Basit ve bileşik faiz: dönem oranı hangi tabana uygulanıyor?

Konunun mantığı

Bu ders kurmaca bir matematiksel modeldir; gerçek bir hesap ürünü, güncel oran, getiri beklentisi veya tavsiye içermez. A>0 başlangıç ana parasıdır. r, bir dönem için verilen oranın ondalık biçimidir: dönemlik %4 için r=0,04. n, tamamlanmış dönem sayısıdır ve pozitif tam sayıdır. Oran ile dönem aynı birimde olmalıdır: oran 3 aylık dönem için verilmişse n de 3 aylık dönemlerle sayılır. Ara yatırma, çekme, vergi, kesinti veya ücret yoktur. Yüzde çarpanı ile aritmetik ve geometrik dizinin genel terimi önkoşuldur; burada yeniden öğretilmez, iki modeli ayırmak için kullanılır.

Basit modelde her dönemin faizi aynı tabana, başlangıç ana parası A’ya uygulanır. Her dönem A·r kadar faiz oluşur; önceki dönemlerde biriken faiz sonraki faizin tabanına girmez. n dönem sonunda toplam faiz n·A·r, toplam ise A+nAr=A(1+nr) olur. Dönem sonu toplamları A, A+Ar, A+2Ar, … biçiminde her dönem aynı Ar kadar artar; bu, ortak farkı Ar olan aritmetik ilerlemedir. Buradaki n bir üs değil, aynı faiz miktarının kaç kez eklendiğidir.

Bileşik (kapitalizasyonlu) modelde her dönemin sonunda o dönemin faizi toplama eklenir ve sonraki dönemin tabanı bu yeni toplam olur. Tₖ, k dönem sonundaki toplam ve T₀=A ise Tₖ₊₁=Tₖ+Tₖ·r=Tₖ(1+r) olur. Her dönem aynı 1+r çarpanı uygulandığından n dönem sonra Tₙ=A(1+r)ⁿ bulunur. Bu, ardışık yüzde artışında çarpanları çarpma kuralının aynı çarpanla tekrarıdır; toplamlar ortak oranı 1+r olan geometrik ilerleme oluşturur. Başlangıç T₀ olarak sayıldığı için n dönemde n çarpan vardır; dizilerdeki a₁ başlangıçlı r^(n−1) yazımıyla indis kaydırmasını karıştırma.

İki model ilk dönemde aynı sonucu verir: A(1+r). Fark ikinci dönemde başlar. k. dönemin faizi basit modelde Ar, bileşik modelde Tₖ₋₁·r olur. r>0 ve k≥2 için Tₖ₋₁>A olduğundan bileşik modelin o dönemki faizi daha büyüktür; ek kısım, önceki dönemlerde tabana eklenmiş faizin faizidir. Bu yüzden r>0 ve n≥2 için A(1+r)ⁿ>A(1+nr) olur. İki dönemde fark tam olarak A·r², üç dönemde A(3r²+r³) kadardır. Bileşik modelde toplam artış oranı n·r değil, (1+r)ⁿ−1’dir.

Son toplam ve model biliniyorsa başlangıç, son değeri modelin çarpanına bölerek bulunur: basitte A=T/(1+nr), bileşikte A=T/(1+r)ⁿ. Son değerden yüzde çıkarmak bu işlemi tersine çevirmez; çünkü artışlar başka tabanlar üzerinden yapılmıştır. Dönem sayısını ay veya yıl sayısıyla karıştırma: önce verilen oranın hangi döneme ait olduğunu yaz, sonra süreyi o dönemle say. Tamamlanmamış dönem, oranın başka döneme dönüştürülmesi veya sürekli birleşme bu dersin modeline dahil değildir; böyle bir kural soruda açıkça verilmedikçe kullanılmaz.

Adım adım bir örnek

Kurmaca bir modelde A=5000 birim, dönemlik oran %10 ve süre 3 dönemdir; ara yatırma veya çekme yoktur. Basit ve bileşik modellerin 3. dönem sonu toplamlarını ve aralarındaki farkı iki yolla bulunuz.

İkinci dönemde bileşik modelin faizi neden 500 değil 550’dir? Ek 50 hangi tutarın faizidir ve 3. dönemde bu ek neden büyür?

Hatayı bul

Bir öğrenci “Dönemlik %10 bileşik modelde 3 dönemde toplam artış %30’dur; çünkü her dönem %10 eklenir.” diyor. İlk hata nedir?

Dersin soruları

Kendini dene

Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.

Aklında kaldı mı?