hepnotBölünebilme: geçerli kalan ve basamakların rolü
Konunun mantığı
Bir A tam sayısını pozitif b tam sayısına bölerken A=bq+r biçimi kullanılır. Bölüm q tam sayı, kalan r ise 0≤r<b koşulunu sağlayan tam sayıdır. Yalnız eşitliği sağlamak yetmez: örneğin bir kalan bölen kadar büyükse içinde bir grup daha vardır. Bu ders böleni pozitif alır; sıfıra bölme yoktur.
Kalan 0 ise b, A’yı tam böler. Negatif bir bölünen için de aynı kalan aralığı kullanılabilir: −17=5×(−4)+3. “Kalan mutlaka bölünenin işaretini taşır” demek bu kabulle yanlıştır. Aşağıdaki basamak kurallarını ise negatif olmayan onluk yazımlı tam sayılarda uygulayacağız; negatif sayının tam bölünmesinde mutlak değere bakılabilir, fakat negatif sayının kalanı doğrudan rakam toplamından alınmaz.
Son basamak kuralları basamak değerinden gelir. N=10 k+u yazıldığında 10 k,2’ye ve 5’e tam bölünür; bu nedenle son rakam u yeterlidir. Böylece 2 için son rakamın çift olması,5 için 0 veya 5 olması gerekir. Benzer biçimde N=100 k+v yazılırsa 100 k,4’ün katıdır;4’e bölünebilmede son iki basamağın oluşturduğu v sayısı yeterlidir.
Rakam toplamı kuralının nedeni 10’un 3’e veya 9’a bölümünde 1 kalanını vermesidir. Basamaklardaki 10,100,1000 gibi çarpanlar 3 veya 9 bakımından rakamı kadar kalana katkı yapar; sayıyla rakamları toplamının kalanı aynıdır. Toplamı bulduktan sonra onu da ilgili bölenle değerlendir; toplamın kendisini her zaman kalan sayma.
Aynı anda iki koşul istenirse ikisini ayrı denetle.3’e bölünmek 5’e bölünmeyi garanti etmez; son basamağın 0 olması da rakam toplamını belirlemez. Bir paketleme sorusunda kalan eşit paylaşılamayan miktardır; tamamlamak için gereken ek miktar, kalan sıfır değilse bölen eksi kalandır. Tam bölünüyorsa ek miktar 0’dır, bir paket daha eklemek gerekmez.
Pozitif b için A=bq+r; q ve r tam sayı,0≤r<b. Tam bölünmede r=0. Negatif olmayan onluk sayılarda 2/5 son basamakla,4 son iki basamakla;3/9 rakam toplamıyla denetlenir. Kalanı paket tamamlama miktarıyla karıştırma.
Adım adım bir örnek
5832 sayısının 3’e tam bölünüp bölünmediğini iki yolla denetleyiniz.
Basamak toplamı
- Rakamları topla:5+8+3+2=18.
- 18,3’ün katı olduğu için 5832 de 3’e tam bölünür.
Sınır: Bu rakam toplamı kuralını her bölen için kullanamazsın; örneğin 4 için farklı kontrol gerekir.
Doğrudan çarpım denetimi
- 5832÷3=1944 hesaplanır.
- 3×1944=5832 ve kalan 0 olduğundan tam bölünme doğrulanır.
Sınır: Daha uzun sayılarda doğrudan işlem daha çok adım gerektirebilir; aynı bölme ilişkisini denetler.
İlk yöntem bölümün değerini bulmadan nasıl karar veriyor? İkinci yöntem ilkine hangi ek bilgiyi sağlıyor?
Hatayı bul
“46=6×6+10 olduğuna göre46’nın6’ya bölümünden kalan10’dur.” iddiasının ilk hatası nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Eşitlik sağlansa da kalanın bölen 6’dan küçük olması koşulunu kontrol etmemek.
10 içinde bir 6 daha vardır:46=6×7+4. Standart bölüm 7,kalan 4 olur;0≤4<6.
Etiketlerin sayısı 527 yerine 531 olsaydı aynı 9’lu kutulama için en az kaç etiket eklenirdi?
531=9×59 zaten tam bölünür; ek miktar 0’dır.9−kalan formülünü kalan 0 durumunda körlemesine uygulayıp 9 ekleme.
Dersin soruları
1137 sayısı 9’a bölünüyor. Pozitif bölen için 0≤kalan<bölen kabulüne göre geçerli bölüm ve kalan ikilisi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?22385;2390;2406;2415;2420 sayılarından kaç tanesi hem 3’e hem 5’e tam bölünür?
Bu soruda hata mı var?3527 etiketin tamamı, her kutuda tam 9 etiket olacak şekilde kutulanacak. Etiket çıkarılmadan ve boş yer bırakılmadan bunu sağlamak için en az kaç etiket eklenmelidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Pozitif bölen için 0≤kalan<bölen kabulüne göre −23 sayısının 6’ya bölümünde geçerli bölüm ve kalan hangisidir?
2Dört basamaklı 73a6 sayısı 4’e tam bölünmektedir. a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
3Dört basamaklı 5a72 sayısı 9’a tam bölünmektedir. a kaçtır?
4204738 sayısının 9’a bölümünden kalan kaçtır?
5Üç basamaklı 5a2 sayısı hem 3’e hem 4’e tam bölünmektedir. a kaçtır?
6315 öğrenci tam 8’erli gruplara ayrılacaktır. Boşta öğrenci kalmaması için gruplamaya katılmayacak en az kaç öğrenci seçilmelidir (öğrenci eklenmeyecek, çıkarılacaktır)?
7432 kalem, her kutuda tam 8 kalem olacak biçimde kutulara yerleştirilecektir. Boş yer bırakmamak için en az kaç kalem eklenmelidir?
81234574 sayısının 4’e bölümünden kalan kaçtır?
9Bir sayı 9’a bölündüğünde bölüm 12 olmaktadır. Kalanın alabileceği en büyük değer için bu sayı kaçtır?
10Dört basamaklı 7a3b sayısı 45’e tam bölünmektedir. a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Aklında kaldı mı?
Bölme eşitliğinin doğru olması kalan için yeterli mi?
Hayır. Pozitif b için A=bq+r yanında q,r tam sayı ve 0≤r<b gerekir. Bu aralık, kalan gösterimini belirler.
9’a bölümde kalan 5 ise bir sonraki tam kutu için her zaman 5 mi eklenir?
Hayır.9−5=4 eklenir. Kalan 0 ise 0 eklenir; kalan ile tamamlama miktarı farklıdır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.