YKS · MATEMATİK

Birinci dereceden eşitsizlik: yön, sınır ve çözüm kümesi

Q: Negatif sayıya bölmek neden eşitsizlik yönünü değiştirir?

Negatifle ölçekleme sayı doğrusundaki sıralamayı ters çevirir. Örneğin 2 −5 olur. Bölen sıfır olamaz.

Q: x<4 ile x≤4 arasındaki çözüm kümesi farkı nedir?

İkincisi 4 sınırını içerir; ilki içermez. Gerçeklerde aralıklar (−∞,4) ve (−∞,4] olur; tam sayı istenirse uygun tam sayılar seçilir.

Bu derste Negatif sayı ile çarpma/bölmede yön değişimini gerekçelendirir. Çözüm kümesini sınırın dahil oluşunu ve değişkenin sayı kümesini koruyarak yazar.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 15 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Eşitsizlikte sınır noktası ve negatifle çarpma. x>−3 çözümünde −3 boş nokta, x≥−3 çözümünde dolu nokta ile gösterilir. 1<4 eşitsizliği −2 ile çarpılınca −2>−8 olur; sayı doğrusunda oklar kesişir ve sıra tersine döner. 8−3x≥20 çözümünde −3’e bölünce yön de döner: x≤−4. — **Eşitsizlikte sınır noktası ve negatifle çarpma.** x>−3 çözümünde −3 boş nokta, x≥−3 çözümünde dolu nokta ile gösterilir. 1<4 eşitsizliği −2 ile çarpılınca −2>−8 olur; sayı doğrusunda oklar kesişir ve sıra tersine döner. 8−3x≥20 çözümünde −3’e bölünce yön de döner: x≤−4. Sayı doğruları eşit birim aralıklıdır ama çizim ölçeksiz bir şemadır, ölçüm aracı değildir; ışın ucundaki ok sınırsız devamı simgeler. Çözüm kümeleri gerçek sayılar için verilmiştir: tam sayı ya da başka sınırlı küme koşulunda noktalar ayrı seçilir. Çarpma örneği bir ispat değil bir temsildir; değişken ifadeyle çarpma ya da bölmede işaretin bilinmediği durumlar bu görselde yoktur.

Denklem belirli değerlerde eşitliği, eşitsizlik ise bir sıralama koşulunu sorar. Çözüm, tek bir sayı olmak zorunda değildir. x>3 koşulunu gerçek sayılarda 3’ten büyük bütün sayılar sağlar; x=3 sağlamaz. Sonuç yazarken sayı kümesini ve sınırın dahil olup olmadığını birlikte belirt.

Her iki tarafa aynı sayıyı eklemek ya da çıkarmak sıralamayı korur. Aynı pozitif sayıyla çarpma veya bölme de yönü korur. Negatif sayıyla çarpmak sayı doğrusundaki sıralamayı tersine çevirdiğinden < ile >, ≤ ile ≥ yer değiştirir. Sıfıra bölme yapılamaz.

Örneğin −5x<15 adımında −5’e bölmek x>−3 verir. Burada yalnız sayıları bölmek yeterli değildir; yönün de değişmesi gerekir. Katsayısı bilinmeyen bir ifadeye bölmeden önce işareti belirlenmelidir. Bu derste katsayılar sayısal ve sıfırdan farklıdır; parametreli durumlara aynı adımı koşulsuz taşımıyoruz.

Çözüm kümesinin sınırı eşitliğin sağlandığı noktadır. Sıkı eşitsizlikte sınır dışarıda, ≤ veya ≥ durumunda içeridedir. Gerçek sayılarda x≥2, [2,∞) ile gösterilir; sonsuz bir gerçek sayı olmadığı için sonsuz tarafına kapalı parantez yazılmaz. Tam sayı isteniyorsa aralıktaki tam sayılar ayrıca seçilir.

Kontrol için sınırı, çözüm tarafındaki bir değeri ve diğer taraftaki bir değeri başlangıç eşitsizliğinde dene. Bu örnek kontroller bir cebirsel kanıtın yerine geçmez ama yön ve sınır hatasını yakalar. Bağlamda süre, adet veya kapasite varsa ayrıca negatif olmama ve tam sayı gibi koşulları koru.

KISACA

Aynı sayıyı iki tarafa eklemek yönü korur. Pozitif sayıyla çarpma/bölme yönü korur; negatifle çarpma/bölme yönü ters çevirir. Sıfıra bölme yapılamaz. Sınırın dahil oluşunu ve gerçek/tam sayı koşulunu sonuçta koru.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Gerçek sayılarda 8−3x≥20 eşitsizliğini çözünüz.

Negatif katsayıya böl

İki taraftan 8 çıkar: −3x≥12.
−3’e bölürken yönü değiştir: x≤−4.
x=−4 için eşitlik; x=−5 için doğru, x=−3 için yanlış olur.

Sınır: Bölünen katsayının negatif ve sıfırdan farklı olduğu bilinmelidir.

Değişkeni pozitif katsayıyla topla

İki tarafa 3x ekle: 8≥20+3x.
İki taraftan 20 çıkar: −12≥3x.
Pozitif 3’e böl: −4≥x, yani x≤−4.

Sınır: Yön değiştirmeden ilerlenir ama −4≥x ifadesi okunurken x’in sağda olduğu unutulmamalıdır.

İkinci yol neden negatif sayıya bölmeden aynı çözümü verdi? −4≥x ifadesini x≥−4 diye okumak hangi hataya yol açar?

HATA AVI

Hatayı bul

Bir öğrenci −7x≤21 adımından x≤−3 sonucuna geçiyor. İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Negatif −7’ye bölmede eşitsizlik yönünün korunması.

Doğrusu x≥−3. Örneğin x=0 başlangıçta 0≤21 koşulunu sağlar; yanlış sonuç 0’ı dışarıda bırakır.

Sensör sorusunda en az 5 yerine 5’ten fazla enerji kalması istenirse en çok kaç ölçüm yapılır?

47−6n>5 → n<7. n negatif olmayan tam sayı olduğundan en fazla 6 olur. Sayısal sınır aynı kaldı; dahil olma koşulu değişti.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Negatif sayıya bölmek neden eşitsizlik yönünü değiştirir?

Negatifle ölçekleme sayı doğrusundaki sıralamayı ters çevirir. Örneğin 2<5 iken −2>−5 olur. Bölen sıfır olamaz.

x<4 ile x≤4 arasındaki çözüm kümesi farkı nedir?

İkincisi 4 sınırını içerir; ilki içermez. Gerçeklerde aralıklar (−∞,4) ve (−∞,4] olur; tam sayı istenirse uygun tam sayılar seçilir.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.