YKS · MATEMATİK

Birim çember: yönlü açıdan koordinata

Q: Birim çemberde P=(x,y) ise sinüs, kosinüs ve tanjant nasıl okunur?

cosθ=x, sinθ=y; x≠0 ise tanθ=y/x. Koordinat sırası (cosθ,sinθ)dir.

Q: cos²θ+sin²θ=1 bağıntısından sinüsün işareti tek başına çıkar mı?

Hayır. Kare büyüklüğü verir; pozitif/negatif işaret için bölge veya konum bilgisi gerekir. Eksen durumunda değer 0 da olabilir.

Bu derste Standart konumlu yönlü açının birim çemberdeki noktasını (cosθ,sinθ) olarak yorumlar. Bölge ve eksen koşulundan trigonometrik işaretleri ve tanjantın tanımlılığını belirler; derece/radyan ayrımını korur.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Birim çemberde izdüşümler, işaretler ve eş bitim noktası. Standart konumlu θ açısının bitim kolu birim çemberi P=(cos θ, sin θ) noktasında keser; yatay izdüşüm cos θ, düşey izdüşüm sin θ ve x²+y²=1. Pozitif yön saat yönünün tersidir. Dört bölgede cos, sin ve tan işaretleri farklıdır; x=0 noktalarında tan θ=y/x tanımsızdır. 140°, −220° ve 500° aynı bitim noktasını verir, sin ve cos aynı kalır. — **Birim çemberde izdüşümler, işaretler ve eş bitim noktası.** Standart konumlu θ açısının bitim kolu birim çemberi P=(cos θ, sin θ) noktasında keser; yatay izdüşüm cos θ, düşey izdüşüm sin θ ve x²+y²=1. Pozitif yön saat yönünün tersidir. Dört bölgede cos, sin ve tan işaretleri farklıdır; x=0 noktalarında tan θ=y/x tanımsızdır. 140°, −220° ve 500° aynı bitim noktasını verir, sin ve cos aynı kalır. Birim çember eşit eksen ölçeğiyle çizilmiştir (1 birim = 90 piksel) ve P noktası 140 derece için hesapla yerleştirilmiştir; yine de çizim ölçüm aracı değildir, yaylar ve etiketler ölçeksiz gösterimdir. Örnek açı bir sayısal sonuç iddiası taşımaz; özel açıların (30, 45, 60 derece) değerleri bu görselde yoktur. Aynı bitim noktası paneli yalnız bu üç açıyı gösterir, bir tam tur ekleme/çıkarma kuralının genel kanıtı değildir.

Birim çember, dik koordinat düzleminde merkezi O=(0,0), yarıçapı 1 olan çemberdir; üzerindeki P=(x,y) noktaları x²+y²=1 koşulunu sağlar. Standart konumlu açının başlangıç kolu pozitif x eksenidir. Pozitif dönüş saat yönünün tersi, negatif dönüş saat yönüdür. Yalnız iki kolun konumunu bilmek kaç tam tur atıldığını söylemez; yönlü açı, dönüş bilgisini de taşır.

Açının bitim kolunun birim çemberi kestiği P noktasında x=cosθ ve y=sinθ tanımlanır; sıralama (cosθ,sinθ)dir. Dik üçgende uzunlukların pozitif olması, koordinatların her bölgede pozitif olması anlamına gelmez. İkinci bölgede x negatif y pozitif; üçüncüde ikisi negatif; dördüncüde x pozitif y negatiftir. Eksen üzerindeki noktaların bir koordinatı sıfır olur ve bu noktalar açık bölgelerin içinde sayılmaz.

Tam tur 360° veya 2π radyandır; 180°=π radyan dönüşümüyle birimler çevrilir. Bu dersteki sayısal sorularda derece işareti kullanılır; radyan örneği ayrıca adlandırılır. θ ile θ+360°k (k tam sayı) aynı bitim noktasına sahip olduğundan sinüs ve kosinüs değerleri aynıdır. Örneğin negatif bir açıyı aynı yönü koruyarak değil, 360° ekleyerek eş konumlu pozitif temsilciye çevirebiliriz; açıların sayısal eşit olduğu değil aynı noktaya vardığı söylenir.

x²+y²=1 denkleminden cos²θ+sin²θ=1 elde edilir. Bir oran biliniyorsa ötekinin büyüklüğü bu bağıntıyla bulunabilir; karekök işareti bölge bilgisiyle seçilmelidir. Sinüsün pozitif olması tek başına kosinüsün işaretini belirlemez; birinci veya ikinci bölge mümkün olabilir. Her iki koordinat −1 ile 1 arasındadır; kareler toplamını, sinθ+cosθ=1 şeklinde okumak yanlıştır.

