hepnotRasyonel bileşkede ortak koşullar ve sadeleşen yasak girdiler
Konunun mantığı
f içte,g dışta ise h=g∘f için geçerli girdiler D={x∈Dom(f):f(x)∈Dom(g)} kümesidir. İki koşul aynı girdide birlikte sağlanır. Bu küme genellikle Dom(f) ile Dom(gnin) doğrudan kesişimi değildir; dış fonksiyon x değil,f(x) girdisini alır. Değer kümesi görüntüden geniş olabilir; bütün değer kümesini dış alana sokmak yeterli olabilir ama gerçek iç görüntünün uygunluğu asıl gerektir. Bu ders genel bileşke tanıtımını değil, rasyonel kuralların alanını çözmeyi derinleştirir.
İlk satıra iç fonksiyonun başlangıç yasaklarını yaz. Örneğin payda x−a ise x=a önce dışlanır. Sonra dış kuralda payda t−b ise f(x)≠b şartını kur. f(x)=b denklemini yalnız başlangıç iç alanında çöz; bulunan aday zaten yasaksa ikinci bir geçerli girdi çıkarılmış olmaz. Payda çarpanları veya açık alan kısıtları birden fazla olabilir. Dış kuralın yasak sayısı b, otomatik olarak bileşkenin yasak girdisi x=b demek değildir.
Sadeleştirme, işlemin tanımlı olduğu girdilerde eşit kural verir; fonksiyonun alanını kendiliğinden büyütmez. İç kural tanımsızken son sade ifade bir sayı veriyorsa o sayı özgün bileşkenin değeri değildir. Daha geniş alanlı aynı formülü yeni bir fonksiyon olarak tanımlamak mümkündür ama bu bir genişletmedir; eski fonksiyonla alanları farklıdır. Bu ayrım özellikle iç rasyonel paydanın son ifadede paya geçmesi veya tamamen yok olması durumunda görünür.
Gerekli koşulları bulmak kadar yeterli olduklarını da açıkla: listelenen yasaklar dışında iç kural tanımlı ve iç çıktı dış kuralda kabul ediliyor olmalıdır. Bu iki denetim genel x için cebirle yapıldığında tam alan elde edilir. Birkaç sayıda başarılı hesap bütün gerçekler için ispat değildir; tek bir yasak noktadaki başarısızlık ise o noktayı dışlamak için yeterlidir. Cebirde paydayla çarparken o paydanın sıfır olmadığı önceki satırda korunur.
Tanım alanı soruda bir aralıkla daraltılmışsa formülün doğal alanı ile o verilen alan birlikte kullanılır. Bir yasak adayın aralığın dışında kalması alanı daha da küçültmez. Sıra değişince iç fonksiyon ve ara çıktı koşulu değişir; yalnız son formülü ters sıraya kopyalayamayız. Bu dar derste bütün köklü/logaritmalı bileşke veya bütün fonksiyon işlemleri tamamlanmaz; kaynak örneklerinin sayıları değiştirilerek yeni soru üretilmemiştir.
Dom(g∘f)={x∈Dom(f):f(x)∈Dom(g)}. İç payda yasaklarını önce kaydet;dış yasağı ara çıktı üzerinden çöz. Sadeleşen ifade,eski yasak girdiye kendiliğinden değer kazandırmaz.
Adım adım bir örnek
f:ℝ∖{2}→ℝ,f(x)=(x+1)/(x−2); g:ℝ∖{3}→ℝ,g(t)=1/(t−3). h=g∘f bileşkesini geçerli girdilerde tanımlıyoruz. Sade kuralını ve tam alanını bulun;son formülün x=2de sayı vermesini yorumlayın.
İç alanı kaydet,dış paydayı çöz
- İç f için x≠2. Ayrıca f(x)≠3; x≠2 koşuluyla x+1≠3(x−2),yani x≠7/2.
- h(x)=1/[(x+1)/(x−2)−3]=(x−2)/(7−2x),yalnız x∉{2,7/2}.
- Sade formül x=2de0verse de f(2)yok;h(2)tanımsız kalır.
Sınır: Sadeleştirme x≠2 altında yapıldı;son paydanın tek yasağı bütün asıl alanı tek başına vermez.
Dış yasağın geçerli ön görüntüsünü çıkar
- Başlangıç iç alanı Df=ℝ∖{2}. Dışarıdaki3sayısının f içindeki ön görüntüsünü ara.
- f(x)=3 denklemi x=7/2 verir;bu iç alandadır. Bu girdiyi Dfden çıkar.
- Kalan bütün xlerde hem f paydası hem g(f(x))paydası sıfır değil;alan ℝ∖{2,7/2}. Bu yeterlilik kontrolü genel x içindir.
Sınır: Ön görüntü yaklaşımı aynı alan tanımının küme temsilidir;yalnız seçili örnek taraması genel ispat yapılmadı.
Sadece (x−2)/(7−2x) formülünün doğal alanını seçmek hangi girdiyi yanlışlıkla ekler?
Hatayı bul
“İç fonksiyonun paydası bileşkeyi açınca sadeleşti;artık ilk yasak noktayı geri alabilirim.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Eşit kuralın yalnız önceki geçerli alan üzerinde türetildiğini unutup yeni formülün doğal alanını eski bileşkenin alanı saymak.
Bileşke için önce iç kural hesaplanabilmeli. İçte çıktı yoksa sonra g uygulanamaz. Aynı sade formülü daha geniş alanla ayrıca tanımlamak yeni bir fonksiyondur;eski bileşkenin kendiliğinden genişlemesi değildir.
