hepnotSimetrik alanda tek ve çift fonksiyonlar
Konunun mantığı
![Simetriyi alanla başla. (a, b) noktasının y eksenine ve orijine göre eşleri, simetrik ve simetrik olmayan alan şeritleri ve D = [−4, 4] üzerinde f(x) = x|x| − 5x örneğinde tek ama bire bir olmama gösterilir.](/gorsel/matematik-fonksiyon-tek-cift.svg)
Bir gerçek değerli fonksiyonun tek/çiftliğini söylerken önce D tanım kümesini belirt. D simetrikse x∈D olan her girdinin −x eşi de Ddedir. ℝ, a≥0 için [−a,a] ve ℝ∖{0} uygun örneklerdir; [0,a] ise a>0 için simetrik değildir. Bu derste tek/çift adlarını bu alan koşuluyla kullanacağız. Yalnız simetrik bir alt parçadaki davranış, fonksiyonun verilen bütün alanını aynı sınıfa sokmaz. Alanı değiştirmek kural aynı kalsa bile ele alınan fonksiyonu değiştirebilir.
Simetrik D üzerinde bütün xler için f(−x)=f(x) ise fonksiyon çifttir. Grafikte (x,y) varsa (−x,y) de vardır; y eksenine yansıma grafiği korur. Buradaki çift sözü çıktıların çift tam sayı olması veya iki girdi bulunması değildir. Formülde yalnız x² gibi çift kuvvetler bulunan bir polinom bu eşitliği sağlar, ancak kararın gerekçesi üsleri görmekten önce genel yerine koyma eşitliğidir. |x| içeren veya polinom olmayan kurallarda da aynı tanım kullanılır; tanım yalnız polinomlara ait değildir.
Aynı alanda bütün xler için f(−x)=−f(x) ise fonksiyon tektir; grafik orijine göre simetriktir: (x,y) ile (−x,−y) birlikte bulunur. 0∈D ise f(0)=−f(0) nedeniyle f(0)=0 gerekir;0 alanda değilse f(0) değeri icat edilmez. Teklik birebirlik değildir: örneğin x³−9x,−3 ve0da aynı0 çıktısını verirken genel cebirle tektir. Her girdiye tek çıktı verme zaten her fonksiyonun şartıdır; buradaki tek sözcüğü bu şarttan farklı bir simetri adıdır.
Sıfır fonksiyonu simetrik bir alanda iki eşitliği birden sağlar;hem tek hem çifttir. Tersine her iki eşitlik varsa f(x)=−f(x),dolayısıyla tüm xlerde f(x)=0 olur. Sıfır olmayan sabit fonksiyon çift fakat tek değildir;bir fonksiyon ne tek ne çift de olabilir. Birleşmiş sıfır terimleri sadeleştirdikten sonra sınıflamak önemlidir. Polinomun en yüksek derecesinin tek olması bütün fonksiyonun tekliğini garantilemez; düşük dereceli bir çift kuvvetli terim veya sabit terim simetriyi bozabilir.
Sonsuz bir alanda birkaç x ve−x çiftinin eşleşmesi genel kanıt değildir; tek bir karşıörnek ise önerilen tümel eşitliği çürütür. Kanıt için genel xle cebir kur veya verilen parçalı kuralın bütün dallarını ve sınırlarını kapsa. Sonlu simetrik alanda ise her eleman gerçekten kontrol edilmişse sonlu tablo bütün alanın kanıtı olabilir; seçili birkaç satırla karıştırma. Grafik çizilmediyse görünüşten simetri varsayma. Bu dar giriş periyodiklik,bütün fonksiyon dönüşümleri veya tam fonksiyon analizi kapsamını bitirmez.
Önce simetrik D: x varsa−x de var. Bütün xlerde f(−x)=f(x) çift/y ekseni; f(−x)=−f(x) tek/orijin. Sıfır fonksiyon ikisi;tek fonksiyon birebir demek değil. Sonlu tanık genel ispat değildir.
Adım adım bir örnek
D=[−4,4] üzerinde f(x)=x|x|−5x veriliyor. Fonksiyon tek mi çift mi? Birebir olduğu sonucu yalnız tekliğinden çıkar mı?
Genel girdide işaret ve mutlak değer
- D simetrik. |−x|=|x| olduğundan f(−x)=(−x)|x|+5x=−(x|x|−5x)=−f(x).
- Eşitlik bütün Dde geçerli;f tektir. f(1)=−4≠0 olduğundan aynı zamanda çift olamaz.
- Teklik birebirliği garantilemez;bu örnekte de f(1)=−4 ve f(4)=−4,1≠4.
Sınır: Genel simetri cebirle kanıtlandı. İki farklı girdinin aynı çıktısı birebirliği çürüten yeterli karşıörnektir;yalnız birkaç eşitlik tekliği kanıtlamak için kullanılmadı.
