralarında 126 km bulunan iki hareketli aynı anda birbirine doğru sabit 18 ve 24 km/sa süratle başlıyor. Durmadan aynı yönlerde ilerliyorlar. İlk karşılaşma başlangıçtan kaç saat sonradır?
Bu soruda hata mı var?2Düz bir yolda aynı yönde hareket eden iki araçtan hızlı olan başlangıçta diğerinin 30 km gerisinde. Aynı anda bu konumlardan sabit 60 ve 45 km/sa süratlerle, durmadan aynı yönde gidiyorlar; hızlı araç arkada. Hızlı araç kaç saat sonra yetişir?
Bu soruda hata mı var?3Bir araç aynı yolu gidişte 48 km/sa, dönüşte 72 km/sa sabit süratle alıyor; beklemiyor ve toplam yolculuk süresi gidiş+dönüşten oluşuyor. Ortalama sürati kaç km/sa olur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Kurmaca bir kargo dronu 18 km uzunluğundaki hattı sabit süratle 36 dakikada uçuyor; duraklama ve hızlanma yok. Dronun sürati kaç km/sa’dır?
2Doğrusal bir yolda iki kent arasında 180 km vardır. A aracı sabit 40 km/sa süratle sabah 08:00’de, B aracı sabit 60 km/sa süratle 09:00’da birbirine doğru yola çıkıyor; ikisi de durmadan gidiyor. İlk karşılaşma saat kaçta olur?
3Aynı yönde giden iki araçtan arkadaki sabit 50 km/sa, öndeki sabit 65 km/sa süratle ilerliyor. Araçlar aynı anda, aralarında 24 km aralıkla ve durmadan hareket ediyor. Arkadaki araç öndekine yetişir mi?
4Doğrusal bir yolda aralarında 250 km bulunan iki araç aynı anda birbirine doğru, durmadan ve sabit süratle yola çıkıyor. Birinci araç 60 km/sa süratle gidiyor ve ilk karşılaşma başlangıçtan 2,5 saat sonra oluyor. İkinci aracın sürati kaç km/sa’dır?
5Bir tren 90 km’lik ilk bölümü sabit 60 km/sa süratle alıyor, ardından 30 dakika duruyor ve son 80 km’lik bölümü sabit 160 km/sa süratle alıyor. Duruş dahil toplam yolculuk süresine göre ortalama sürat kaç km/sa’dır?
6Doğrusal bir yolda bir araç doğuya 90 km’yi 2 saatte, hemen ardından aynı doğrultuda batıya 30 km’yi 1 saatte sabit süratlerle alıyor. Yolculuk boyunca (ortalama sürat; yönlü ortalama hızın büyüklüğü) ikilisi hangisidir?
7Duraksama ve hızlanma olmayan aşağıdaki hareketlerden hangisinde ortalama sürat, iki bölümdeki süratin aritmetik ortalaması olan 50 km/sa olur?
8Bir araç bir yolu gidişte sabit 30 km/sa süratle alıyor, aynı yolu dönüşte sabit v süratle alıyor; bekleme yok. Gidiş–dönüş boyunca ortalama sürat 36 km/sa ise dönüş sürati v kaç km/sa’dır?
9Bir kurye doğrusal bir hatta A’dan B’ye 60 km’yi sabit 30 km/sa süratle alıyor, B’de 30 dakika bekliyor ve aynı yoldan A’ya sabit v süratle dönüyor. Bekleme dahil toplam yolculuk süresine göre ortalama sürat 30 km/sa ise dönüş sürati v kaç km/sa’dır?
10Bir bisikletli sabit 18 km/sa süratle yola çıkıyor. 20 dakika sonra aynı noktadan, aynı yönde sabit 30 km/sa süratle bir motosikletli çıkıyor; ikisi de durmadan gidiyor. Motosikletli yola çıktıktan kaç dakika sonra bisikletliye yetişir?
Aklında kaldı mı?
Aynı yönde yetişme için arkadaki araç hakkında hangi koşul gerekir?
Başlangıçta aralık pozitif ve sabit yön modelinde arkadaki daha hızlı olmalı. Kapanma sürati farktır; eşit süratte aralık değişmez.
İki süratin aritmetik ortalaması ne zaman doğrudan kullanılabilir?
Bu iki sabit süratle eşit süre hareket edildiğinde. Eşit yol durumunda süreler genellikle farklıdır; toplam yol/toplam süre ya da uygun eşit yol bağıntısı kullanılır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.