Tanjant, cosθ≠0 iken tanθ=sinθ/cosθ=y/x olarak tanımlıdır. Bitim kolu y eksenine denk geldiğinde x=0 olur ve tanjant gerçek sayı olarak tanımsızdır; sinüsün ±1 olması bunu değiştirmez. Derecede θ=90°+180°k, radyanda θ=π/2+kπ (k tam sayı) bu dışlanan açılardır. Sıfır olmayan x ile y=0 ise tanjant 0 olabilir; 0ı bir sayıya bölmek ile bir sayıyı 0a bölmek aynı işlem değildir.

KISACA

Standart yönlü açıda P=(cosθ,sinθ), x²+y²=1. Pozitif yön saat tersidir; 360°=2π radyan. Aynı bitim noktasında sin/cos aynı, açıların kendisi farklı olabilir. tanθ=y/x yalnız x≠0 için tanımlı; işaretler bölgeye bağlıdır.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

θ standart konumlu açı, 180°<θ<270° ve cosθ=−8/17. sinθ ve tanθ değerlerini iki temsille bulunuz.

Birim çember denklemi

sin²θ=1−64/289=225/289. Üçüncü bölgede y<0 olduğundan sinθ=−15/17.
tanθ=(−15/17)/(−8/17)=15/8; cosθ sıfır olmadığı için tanımlıdır.

Sınır: Karekökten yalnız pozitif 15/17 seçilemez; üçüncü bölge koşulu işareti belirler.

İzdüşüm ve dik üçgen

P noktasının yatay koordinatı −8/17; orijine uzaklığı 1. Dik izdüşüm üçgeninde yatay uzunluk 8/17 olur.
Düşey uzunluk Pisagorla 15/17dir; P aşağıda olduğundan y=−15/17. İki negatif koordinatın oranı tanθ=15/8.

Sınır: Üçgenin uzunlukları pozitif, noktanın işaretli koordinatları ayrıdır. Bu, aynı Pisagor bağıntısının geometrik temsilidir.

İzdüşüm uzunluğu 15/17 olduğu hâlde sinüs neden negatiftir? Bölge koşulu kaldırılırsa verilen kosinüs sinüsün işaretini tek başına belirler mi?

HATA AVI

Hatayı bul

“270°de cosθ=0 ve sinθ=−1. Tanjant −1/0 olduğundan sonsuzdur ve gerçek sayı olarak tanımlıdır.” İlk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Sıfıra bölmeyi bir gerçek sayı sonucu veren işlem gibi kabul etmek.

tanθ=sinθ/cosθ yalnız cosθ≠0 iken tanımlanır. 270° için tanjant tanımsızdır; “sonsuz” burada bir gerçek sayı değeri değildir.

İkinci bölgede sinθ=7/25 olan birim çember noktası x eksenine göre yansıtılırsa yeni sinüs, kosinüs ve tanjant nasıl olur?

Eski nokta (−24/25,7/25), yeni nokta (−24/25,−7/25) olur. Kosinüs değişmez, sinüs işaret değiştirir; yeni tanjant 7/24tür. Yeni nokta üçüncü bölgededir.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Birim çemberde P=(x,y) ise sinüs, kosinüs ve tanjant nasıl okunur?

cosθ=x, sinθ=y; x≠0 ise tanθ=y/x. Koordinat sırası (cosθ,sinθ)dir.

cos²θ+sin²θ=1 bağıntısından sinüsün işareti tek başına çıkar mı?

Hayır. Kare büyüklüğü verir; pozitif/negatif işaret için bölge veya konum bilgisi gerekir. Eksen durumunda değer 0 da olabilir.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.