YKS · MATEMATİK

Basit olasılık: neyi sayıyoruz, neden eş olasılıklı?

Bu derste Deneyin örnek uzayını ve olayını ayırıp eş olasılıklı sonlu modelde uygun çıktı oranını bulur. Tümleyen ve ayrık birleşim kurallarını uygular; etiket sayısının tek başına eş olasılık sağlamadığını açıklar.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Basit olasılık: eş olasılıklı çıktıları say. Üç panel: (1) 4 A, 3 B, 5 C etiketli 12 eş seçilen kart, P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(C)=5/12, P(A veya B)=7/12; (2) A=180°, B=90°, C=90° ideal çarkta P(A)=1/2, P(B)=P(C)=1/4, yani eşit olan etiketler değil açı payları; (3) 1–9 eş olasılıklı seçimde "en az 3" olayı için 7/9 ve tümleyen 2/9 ile 1−2/9=7/9. — **Basit olasılık: eş olasılıklı çıktıları say.** Üç panel: (1) 4 A, 3 B, 5 C etiketli 12 eş seçilen kart, P(A)=1/3, P(B)=1/4, P(C)=5/12, P(A veya B)=7/12; (2) A=180°, B=90°, C=90° ideal çarkta P(A)=1/2, P(B)=P(C)=1/4, yani eşit olan etiketler değil açı payları; (3) 1–9 eş olasılıklı seçimde "en az 3" olayı için 7/9 ve tümleyen 2/9 ile 1−2/9=7/9. Teorik hesaptır; gerçek deney, ölçüm veya sıklık verisi değildir. Eş seçilim ve ideal çarkta düzgün durma açısı varsayımına dayanır; kartlar ya da sektörler orantılı alan çiziminin ölçeğinde değildir, yalnız çark sektörleri verilen açılara göre çizilmiştir. Birden fazla deneme, bağımsızlık ve çarpma kuralı kapsam dışıdır; kısa dönem gözlenen sıklığın model olasılığıyla aynı olacağı iddia edilmez.

Bir deneyin mümkün çıktılarının kümesine örnek uzay E, bunun alt kümesine olay denir. Örneğin bir numara seçimi deneyinde çıktı seçilen tek numara; bir olay ise belirli koşulu sağlayan numaraların kümesi olabilir. Örnek uzayı değiştirmeden hangi çıktı düzeyini saydığını açıkla: tek tek kartlar ile kart üstündeki renk etiketleri aynı sayıda eleman vermeyebilir.

Sonlu E içindeki bütün temel çıktılar eş olasılıklıysa P(A)=s(A)/s(E) kullanılır. Bu oran yalnız sayma kolaylığı değildir; eş olasılıklı model koşulunu taşır. Bir kutuda üç renk bulunması renklerin her birinin 1/3 olasılıklı olduğunu göstermez. Renklerin kart sayısı farklı olabilir; kartlar da seçim mekanizması nedeniyle farklı olasılıklar taşıyabilir.

Olasılık 0 ile 1 arasındadır; bütün örnek uzayın olasılığı 1, boş olayın olasılığı 0 dır. A’nın tümleyeni A′, aynı örnek uzay içinde A dışında kalan çıktılardır. P(A′)=1−P(A)olur. Özellikle olayı doğrudan saymak uzunsa dışarıda kalanları saymak daha kısa olabilir; tümleyen farklı bir deneyin sonucu değildir.

A ve B ayrık olaylarsa ortak çıktı yoktur; P(A∪B)=P(A)+P(B). Ortak çıktılar varsa bu toplam kesişimi iki kez içerir, P(A∩B)bir kez çıkarılır. Ayrık olmayı bağımsızlıkla aynı kavram sanma. Burada yalnız bir deneyin olaylarını birleştiriyoruz; birden fazla denemede çarpma kuralı için gerekli ek koşulları varsaymıyoruz.

Modelin olasılığı ile deneyde gözlenen kısa dönem sıklığı aynı olmak zorunda değildir. Bir olasılığı 1/2 bulmak, iki denemenin mutlaka birinde olayın olacağı sözünü vermez. Bu pakette yapılmış deney veya ölçüm raporu yok; verilen eş seçilim ya da ideal açısal model varsayımlarından teorik hesap yapıyoruz. Varsayım değişirse çıktı oranı yeniden kurulmalıdır.

KISACA

Olay örnek uzayın alt kümesidir. P(A)=uygun çıktı/tüm çıktı oranı, sonlu ve eş olasılıklı temel çıktılar için geçerlidir. Tümleyen 1−P(A); ayrık birleşim olasılıkları toplar. Üç etiket bulunması tek başına her etikete 1/3 olasılık vermez.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Bir model 1 ile 9 arasındaki tam sayılardan her birini eş olasılıkla seçiyor. Seçilen sayının en az 3 olması olasılığını iki yolla bulunuz.

Uygun çıktıları doğrudan say

E={1;2;3;4;5;6;7;8;9};9 eş olasılıklı çıktı.
A={3;4;5;6;7;8;9} olduğundan P(A)=7/9.

Sınır: Seçim eş olasılıklı olduğu açıkça verilmiştir; sayının büyüklüğü olasılık ağırlığı değildir.

Tümleyeni kullan

En az 3 olmayan çıktılar 1 ve 2 dir; tümleyende 2 çıktı vardır.
P(A)=1−2/9=7/9.

Sınır: Tümleyen aynı 1–9 örnek uzayına göre alınır; başka tam sayıları dahil etme.

İki yaklaşım neden aynı örnek uzayın dokuz çıktısını kullanıyor? Sayı seçimi eş olasılıklı olmasaydı yalnız 7 ve 9 sayıları yeterli olur muydu?

HATA AVI

Hatayı bul

“Bir kutuda kırmızı,mavi,yeşil üç renk var; hangi nesnenin seçilme şansı ne olursa olsun kırmızı olasılığı1/3tür.” açıklamasının ilk hatası nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Farklı etiket sayısını eş olasılıklı temel çıktı sayısı sanmak ve seçim mekanizmasını yok saymak.

Önce hangi nesnelerin mümkün ve hangi olasılıklarla seçildiğini bilmek gerekir. Nesneler eş seçiliyorsa bile renk olasılığı o renkteki nesne sayısına bağlıdır.

Çarkta A sektörü 120°, B ve Csektörleri de 120°olur ve eş açısal model korunursa P(A)nasıl değişir?

P(A)=120/360=1/3 olur. Üç etiketin eş olasılıklılığı bu kez etiket sayısından değil eşit açısal paylardan gelir.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

P(A)=s(A)/s(E)oranını ne zaman doğrudan kullanırız?

E sonlu ve her temel çıktı eş olasılıklıysa. Sadece farklı etiketlerin sayısını bilmek bu koşulu sağlamaz.

Ayrık iki olayın birleşimi ile bir olayın tümleyeni nasıl hesaplanır?

A∩B=∅ise P(A∪B)=P(A)+P(B). Aynı örnek uzayda P(A′)=1−P(A). Ortak çıktı varsa birleşimde ortak olasılık bir kez çıkarılır.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.