hepnotArdışık seçim: koşullu çarpma, ayrık yollar ve bağımsızlık
Konunun mantığı
İlk aşamadaki A ile ikinci aşamadaki Bnin birlikte olasılığını hesaplarken ikinci koşulu açık tutarız. P(A)>0 ise P(B|A)=P(A∩B)/P(A) tanımından P(A∩B)=P(A)P(B|A) çıkar. İki aşama var diye koşulsuz iki oranı doğrudan çarpmayız. Burada A/B olayları bütün sıralı deneyin olaylarıdır; ikinci aşamanın olasılığı ilk sonuçla değişebilir.
Sonlu tekrarsız seçimde ilk seçilen nesne havuzdan çıkarılıyorsa sonraki havuzun toplamı ve kategori sayıları güncellenir. İlk X seçilmişse X sayısı azalır; ilk Y seçilmişse başka kategori azalır. Her kalan nesnenin eş seçildiği ayrıca verilmelidir. Sıralı iki çıktının doğrudan sayımıyla kontrol yaparken aynı nesnenin iki kez görünmesine izin vermemek bu modelin parçasıdır.
Nesne yerine konup aynı havuz yeniden kurulsa bile bağımsızlığı yalnız yerine koyma sözcüğüne dayandırmayız. Her ikinci seçimin, ilk sonucu ne olursa olsun aynı eş seçilim dağılımıyla yapılması burada açık model varsayımıdır. Bu koşul altında kategori olayları için P(B|A)=P(B) olur ve çarpım P(A)P(B)ye sadeleşir. Seçici ilk sonuca göre ikinci seçim ağırlıklarını değiştirirse fiziksel iade bulunması bu eşitliği garanti etmez.
Bir sonuca birden fazla yoldan ulaşılabiliyorsa her yolun aşama olasılıklarını koşullu çarpar, birbirini dışlayan yolları toplarız. Tam bir X için XY ve YX yolları ayrıdır; XXyi eklemek koşulu değiştirir. Farklı dallardan sonraki başarı oranları eşit olmak zorunda değildir; önceki dal olasılıkları da ağırlık olarak çarpıma girer. Dal başına başarı oranlarının basit aritmetik ortalaması yalnız dal ağırlıkları eşitse uygundur.
Ayrık olaylar birlikte gerçekleşmez; P(A∩B)=0dır. Eğer iki olayın da olasılığı pozitifse P(A)P(B)>0 olduğu için bağımsız olamazlar. Bağımsızlık birlikte gerçekleşmeme değil, olasılık dağılımının belirtilen olay bilgisiyle değişmemesi koşuludur. Olasılığı0 olan sınır olaylar çarpım tanımıyla ayrıca ele alınabilir; burada kullanılan koşullu ifadelerde pozitif payda şartını koruruz. Bu dar giriş çok olayın karşılıklı bağımsızlığını veya bütün ileri olasılık modellerini tamamlamaz.
Birlikte olasılık P(A)P(B|A)dır; yalnız bağımsızlıkta P(A)P(B). İade sonrası aynı dağılımla ilk sonuçtan bağımsız seçim varsayımı açık olmalı. Ayrık durum yolları toplanır. İki pozitif olasılıklı ayrık olay bağımsız değildir.
Adım adım bir örnek
Özgün modelde farklı kimlikli5 kaydın3ü X,2si Y etiketli; her biri tek etiket taşır. İki kayıt sırayla, yerine konmadan seçilir. Her aşamada kalan her kayıt eş olasılıklıdır. Tam olarak bir X gelme olasılığını yol ve sıralı çift sayımıyla bulun.
İki ayrık yolun koşullu çarpımları
- XY yolu:(3/5)(2/4)=3/10. İlk Xden sonra dört kayıtta iki Y kalır.
- YX yolu:(2/5)(3/4)=3/10. İlk Yden sonra dört kayıtta üç X kalır.
- Tam bir X olayı bu iki ayrık yolun birleşimi;3/10+3/10=3/5.
Sınır: İade yok ve her kalan kayıt eş seçiliyor. XY ile YX aynı sıra değildir; fakat olay ikisini de içerir.
Kimlikli sıralı çiftleri say
- Beş farklı ilk kayıt ve ondan farklı dört ikinci kayıt:20 eş olasılıklı sıralı çift.
- Önce X sonra Y için3·2=6; önce Y sonra X için2·3=6 uygun çift.
- 12/20=3/5. Bu kimlikli çift sayımı koşullu çarpımla aynı seçilim modelini kullanır.
Sınır: Etiket dizileri XY,YX,XX,YY eş olasılıklı kabul edilmez. Temel çıktılar farklı kimlikli kayıt çiftleridir.
Kayıt iade edilip ikinci seçim ilk sonuçtan bağımsız aynı eş dağılımla yapılsaydı hangi paydalar ve kategori sayıları değişirdi?