Çalışılmış faynı kalsın;dış kural g(t)=1/(t−1)olsun. Geçerli iç alanda f(x)=1mümkün mü;bu durumda yeni bileşke alanı ve kuralı ne olur?
x≠2altında x+1=x−2eşitliği1=−2çelişkisi verir;f(x)=1hiç yok. Dış yasağın ön görüntüsü boş,alan yalnızℝ∖{2}. Yeni kural1/[(x+1)/(x−2)−1]=(x−2)/3,ama x=2geri alınmaz. Bu genişlemeyi sade formül değil,iki gerçek koşulun çözümü verir.
Dersin soruları
1f:ℝ∖{−2}→ℝ,f(x)=1/(x+2); g:ℝ∖{4}→ℝ,g(t)=t/(t−4). h=g∘f geçerli girdilerde tanımlanıyor. (h kuralı;tam tanım alanı) hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2f:[0,∞)∖{1}→ℝ,f(x)=1/(x−1); g:ℝ∖{−2}→ℝ,g(t)=t/(t+2). g∘f için tam tanım kümesi hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3f:ℝ∖{1}→ℝ,f(x)=(x²−1)/(x−1); g:ℝ∖{1}→ℝ,g(t)=1/(t−1). h=g∘f için bir öğrenci “f=x+1,bu yüzden h=1/x;h(1)=1” yazıyor. En uygun düzeltme hangisidir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Kurmaca bir veri dönüştürücüde birinci aşama f:ℝ∖{3}→ℝ, f(x)=4/(x−3); ikinci aşama g:ℝ∖{2}→ℝ, g(t)=1/(t−2) kuralıdır ve zincir h=g∘f olarak çalışır. x=3 dışında h’nin tanımsız kaldığı bir girdi daha vardır. Bu girdi kaçtır?
2Kurmaca bir sensörün ham ölçümü f:[−2,4]∖{1}→ℝ, f(x)=3/(x−1) ile dönüştürülüyor; ardından g:ℝ∖{−1}→ℝ, g(t)=1/(t+1) uygulanıyor. h=g∘f için tam tanım kümesi hangisidir?
3f:ℝ∖{−3}→ℝ, f(x)=2x/(x+3) ve g:ℝ∖{2}→ℝ, g(t)=1/(t−2) veriliyor. Bir öğrenci h=g∘f ifadesini sadeleştirip h(x)=−(x+3)/6 buluyor. h=g∘f için tam tanım kümesi hangisidir?
4f:ℝ∖{3}→ℝ, f(x)=(x²−9)/(x−3) ve g:ℝ∖{6}→ℝ, g(t)=1/(t−6) veriliyor. h=g∘f için hangi ifade doğrudur?
5Kurmaca bir çeviri programında önce g, sonra f çalışır: g:ℝ∖{2}→ℝ, g(t)=1/(t−2) ve f:ℝ∖{1}→ℝ, f(x)=1/(x−1). k=f∘g bileşkesinin tam tanım kümesi hangisidir?
6f:ℝ∖{2}→ℝ, f(x)=(x²−4)/(x−2) ve g:ℝ→ℝ, g(t)=t+1 için h=g∘f yazılıyor. Bir öğrenci sadeleştirip h(x)=x+3 buluyor ve p:ℝ→ℝ, p(x)=x+3 fonksiyonunu tanımlıyor. h ile p için hangi ifade doğrudur?
7f:ℝ∖{5/2}→ℝ, f(x)=3/(2x−5) ve g:ℝ∖{6}→ℝ, g(t)=1/(t−6) veriliyor. Bir öğrenci h=g∘f için x=0, 1, 2 ve 3 girdilerini tek tek deniyor ve dördünde de h(x) sayısını buluyor. Bu denemeler ve cebirsel çözüm birlikte değerlendirilirse hangi ifade doğrudur?
8f:ℝ∖{0}→ℝ, f(x)=1/x² ve g:ℝ∖{4}→ℝ, g(t)=1/(t−4) veriliyor. Bir öğrenci h=g∘f ifadesini h(x)=x²/(1−4x²) olarak sadeleştiriyor. h=g∘f için tam tanım kümesi hangisidir?
9f:ℝ∖{1}→ℝ, f(x)=1/(x−1) ve g:ℝ∖{3}→ℝ, g(t)=1/(t−3) kuralları veriliyor. −2≤x≤4 aralığındaki tam sayı girdilerden kaç tanesi için g∘f tanımlı fakat f∘g tanımsızdır?
10Bir ölçüm tablosunda girdi yalnız f:[0,20]→ℝ, f(x)=x² kuralıyla işleniyor; sonuç g:ℝ∖{4}→ℝ, g(t)=1/(t−4) kuralından geçiyor. h=g∘f için tam tanım kümesi hangisidir?
Aklında kaldı mı?
Bileşke alanı neden doğrudan Dom(f)∩Dom(g)değildir?
Dış fonksiyon xin kendisini değil f(x)ara çıktısını kabul eder. Koşul x∈Dom(f)ve f(x)∈Dom(g);bu ikinci koşul xüzerinde çözülmelidir.
Dış kuralın yasak sayısının ön görüntüsü zaten iç alanda yasaksa ne olur?
Zaten çıkarılmış noktayı ikinci kez yeni kayıp gibi saymayız. Dış yasağın geçerli iç alandaki ön görüntüsü çıkarılır;asıl yasak her durumda korunur.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.