hepnotKapalı parkurda yeniden karşılaşma ve zaman aralığı sayımı
Konunun mantığı
![Konum aynı, yol farkı kL. 420 m'lik halkada aynı yönlü 52 ve 31 m/dk ile ilk karşılaşma (20 dk, 200 m konumu), (0, 65] aralığındaki 3 olay ve zıt yönde (0, 20] aralığındaki 3 olay zaman çizgisinde sayılır.](/gorsel/matematik-dairesel-karsilasma.svg)
Kapalı parkurun çevresi L>0olsun;bir başlangıç çizgisi ve parkur boyunca pozitif yön seç. Aynı geometrik konuma giden yol ölçüleri Lnin tamsayı katı kadar farklı olabilir. Örneğin xile x+Laynı noktayı gösterir;bu nedenle kapalı parkurda karşılaşmak için alınan toplam yolların eşit olması gerekmez. Bu derste noktasal iki sanal işaretçi sabit süratle ve kesintisiz hareket ediyor;geçiş sırasında durma,çarpışma veya yön değiştirme yok. Birimleri aynı uzunluk/zaman ölçeğinde tutuyoruz.
Aynı noktadan aynı anda aynı yönde başlasınlar;v₁>v₂≥0olsun. Aynı konuma yeniden gelmeleri için hızlı olanın fazla yolu L,2L,...olmalıdır:(v₁−v₂)t=kL. İlk pozitif zaman T=L/(v₁−v₂);sonraki anlar2T,3T,...dır. İki işaretçinin ayrı ayrı başlangıç çizgisine aynı anda dönmesi başka koşuldur;ilk buluşma çizgiden uzakta gerçekleşebilir. Süratler aynı ve başlangıçları aynıysa her anda birliktedirler;bu durumda izole karşılaşmaların sonlu sayısı varmış gibi L/0hesabı yapılmaz.
Aynı başlangıç noktasından zıt yönlerde pozitif süratlerle gidilirse seçilen yönle hızlar v₁ve−v₂dir. Konum farkı(v₁+v₂)t=kLolduğundan ilk pozitif karşılaşma T=L/(v₁+v₂). Hareket boyunca süratler/yönler değişmiyorsa olaylar yine Tnin pozitif katlarında tekrarlanır. Aynı başlangıçtaki t=0beraberliği pozitif yeniden karşılaşma değildir;bir sayım sorusu bu anı dahil edip etmediğini ayrıca söylemelidir. Zıt yönlü karşılaşmada sürat farkını kullanmak,işaretli konum farkını yanlış kurar.
Bir gözlem aralığındaki olayları sayarken t=kTlistesini aralıkla kesiştir. Aynı başlangıç ve T>0için(0,H]aralığında sayı⌊H/T⌋;eğer Htam kat ise sağ uç sayılır. (0,H)aralığında Hdeki olay çıkarılır. [0,H]istenirse başlangıç olayı ayrıca1eklenir;fakat pozitif yeniden karşılaşmaların sayısı diye sorulmuşsa eklenmez. Daha genel[a,b)aralığında uygun ktamsayılarını bulmak güvenlidir. Zaman oranını doğrudan yukarı yuvarlamak veya iki ucu da otomatik almak fazladan olay ekleyebilir.
Başlangıç noktaları farklıysa aynı sıfır fazlı listeyi otomatik kullanma. Pozitif yönde Abaşlangıcı0,Bbaşlangıcıd (0<d<L)olsun;aynı yönde vA>vBise(vA−vB)t=d+kL. İlk pozitif buluşma d/(vA−vB),ardışık buluşma aralığı yine L/(vA−vB)olur. İlk süre ile periyot bu kez farklıdır. Yönler,hızlar veya başlangıç anları değişirse yeni konum denklemi gerekir. Sonlu bir zaman listesini kontrol etmek somut örneği doğrular;genel gerekçe tam tur farkıdır. Bu ders çoklu hareketli veya bütün periyodik karşılaşma problemlerini tamamlamaz.
