hepnotAsal çarpan ve bölen yapısı: EBOB–EKOK ortak koşulları
Konunun mantığı
Bu derste bölenler, EBOB ve EKOK için sayılar pozitif tam sayıdır. Asal sayı 1’den büyük olup tam iki pozitif böleni bulunan sayıdır: 1 ve kendisi. 1 yalnız bir pozitif bölenli, 0 ise her pozitif tam sayıya bölünebildiği için asal değildir. 2 çift olan tek asaldır; tek olmak asal olmaya yetmez. Her N>1 pozitif tam sayı, asal çarpanlarının kuvvetleri olarak yazılır; aynı asalın tekrarları üste toplanır ve sıralama dışında bu ayrışım tektir. 1 için asal çarpan yoktur.
N=p₁^α₁···pᵣ^αᵣ biçiminde, p değerleri farklı asallar ve α değerleri pozitif tam sayılar olsun. Pozitif bölen d, her asal için 0 ile α arasından bir üs seçilerek elde edilir; başka asal eklenemez. Ayrışımın tekliği sayesinde farklı üs seçimleri farklı bölenler verir; dolayısıyla bölen sayısı (α₁+1)···(αᵣ+1). Bu, farklı asal bölen sayısı r ile aynı değildir. N=1 özel durumda tek pozitif böleni 1’dir. Bir bölenin belirli bir sayının katı olması istenirse ilgili üslerin alt sınırları yükselir; bütün bölenler sayılmaz.
İki pozitif tam sayının EBOB’u ortak pozitif bölenlerin en büyüğü, EKOK’u pozitif ortak katların en küçüğüdür. Her asalın üssü, sayıda yoksa 0 alınır. EBOB için iki üssün küçüğü gerekir: ortak bölen, iki sayının da üs sınırını aşamaz. EKOK için büyüğü gerekir: ortak kat, her iki sayının gerekli üslerini taşımalıdır. Bu gerekçe yalnız ezber bir küçük/büyük kuralı değil, bölen ve kat koşullarının kendisidir. Aralarında asal demek EBOB=1 demektir; iki sayının da tek başına asal olması gerekmez.
İki pozitif tam sayıda EBOB(a,b)·EKOK(a,b)=ab olur. Çünkü her asal için min(α,β)+max(α,β)=α+β; çarpımdaki bütün üsler eşleşir. Bu iki sayılık çarpım kuralını üç sayıya aynen taşımayız. EBOB g ve EKOK L ise g her sayıyı böler, her sayı L’yi böler ve g de L’yi böler. Çarpım bağıntısı eksik sayıyı aday olarak verebilir ama verilen g ve L ile gerçekten uyumlu olduğunu ayrıca denetlemek gerekir; gerekli bir eşitlik tek başına yeterli koşul değildir.
a=gu, b=gv yazıldığında EBOB(a,b)=g olması için u ile v aralarında asal olmalıdır. Bu koşul altında EKOK=g·u·v, dolayısıyla uv=L/g olur; çarpan çiftlerini bu ek koşulla seçebiliriz. EBOB’u bulmak için asal ayırmanın yanında Öklid bölme yöntemi de kullanılabilir: a=bq+r ise ortak bölenler, b ile r’nin ortak bölenleriyle aynıdır; sıfır kalanına kadar sürdürülür. Sonlu aday taraması belirli soruyu denetler; bütün pozitif tam sayılar için bağıntının gerekçesi yukarıdaki asal üs/ortak bölen çözümlemesidir. Bu giriş bütün sayı teorisi alt konularını tamamlamaz.
Asal: 1’den büyük, tam iki pozitif bölenli; 0 ve 1 asal değil. Bölenler asal üs seçimleridir. EBOB min, EKOK max üs kullanır. İki pozitif sayıda ab=gL gerekli bağıntısı, ortak koşulların ayrıca denetimini kaldırmaz.
Adım adım bir örnek
96 ve 168 pozitif tam sayılarının EBOB ve EKOK değerlerini bulun; ortak olmayan asalın EKOK’a nasıl katıldığını açıklayın.
Asal üsleri karşılaştırma
- 96=2⁵·3 ve 168=2³·3·7. 7 için ilk sayının üssü 0’dır.
