hepnotBileşke ve ters fonksiyon: işlem sırası ve alan koşulları
Konunun mantığı
f:A→B gösteriminde A girdilerin tanım, B belirtilen değer kümesidir; gerçekten elde edilen f(A) görüntüsü Bnin içinde kalır. Bileşkede bu ayrım önemlidir: bir fonksiyonun çıktısı, sıradakinin kabul ettiği girdiye dönüşür. g:C→D ise g∘f ifadesini bütün A üzerinde kullanmak için f(A)⊆C gerekir. Bu sağlanmıyorsa yalnız A içinde f(x)∈C olan girdilerde bileşke tanımlanabilir; bu kısıt açık yazılır. Bütün Bnin C içinde olması yeterli bir yoldur ama gerçek görüntü daha küçükse gereğinden güçlü bir koşul olabilir.
(g∘f)(x)=g(f(x)) yazımında önce sağdaki/içteki f uygulanır, sonra g. Bileşke, f ile gnin çarpımı değildir; sırası da genel olarak değiştirilemez. Bazı özel fonksiyonlarda iki sıra aynı sonucu verebilir, fakat bu genel bir değişme kuralı değildir. İşlem yalnız cebirsel açma değildir: f(x) sonucu gnin tanım kümesi dışında kalırsa sayı hesabını sürdürmek geçersizdir. Örneğin karekök veya paydalı kural varsa ara girdinin koşulları ayrıca kontrol edilir.
Bir f:A→B fonksiyonunun bütün B üzerinde bir ters fonksiyonu olması, her y∈B için onu üreten tam bir x∈A bulunmasını gerektirir. Hiç ön görüntü olmaması örtenlik eksikliği, birden fazla ön görüntü olması bire birlik eksikliğidir. İki koşul birlikte sağlanırsa f⁻¹:B→A yazılır. Yalnız bire bir bir f için B görüntüye daraltılarak ters kurulabilir; fakat bu değişiklik özgün değer kümesi üzerinde ters varmış gibi gizlenmez. Fonksiyonun tanımı küme ve kuralı birlikte içerir.
Ters bulurken y=f(x) eşitliğinde x, y cinsinden çözülür; eldeki kuralın alanları geri yazılır. Ters göstergesi −1, çarpımsal ters anlamına gelmez: f⁻¹(y) genel olarak 1/f(y) değildir. Ters bağıntıda girdiyi çıktıyla yer değiştirmek ancak varlık/tek değer koşulları korunuyorsa ters fonksiyon verir. Son kontrol f⁻¹(f(x))=x için x∈A, f(f⁻¹(y))=y için y∈Bdir. Birkaç örnek hesap genel ispatın yerine geçmez; açık cebir ve alan koşulları gerekir.
x² kuralı tanım kümesine göre farklılaşır. ℝ→[0,∞) üzerinde örten ama bire bir değildir: a ve −a, a≠0 için aynı kareyi verir. [0,∞)→[0,∞) üzerinde aynı kuralın tersi √y; (−∞,0]→[0,∞) üzerinde tersi −√ydir. √y ana, negatif olmayan kökü gösterir. Her iki dalı ±√y diye tek girdiye iki çıktı veren bir ters fonksiyon yapamayız. Negatif olmayan yye hangi dalın döneceğini özgün tanım kümesi belirler; alanı yazmadan sadece karekök almak çözümü tamamlamaz.
g∘f önce f sonra gdir; f(x), gnin tanımında olmalı. f:A→Bnin bütün B üzerinde tersi için bire bir ve örtenlik gerekir; f⁻¹:B→A ve 1/f farklıdır. x²nin tersinde karekök dalını özgün tanım kümesi belirler.
Adım adım bir örnek
f:ℝ→ℝ, f(x)=x−4 ve g:ℝ→[0,∞), g(x)=x² için (g∘f)(2) ile (f∘g)(2) değerlerini iki temsille bulunuz.
İçten dışa yerine koyma
- g(f(2))=g(−2)=4. Ara değer −2, gnin tanımında ℝdedir.
- f(g(2))=f(4)=0. Ara değer 4, fnin tanımında ℝdedir.
Sınır: İki bileşke de bu alanlarda tanımlıdır. Bu örneğin farklı sonuç vermesi değişmenin genel kural olmadığını gösterir; her özel çiftin farklı olmasını gerektirmez.
İşlem zinciri
- Birinci sıra: 2 → 4 çıkar → −2 → kare al → 4.
- İkinci sıra: 2 → kare al → 4 → 4 çıkar → 0.
Sınır: Aynı işlemlerin ikinci temsilidir; fnin veya gnin bütün alanlarında ters fonksiyonu bulunduğunu göstermez.
g negatif girdiyi kabul etmeseydi ilk zincirde hangi ara değer için alan kontrolü yeniden gerekli olurdu?
