hepnotFonksiyon: her girdiye tek çıktı ve değer bulma
Konunun mantığı
Fonksiyon, tanım kümesindeki her girdiye tam bir çıktı veren eşlemedir. Farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir; bir girdi iki çıktıya gidemez.
Girdi–çıktı makinesi
Bir fonksiyon, bir girdi alıp ona tek bir çıktı veren makine gibidir. Aynı girdiyi iki kez sokarsan aynı çıktıyı alırsın. Asıl soru şudur: her girdinin bir ve yalnız bir çıktısı var mı?
İki soru sor: (1) Çıktısız kalan girdi var mı? (2) Bir girdiden iki farklı çıktı çıkıyor mu? İkisine de “hayır” ise fonksiyondur. Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi bozmaz.
Tanım, değer ve görüntü
f: A → B yazımında A tanım kümesi, B değer kümesidir. Gerçekten elde edilen çıktılar görüntü kümesini oluşturur ve B’nin alt kümesi olabilir. B’de kullanılmayan eleman olması kusur sayılmaz; bunu bire bir ya da örten olmakla karıştırma.
f(a) nasıl bulunur?
- Kuralda x’in nerede yazdığına bak. Örnek: f(x) = 2x − 3.
- x görülen her yere a’nın tamamını parantez içinde yaz: f(6) = 2·6 − 3.
- İşlemleri sırayla yap: 12 − 3 = 9.
- Giriş x + 2 gibi bir ifadeyse bütününü parantezle yerine koy.
f(x + 1) ile f(x) + 1 aynı şey değil
f(x) = 5x − 2 için x yerine x + 1 yazılır: f(x + 1) = 5(x + 1) − 2 = 5x + 3. Çıktıya 1 eklemek f(x) + 1 = 5x − 1 verir ve bu başka bir ifadedir. f bir çarpan da değildir; f(6), 6 girdisinin çıktısının adıdır.
Girdi paydayı sıfır yapıyorsa o noktada çıktı yoktur; bu girdi tanım kümesinden çıkarılır.
Düşün
h(x) = x² için h(−3) ve h(3) aynı çıktıyı veriyor. h bir fonksiyon mudur?
Cevabı göster
Evet. Her girdinin tek bir çıktısı var (h(−3) = h(3) = 9). Farklı girdilerin aynı çıktıya gitmesi sorun değildir; sorun bir girdinin iki çıktısı olmasıdır.
Adım adım bir örnek
f:ℝ→ℝ, f(x)=3x+2 için f(t−1) ifadesini bulunuz.
Doğrudan yerine koy
- Kuraldaki x’in yerine t−1 bütününü yaz: f(t−1)=3(t−1)+2.
- Parantezi aç: 3t−3+2=3t−1.
Sınır: Girdi ifadesinin tamamı paranteze alınmalı; burada her gerçek t tanımlıdır.
Giriş–işlem tablosu
- Makinenin iki adımı: girdiyi 3 ile çarp, sonra 2 ekle.
- t−1 girdisi önce 3t−3 olur; 2 eklenince 3t−1 çıkar.
Sınır: Bu işlem sırası bu kurala aittir; +2 adımını 3 ile çarpmadan önce yapmak farklı fonksiyon verir.
İkinci yolda işlem sırası nasıl korundu? f(t−1) ile f(t)−1 neden aynı ifade değildir?
Hatayı bul
f(x)=5x−2 için bir öğrenci f(x+1)=5x−2+1=5x−1 yazıyor. İlk hata nerede?
İlk hatayı göster
İlk hata: Girdi artışını fonksiyonun çıktısına doğrudan ekleyerek f(x+1) ile f(x)+1’i aynı saymak.
x yerine x+1 bütünü yazılır: f(x+1)=5(x+1)−2=5x+3. Örneğin x=0 için f(1)=3; yanlış ifade −1 verir.
h(x)=2x+5 yerine k(x)=2x+20 kullanılırsa k(t+3)−k(t) değişir mi?
Hayır; (2t+26)−(2t+20)=6. Ortak sabit ekleme iki çıktının farkında yok olur. Bu, doğrusal kural ve aynı girdi farkı koşuluna bağlıdır; genel fonksiyonlara koşulsuz taşınmaz.
Dersin soruları
1f:ℝ→ℝ, f(x)=4x−7 olduğuna göre f(−2) kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2A={1,2,3}, B={0,4,5}. Aşağıdaki eşlemelerden hangisi A’dan B’ye bir fonksiyondur?
Bu soruda hata mı var?3h:ℝ→ℝ, h(x)=2x+5. Gerçek t için h(t+3)−h(t) kaçtır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x² − 2x + 1 olduğuna göre f(−1) kaçtır?
2f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 2 olduğuna göre f(2x) − 2f(x) ifadesinin eşiti nedir?
3f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + 1 ve f(3) = 7 olduğuna göre f(−2) kaçtır?
4Aşağıdaki kurallardan hangisi bir fonksiyon belirtir?
5A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} olmak üzere f: A → B, f(1) = a, f(2) = a, f(3) = c biçiminde tanımlanıyor. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
6A = {−2, −1, 0, 1, 2} ve B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} olmak üzere f: A → B, f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi kaç elemanlıdır?
7f(x) = 1/(x − 5) kuralı gerçel sayılarda kullanılacaksa en geniş tanım kümesi hangisidir?
8g(x) = (x + 2)/(x² − 9) kuralı gerçel sayılarda kullanılacaksa en geniş tanım kümesi hangisidir?
9f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1 olduğuna göre f(x + 2) − f(x − 2) ifadesi kaçtır?
10A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c} kümeleri veriliyor. Aşağıdaki sıralı çift kümelerinden hangisi A’dan B’ye bir fonksiyondur?
Aklında kaldı mı?
İki farklı girdi aynı çıktıya giderse fonksiyon koşulu bozulur mu?
Hayır. Her girdinin tam bir çıktısı olması gerekir; farklı girdilerin farklı çıktılar vermesi ek bir koşuldur.
f(x)=ax+b iken f(t+u) nasıl hesaplanır?
x yerine t+u bütünü yazılır: a(t+u)+b. Genel olarak f(t)+u değildir. Girişin tanım kümesinde olduğu ayrıca kontrol edilir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.