hepnotDizilere giriş: indis, sabit fark ve sabit oran
Konunun mantığı
Bu derste gerçek sayı dizisi n=1,2,3,… pozitif tam sayılarında tanımlanır; aₙ, n numaralı terimin değeridir. n ile aₙ aynı büyüklük değildir: n=4 sırayı, a₄ o sıradaki sayıyı gösterir. Bir genel terim her pozitif tam sayı için gerçek bir değer üretmelidir. Başlangıç indisi başka bir kaynakta 0 seçilmiş olabilir; o zaman formülde ilk terimin adı ve adım sayısı da değişir.
Dizi bir genel terimle veya başlangıç değeri ve sonraki terimi belirleyen yineleme kuralıyla verilebilir. Birkaç sayıdan oluşan liste tek başına zorunlu bir devam belirlemez; sonraki terimi bulmak için kural ya da dizi türü bilgisi gerekir. aₙ=n² gibi bir dizide her n için değer bellidir; aₙ=1/(n−2) ifadesi ise n=2de tanımsız kaldığından bütün pozitif tam sayılarda bu dersin gerçek sayı dizisi olamaz.
Aritmetik dizide aₙ₊₁−aₙ=d farkı her n için sabittir. İlk terim a₁ ise n numaralı terime ulaşmak için n−1 geçiş yapılır: aₙ=a₁+(n−1)d. d negatifse dizi azalır, d=0 ise sabittir. İlk terimin 0 olması sorun değildir; bölme yapılmaz. Başlangıç ve bitiş terimi arasındaki farkı bir adımın farkıyla karıştırma; a₇−a₃ arada dört adımı kapsar.
Bu derste geometrik dizi için kaynaktaki oran tanımını kullanıyoruz: bütün terimler sıfırdan farklı ve aₙ₊₁/aₙ=r oranı her n için sabittir. Bu koşullarda a₁≠0 ve r≠0, aₙ=a₁r^(n−1) olur. Negatif r ardışık işaretleri değiştirir; r=1 sıfır olmayan sabit diziyi verir. Böyle bir sabit dizi d=0 ile aritmetik de olabilir; iki tür her zaman birbirini dışlamaz.
Yineleme aₙ₊₁=r·aₙ sıfır başlangıç veya r=0 ile de bir dizi tanımlar, fakat bu sınır durumları oran tanımıyla karıştırmayacağız. a₁=0 ise bütün terimler 0 olur ve ardışık oran 0/0dır; bu veriden tek bir ortak oran hesaplanamaz. a₁≠0,r=0 ise ilk terimden sonra hep 0 gelir; sonraki oranlar yine tanımsızdır. Bazı genişletilmiş tanımlarda bu tür yinelemeler de geometrik adını alabilir; burada kullanılan sıfır olmayan terim koşulu nedeniyle o adla sınıflandırmıyoruz. Hesap yaparken 0⁰ yazımına dayanmak yerine başlangıç terimini ayrıca koru.
n=1den başlar: aₙ terim, n indis. Aritmetik: aₙ=a₁+(n−1)d. Bu dersteki oran tanımlı geometrik: bütün terimler ≠0, r≠0; aₙ=a₁r^(n−1). Sıfırlı yinelemeyi oran alarak sınıflandırma; birkaç ilk terim tek başına devamı zorunlu kılmaz.
Adım adım bir örnek
n=1den başlayan aritmetik dizide a₁=−4 ve ortak fark d=3. a₈ değerini iki temsille bulunuz.
Genel terim
- aₙ=−4+(n−1)·3.
- a₈=−4+7·3=17.
Sınır: n=1 başlangıcı nedeniyle 8 değil 7 fark eklenir.
Adım tablosu
- Terimler sırayla −4,−1,2,5,8,11,14,17 olur. Her sonraki kutuya 3 eklenir.
- Sekizinci kutuda 17 vardır; ilk kutudan itibaren yedi geçiş sayılmıştır.
Sınır: Tablo bu küçük indis için uygundur; büyük indislerde bütün terimleri tek tek yazmak yerine genel terim kullanılabilir.
İlk terim zaten sayıldığı için neden yedi ekleme var? Aynı değerler n=0dan etiketlenseydi 17 hangi indiste bulunurdu?
Hatayı bul
“a₁=0 ve aₙ₊₁=3aₙ olduğundan 0,0,0,… dizisinde aₙ₊₁/aₙ=3 bulunur.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: aₙ=0 iken yineleme eşitliğini aₙ ile bölüp 0/0 oranından 3 sonucu çıkarmak.
Yineleme bütün terimleri 0 yapar ama oranlar 0/0 olduğu için tanımsızdır. Aynı sıfır dizisi başka çarpanlarla da üretilebilir; oran tanımına göre buradan r=3 hesaplanmaz. Sıfır dizisi d=0 ile aritmetiktir.
Aritmetik dizide a₁=−4,d=3 yerine başlangıç etiketi b₀=−4 seçilip bₙ₊₁=bₙ+3 verilirse genel terim ve 17 değerinin indisi ne olur?
n=0,1,2,… için bₙ=−4+3n. 17=−4+3n → n=7; eski a₈ değeri yeni b₇ olur. Değerler aynı sırada, indis başlangıcı farklıdır.
Dersin soruları
1n=1den başlayan aritmetik bir dizide a₃=5, a₇=17. a₁₀ kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2n=1den başlayan, bütün terimleri sıfırdan farklı geometrik dizide a₁=−3, ortak oran r=−2. a₅ kaçtır?
Bu soruda hata mı var?3a₁=5 ve her n≥1 için aₙ₊₁=0·aₙ. Bu dersteki “her ardışık oranı tanımlı ve sabit” geometrik dizi tanımına göre a₄ ve sınıflandırma hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Genel terimi aₙ=2n+1 olan dizide 15 sayısı kaçıncı terimdir?
2Aşağıdaki ifadelerden hangisi, n=1, 2, 3, … pozitif tam sayılarının hepsinde bir gerçek sayı üreterek dizi genel terimi olabilir?
3Aritmetik bir dizide a₄=11 ve a₉=−4’tür. a₁₂ kaçtır?
4Bütün terimleri sıfırdan farklı bir geometrik dizide a₂=−6 ve a₅=162’dir. a₆ kaçtır?
5a₁=2 ve her n≥1 için aₙ₊₁=aₙ(aₙ−2) ile tanımlanan dizi için hangisi doğrudur?
6aₙ=(n²−9)/(n−3) ifadesiyle ilgili hangisi doğrudur?
7Bir dizinin ilk iki terimi a₁=3 ve a₂=6’dır. Başka bilgi verilmemiştir. a₃ için hangisi doğrudur?
8n=0’dan başlayan bir b dizisinde b₀=7 ve her n için bₙ₊₁=bₙ+4’tür. b₅ kaçtır?
9Bütün terimleri pozitif bir geometrik dizide a₁=2 ve r=3’tür. 486 sayısı kaçıncı terimdir?
10a₁=5 ve her n≥1 için aₙ₊₁=aₙ−3 ile tanımlanan dizi için hangisi doğrudur?
Aklında kaldı mı?
n=1 başlangıcında a₁den aₙye kaç geçiş yapılır?
n−1 geçiş. Bu yüzden aritmetikte (n−1)d, geometrikte r^(n−1) bulunur.
Bu derste aₙ₊₁=r aₙ yinelemesi tek başına oran tanımlı geometrik dizi için yeterli mi?
Hayır; terimlerin sıfırdan farklı olması da gerekir. Sıfır terime bölerek ortak oran bulunamaz; sıfır başlangıç ve r=0 sınırları ayrıca incelenir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.