Kapalı parkurda konumlar,yol farkı kLolunca eşit. Aynı başlangıçta ilk pozitif T=L/(hız farkı)veya zıt yöndeL/(sürat toplamı). Olayları belirtilen aralıkta say;0ı otomatik ekleme. Başlangıç fazı farklıysa ilk süre periyottan farklı olabilir.
Adım adım bir örnek
Çevresi420molan matematiksel kapalı parkurda AileB,t0da aynı çizgiden aynı yönde sabit52ve31m/dksüratlerle başlıyor;durma yok. İlk pozitif yeniden karşılaşmayı,buluşma konumunu ve(0,65]dakika aralığındaki yeniden karşılaşma sayısını bulun.
Tam tur farkı
- Fazla yol hızı52−31=21m/dk;ilk tur farkı420m: T420/21=20dk.
- A20dkda1040m,B620malır;fark420m. İkisi de başlangıçtan pozitif yönde200mkonumundadır.
- Pozitif olaylar20,40,60,...;(0,65]içinde3olay.0başlangıcı sayılmıyor.
Sınır: İlk buluşma başlangıç çizgisine ortak dönüş değildir;iki işaretçi200mde buluşur.
Açılmış parkur kopyalarını eşleme
- Anın yolu52t,Bnin aynı noktayı temsil eden kopyaları31t+420kolur. Eşitlik21t=420k.
- t20k;ilk pozitif k1. Konum1040−2·420=200mve620−420=200m.
- 0<20k≤65eşitsizliği k1,2,3verir;aynı3olay bulunur.
Sınır: kbir tur farkı tamsayısıdır;Anın veyaBnin tek başına tur sayısı sanılmaz. Sonlu liste genel periyot gerekçesinin yerine geçmez.
Neden1040ile620eşit değilken karşılaşma mümkün? [0,60]istenirse sayı neden(0,65]sayısıyla aynı olmak zorunda değil?
Hatayı bul
“İki işaretçi karşılaştığına göre aldıkları toplam yollar eşit ve ikisi de başlangıç çizgisindedir.” Kapalı parkur modelinde ilk yanlış varsayım nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Aynı parkur konumunu,açılmış yoldaki birikmiş toplam yolun aynı olmasıyla özdeşleştirmek.
Konumlar Lnin tamsayı katı kadar yol farkıyla aynı olabilir. Örnekte1040ve620mfarkı420m;ikisi de200mkonumunda buluşur. İkisinin aynı anda başlangıca dönmesi ayrı bir koşuldur.
Çalışılmış420mparkurda aynı52ve31m/dksüratle zıt yönlü başlanırsa ilk pozitif süre ve(0,20]içindeki pozitif olay sayısı ne olur? Başlangıç0sayılmıyor.
T420/(52+31)=420/83dk. Olaylar k420/83;0<k≤20·83/420=83/21≈3,95olduğundan k1,2,3yani3olay vardır. Aynı yöndeki20dkperiyodu kullanılmaz;zıt yönlü modelin toplamı değişmiştir.
Dersin soruları
1Çevresi360molan kapalı parkurda iki noktasal işaretçi aynı anda aynı çizgiden zıt yönlerde7ve5m/s sabit süratle başlıyor;durma yok. İlk pozitif karşılaşmanın(süresi;7m/slik işaretçinin yönünde başlangıçtan parkur konumu)hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Çevresi480molan kapalı parkurda AileB,t0da aynı çizgiden aynı yönde sabit11ve7m/s ile başlıyor. Hareket bütün süre boyunca sürüyor. Yalnız120≤t<480s aralığındaki aynı konumda bulunma olayları kaçtır? t120dahil,t480hariçtir.
Bu soruda hata mı var?3Çevresi300molan kapalı parkurda t0anında A0m,Bise Anın pozitif hareket yönünde60mileride. Aynı anda aynı yönde A40,B25m/dk sabit süratle ilerliyor. (İlk pozitif buluşma süresi;ardışık buluşmalar arasındaki süre)hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Çevresi 300 m olan kapalı parkurda iki noktasal işaretçi aynı çizgiden aynı anda zıt yönlerde hareket ediyor: A pozitif yönde 8 m/s, B negatif yönde 5 m/s sabit süratle. İkisinin t>0 anında aynı konumda bulunması koşulu, k pozitif tam sayı olmak üzere hangi denklemle ifade edilir?