Hatayı bul
“f:ℝ→[0,∞), f(x)=x² için y=x²den x=√y buldum; bu, verilen fonksiyonun tersidir.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Özgün fonksiyonun bire bir olmamasını ve negatif girdilerin de aynı çıktıyı üretmesini atlamak.
Örneğin f(2)=f(−2)=4; bütün ℝ tanımında tek ters çıktı seçilemez. Tanım [0,∞)ye kısıtlanırsa √y, (−∞,0]ye kısıtlanırsa −√y ters olur; bu kısıtlar yeni tanım bilgisidir.
Üçüncü soruda hnin tanımı (−∞,0] yerine [0,∞) yapılır, değer kümesi [0,∞) kalırsa tersin alanı ve kuralı nasıl değişir?
Tersin tanımı yine [0,∞)dir; özgün girdi dalı pozitif olduğu için kural √y olur. Negatif işaretli dal bu yeni tanıma dönmez; iki dal birlikte alınmaz.
Dersin soruları
1f:ℝ→ℝ, f(x)=2x−5 ve g:ℝ→[1,∞), g(x)=x²+1 veriliyor. (f∘g)(−2) kaçtır?
Bu soruda hata mı var?2f:ℝ→ℝ, f(x)=7−3x bire bir ve örtendir. f⁻¹(−8) kaçtır?
Bu soruda hata mı var?3h:(−∞,0]→[0,∞), h(x)=x² veriliyor. h⁻¹in tanım kümesi ve kuralı hangi seçenekte birlikte doğrudur?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1f:ℝ→ℝ, f(x)=x+3 ve g:ℝ→ℝ, g(x)=2x−1 veriliyor. g∘f bileşkesinin kuralı hangisidir?
2Bir mesafe ölçer önce f:ℝ→ℝ, f(x)=x−3 kuralıyla düzeltme yapıyor, sonuçları yalnız negatif olmayan girdileri kabul eden g:[0,∞)→ℝ, g(t)=2t+1 kuralına aktarıyor. g∘f’nin en geniş tanım kümesi hangisidir?
3Bir lojistik depoda dört paket kodu f ile bir rafa gönderilir: f(K1)=R1, f(K2)=R2, f(K3)=R2, f(K4)=R3. Raf bilgisi g ile işlenir; g yalnız R1 ve R2 raflarında tanımlıdır (g(R1)=x, g(R2)=y). g∘f kaç paket kodu için tanımlıdır?
4Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin belirtilen tanım ve değer kümeleri üzerinde ters fonksiyonu vardır?
5Bir ısı dönüştürücü f:ℝ→ℝ, f(x)=(2x−1)/3 kuralıyla çalışıyor ve bire bir ve örtendir. f⁻¹’in kuralı hangisidir?
6f:ℝ→ℝ, f(x)=x+5 ve g:ℝ→ℝ, g(t)=3t veriliyor; f bire bir ve örtendir. (g∘f⁻¹)(11) kaçtır?
7Bir atölyede dört kalıp (1, 2, 3, 4) üç ürün koduna (p, q, r) üretim yapar: f(1)=p, f(2)=q, f(3)=r, f(4)=q ve f:{1,2,3,4}→{p,q,r}. f için hangi ifade doğrudur?
8m:(−∞,0]→[4,∞), m(x)=x²+4 fonksiyonu bire bir ve örtendir. m⁻¹(13) kaçtır?
9f:[a, ∞)→[0, ∞), f(x)=(x−3)² fonksiyonunun bu kümeler üzerinde ters fonksiyonu olması isteniyor. a kaç olmalıdır?
10k:ℝ→[0,∞), k(x)=(x−2)² verilsin. h:[2,∞)→[0,∞), h(x)=(x−2)² fonksiyonu k’nin kısıtlamasıdır ve bire bir ve örtendir. (h⁻¹∘k)(−1) değeri ve h⁻¹’in tanım kümesi hangi seçenekte birlikte doğrudur?
Aklında kaldı mı?
g∘f için ara çıktı ve genel alan koşulu nedir?
Önce f uygulanır; g(f(x)) için f(x), gnin tanımında olmalıdır. Bütün A üzerinde bileşke için f(A)⊆Dom(g) gerekir; yoksa geçerli girdiler açıkça kısıtlanır.
f:A→Bnin bütün B üzerinde ters fonksiyonu hangi iki koşulla kurulur?
Bire bir ve örten olmalı; her y∈Bnin tam bir ön görüntüsü vardır. Ters B→Adır. B görüntüden büyükse bire birlik tek başına bütün Bde ters sağlamaz.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.