- EBOB=2³·3=24. Ortak bölen 7 çarpanını içeremez.
- EKOK=2⁵·3·7=672; bu sayı hem 96 hem 168’in katıdır.
Sınır: Yalnız ortak asalları EKOK’a almak eksiktir; her sayının bütün gerekli çarpanları bulunmalıdır.
Öklid yöntemi ve iki sayılık çarpım
- 168=96+72; 96=72+24; 72=3·24+0. Son sıfır olmayan kalan 24, EBOB’dur.
- İki pozitif tam sayıda EKOK=(96·168)/24=672.
- Kontrol: 672/96=7 ve 672/168=4 pozitif tam sayıdır.
Sınır: Öklid adımında bölen-kalan ortak bölenleri korur. ab/EBOB bağıntısı bu iki sayılık problem içindir; üç sayıya doğrudan uygulanmaz.
Asal üs yöntemi neden 7’yi EBOB’dan çıkarıp EKOK’a alıyor? Öklid yöntemi aynı ortak bölenleri hangi eşitliklerle koruyor?
Hatayı bul
Bir öğrenci “EBOB(48,b)=12 ve EKOK(48,b)=180 için 48b=12·180, b=45. Eşitlik sağlandığına göre iki koşul da tamam” diyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: EBOB·EKOK=ab gerekli koşulunu, istenen EBOB/EKOK değerlerini garanti eden yeterli koşul saymak.
48,180’i bölmediği için bu EKOK olamaz. Aday45 ile EBOB3 ve EKOK720 çıkar; istenen12/180 değildir. Aday üretmekle bütün koşulları doğrulamak ayrıdır.
İki sayılık ab=EBOB·EKOK eşitliğini üç sayıya aynen uygulasak doğru olur mu? 4,6,9 üçlüsüyle denetle ve asal üs açısından nedenini söyle.
EBOB(4,6,9)=1 ve EKOK=36; çarpımları36 iken4·6·9=216. İki sayıda min+max, iki üssün toplamıdır; üç sayıda ortanca üs de toplamda yer alır ve min+max bunu kapsamaz. Karşı örnek genel iddiayı çürütür, bütün üçlüler için yeni bir çarpım kuralı kanıtlamaz.
Dersin soruları
1N=2⁴·3²·5. N’nin pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi 12’nin tam katıdır?
Bu soruda hata mı var?2a=48 ve b pozitif tam sayı olsun. EBOB(a,b)=12, EKOK(a,b)=180 koşulları aynı anda isteniyor. Hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?3a<b pozitif tam sayılarında EBOB(a,b)=6 ve EKOK(a,b)=210. a+b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır?
2360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
3N=2³·3²·7 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
4N=2⁴·3³·5 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden kaç tanesi 6’ya tam bölünmez?
572=2³·3² ve 120=2³·3·5 olduğuna göre EBOB(72, 120) kaçtır?
660=2²·3·5 ve 126=2·3²·7 olduğuna göre EKOK(60, 126) kaçtır?
7a<b pozitif tam sayılarında EBOB(a, b)=4 ve EKOK(a, b)=72’dir. a+b toplamının alabileceği bütün değerlerin toplamı kaçtır?
8EBOB(6, 10, 15)=1’dir. EKOK(6, 10, 15) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
9a<b pozitif tam sayıları için EBOB(a, b)=12 ve a+b=72’dir. Bu koşulları sağlayan kaç farklı (a, b) çifti vardır?
10Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
Aklında kaldı mı?
EBOB ve EKOK’ta min/max asal üs seçiminin nedeni nedir?
Ortak bölen iki sayının da üs sınırını aşamaz: min. Ortak kat her iki sayının çarpanlarını taşımalı: max. Sayıda olmayan asalın üssü0 alınır.
Aralarında asal iki pozitif tam sayı mutlaka iki asal sayı mıdır? 1’in konumu nedir?
Hayır; örneğin 8 ve15 bileşiktir ama ortak bölenleri yalnız1. 1 asal değildir, fakat her pozitif tam sayıyla aralarında asaldır. 0 asal değildir; bu dersin EBOB/EKOK modelleri pozitif sayılara sınırlandırılmıştır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.