2Çevresi 600 m olan kapalı parkurda A ile B aynı çizgiden aynı anda aynı yönde sabit süratlerle (A: 18 m/s, B: 12 m/s) başlıyor; durma yok. Başlangıçtaki beraberlik karşılaşma sayılmaz. A ile B üçüncü kez aynı konuma kaçıncı saniyede gelir?
3Çevresi 840 m olan kapalı parkurda iki noktasal işaretçi aynı çizgiden aynı anda zıt yönlerde başlıyor. A’nın sürati 12 m/s; ilk pozitif karşılaşma 40. saniyede gerçekleşiyor. B’nin sürati kaç m/s’dir?
4Çevresi 900 m olan kapalı parkurda iki noktasal işaretçi aynı çizgiden aynı anda zıt yönlerde 6 m/s ve 9 m/s sabit süratle hareket ediyor. Başlangıçtaki beraberlik sayılmamak üzere, [0, 240] s kapalı aralığında kaç kez aynı konumda bulunurlar?
5Çevresi 400 m olan kapalı parkurda A başlangıç çizgisindeki 0 m konumundan, B ise A’nın pozitif hareket yönünde 100 m ileriden aynı anda ve aynı yönde başlıyor. B’nin sürati 9 m/s, A’nın sürati 5 m/s sabittir. B ile A’nın ikinci pozitif karşılaşması kaçıncı saniyede olur?
6Çevresi 240 m olan kapalı parkurda A başlangıç çizgisinde (0 m), B ise A’nın pozitif hareket yönünde 100 m ileridedir. İkisi aynı anda aynı yönde sabit süratlerle başlıyor: A 10 m/s, B 6 m/s. (0, 220] s aralığında A ile B kaç kez aynı konumda bulunur?
7Çevresi 360 m olan kapalı parkurda iki noktasal işaretçi aynı çizgiden aynı anda aynı yönde, sabit süratlerle başlıyor. Hızlı işaretçinin sürati yavaş olanınkinin tam iki katıdır. İlk pozitif yeniden karşılaşma anında yavaş işaretçi kaç tur atmış olur?
8Aynı çizgiden aynı anda zıt yönlerde başlayan iki noktasal işaretçi, çevresi L olan kapalı parkurda üçüncü kez karşılaştığı anda (başlangıçtaki beraberlik sayılmaz) aldıkları yollar için hangisi doğrudur?
9Çevresi 600 m olan kapalı parkurda A ile B aynı çizgiden aynı anda aynı yönde sırasıyla 9 m/s ve 5 m/s ile başlıyor. Başlangıçtaki beraberlik sayılmamak üzere, (0, H] s aralığında A ile B’nin aynı konumda bulunma sayısı tam 5 olduğuna göre H hangi aralıktadır?
10Çevresi 360 m olan kapalı parkurda B, A’nın pozitif hareket yönünde d m ileridedir (0<d<360). İkisi aynı anda aynı yönde, sabit süratlerle hareket etmeye başlıyor; A daha hızlıdır. A, B’yi ilk kez 20. saniyede, ikinci kez 80. saniyede yakalıyor. d kaç metredir?
Aklında kaldı mı?
Aynı noktadan aynı yönde eşit süratle başlayan iki işaretçiye L/(v−v)uygulanır mı?
Hayır;her anda birlikte kalırlar. İlk izole yeniden karşılaşma veya sonlu olay sayımı modeli oluşmaz;0paydaya bölünmez.
t=kTkarşılaşma listesinde(0,H]ile[0,H]neden farklı sayılabilir?
İkincisi başlangıç0beraberliğini de sayabilir;ilki pozitif zamanları alır. Hbir olay anıysa sağ kapalı uçta alınır. Soru yeniden karşılaşma diyorsa başlangıç ayrıca eklenmez.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.