Parçalı ifadede eş noktaları eşleştirme
- x≥0 için f=x²−5x;x<0 için f=−x²−5x. 0daki değer0.
- Her t∈(0,4] için f(t)=t²−5t ve f(−t)=−t²+5t=−f(t). 0 da eşitliği sağlar;bu dallar tüm alanı kapsar.
- Bu eşleştirme orijin simetrisini verir. y ekseni simetrisi için aynı çıktı gerekirdi;1 ve−1de −4 ve4 olduğundan çift değildir.
Sınır: Sadece pozitif dalı incelemek yetmez;negatif dal ve0 noktası kapsandı. Kısıtlı alan dışında davranış hakkında iddia kurulmaz.
İki yöntemde de neden D kontrolü var? (1,−4) ve (4,−4) noktaları tekliği mi yoksa birebirliği mi sınar?
Hatayı bul
“x³−4x tek fonksiyondur;bu yüzden birebirdir. Ayrıca0da0 verdiği için başka kontrol gerekmez.” İlk çıkarım hatası nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Tek fonksiyon simetrisinden birebirlik çıkarmak.
Genel cebirle f(−x)=−f(x),evet;ama f(−2)=f(0)=f(2)=0 olduğundan birebir değildir. f(0)=0 tekliğin yalnız gerekli bir şartıdır (0 alandaysa),yeterli değildir;örneğin x² de0da0 ama çift ve tek olmayan bir fonksiyondur.
Çalışılmış D=[−4,4] fonksiyonu f=x|x|−5x yerine g=f+2 alınırsa orijin simetrisi korunur mu? Yeni grafikte hangi merkezî simetri ilişkisi kalır?
g(−x)=−f(x)+2=4−g(x);g(0)=2 olduğundan g tek değildir. f çift olmayan ve sıfır olmayan tek fonksiyon olduğundan g de çift değildir: g(−x)=g(x) tüm xlerde olsaydı f(−x)=f(x) gerekirdi. Grafik artık (0,2) merkezine simetriktir;eş noktalar(x,g(x)) ile(−x,4−g(x)). Bu orijin simetrisi/tek fonksiyon tanımıyla aynı değildir.
Dersin soruları
1f:[−2,5]→ℝ, f(x)=x²+6 veriliyor. Bu dersteki simetrik tanım kümesi şartıyla hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?2ℝ üzerinde F(x)=a x³+(b−2)x²+(a+1)x+c tanımlı; a,b,c gerçektir. Fnin hem tek hem çift olması için (a,b,c) hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3ℝde tanımlı h için yalnız h(−2)=h(2)=5 ve h(−1)=h(1)=3 ölçülüyor;başka kural veya değer bilinmiyor. Hangisi zorunlu olarak doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1f(x)=x²−1 kuralı aşağıdaki tanım kümelerinden hangisinde çift fonksiyon olarak adlandırılabilir?
2ℝ’de tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tektir?
3ℝ’de f(x)=x|x|+3x ve g(x)=|x|+x² fonksiyonları için hangisi doğrudur?
4ℝ’de h(x)=x⁵−x fonksiyonu için hangisi doğrudur?
5ℝ’de f(x)=5 sabit fonksiyonu için hangisi doğrudur?
6ℝ’de P(x)=x⁵+x² fonksiyonu için hangisi doğrudur?
7D={−2, −1, 0, 1, 2} kümesinde f şöyle tanımlıdır: f(−2)=3, f(−1)=1, f(0)=0, f(1)=−1, f(2)=−3. Bu f için hangisi doğrudur?
8ℝ’de f tek bir fonksiyondur. g(x)=f(x)+2 fonksiyonu için hangisi doğrudur?
9D=ℝ∖{0} üzerinde f(x)=1/x tanımlıdır. f için hangisi doğrudur?
10f(x)=x²−3x (x≥0 için) ve f(x)=x²+3x (x<0 için) ile tanımlı f: ℝ→ℝ için hangisi doğrudur?
Aklında kaldı mı?
Simetrik alanda hem tek hem çift fonksiyonun kuralı ne olmalıdır?
Bütün xlerde f(x)=0. Çünkü f(−x)=f(x) ve f(−x)=−f(x) birlikte2f(x)=0 verir. Simetrik alandaki sıfır fonksiyon iki koşulu da sağlar.
Tek fonksiyonun grafiğinde(a,b) varsa hangi eş nokta vardır;bu birebirlik garantisi midir?
(−a,−b) vardır;orijin simetrisi. Birebirlik garantisi değildir;farklı girdiler aynı çıktıyı verebilir. 0 alandaysa f(0)=0,bunun tersi tekliği kanıtlamaz.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.