Hatayı bul
“İlk seçilen kaydı yerine koydum; sonra ikinci seçimi ilk etikete göre farklı ağırlıklarla yaptım. İade ettiğim için iki seçim kesin bağımsızdır.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Havuzun fiziksel olarak yenilenmesini, ikinci seçim dağılımının ilk sonuçtan bağımsız kalmasıyla aynı koşul saymak.
İade kategori sayılarını eski hâline getirebilir; seçim ağırlıkları ilk etikete göre değişiyorsa P(B|A) ile P(B) ayrıca incelenir. Bu dersin bağımsız iade modelinde aynı eş dağılımla yeniden seçim açık varsayımdır; yalnız iade sözcüğünden gelmez.
Çalışılmış3X/2Y modelinde ilk kayıt iade edilip ikinci seçim ilk sonuçtan bağımsız aynı eş dağılımla yapılsın. Tam bir X olasılığı ve etiket yollarının ağırlıkları nasıl değişir?
XY=(3/5)(2/5)=6/25, YX=(2/5)(3/5)=6/25; toplam12/25. Önceki3/5 sonucu artık geçerli değildir. XX=9/25,YY=4/25 olduğundan dört etiket yolu yine eş olasılıklı değildir; toplamları1dir.
Dersin soruları
1Kurmaca7 farklı kaydın4ü X,3ü Y; her kayıt tek etiketli. İki sıralı seçimde her mevcut kayıt eş olasılıkla seçiliyor. Model I:ilk kayıt yerine konur ve ikinci seçim ilk sonuçtan bağımsız aynı eş dağılımla yapılır. Model II:ilk kayıt iade edilmez. (I ve IIde iki X gelme olasılığı) hangisidir?
Bu soruda hata mı var?2Özgün iki aşamalı yazılım modelinde ilk dal H olasılığı2/5, L olasılığı3/5tir; dallar ayrık ve tüm olasılıkları kapsar. Başarı olasılığı H koşulunda1/4, L koşulunda3/4. Sonuçta başarı olasılığı kaçtır?
Bu soruda hata mı var?3Aynı deneyde A ve B ayrık, P(A)=2/5 ve P(B)=1/4. Hangisi bu iki olayın bağımsızlığı için uygun değerlendirmedir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir firmada her ürün sırayla iki kalite kontrolünden geçer. A olayı ürünün ilk kontrolü geçmesi, B olayı ikinci kontrolü geçmesidir. P(A)=0,8 ve P(A∩B)=0,6 olarak biliniyor. İlk kontrolü geçen bir ürünün ikinci kontrolü de geçme olasılığı P(B|A) kaçtır?
2Bir kurulda 10 adaylık listede 6 kadın ve 4 erkek aday vardır. Adaylar eş olasılıkla ve tekrarsız seçilerek önce başkan, sonra başkan yardımcısı belirleniyor. Başkanın kadın, yardımcının erkek olma olasılığı kaçtır?
3Bir çekmecede 5 mavi ve 3 sarı kalem vardır; her aşamada kalan her kalem eş olasılıkla seçiliyor. Kalemler geri konmadan sırayla üç kez çekiliyor. Üçünün de mavi olma olasılığı kaçtır?
4Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi kart vardır. İlk çekilişte her kart eş olasılıkla seçilir ve çekilen kart torbaya geri konur. İkinci çekilişte seçici, ilk kart kırmızı çıkmışsa kırmızı kartların her birinin ağırlığını 2 katına çıkarır (mavilerin ağırlığı 1 kalır); ilk kart mavi çıkmışsa tüm kartların ağırlığı eşittir. Seçilme olasılığı ağırlıkla orantılıdır. İki çekilişte de kırmızı gelme olasılığı kaçtır?
5Bir torbadan iki kez kart çekiliyor ve iki aşamanın tam olarak (yaklaşıklık olmadan) bağımsız modellenip modellenemeyeceği soruluyor. Hangi uygulamada ikinci çekilişin dağılımı ilk sonuçtan bağımsız kalır?
6Bir depoda üç raf vardır. Raf 1'de 30, Raf 2'de 30, Raf 3'te 60 ürün bulunur ve ürünlerden biri eş olasılıkla seçilir. Rafların ürünlerinin kusursuz olma oranları sırasıyla 0,90; 0,96 ve 0,99'dur. Seçilen ürünün kusursuz olma olasılığı kaçtır?
7Bir parça en çok iki kez test edilir. İlk testi geçme olasılığı 0,9'dur; ilk testi geçen parça tekrar test edilmez. İlk testi geçemeyen parça bir kez daha test edilir ve bu ikinci testte (ilk sonuç bilindiğinde) geçme olasılığı 0,5'tir. Parçanın en az bir testi geçme olasılığı kaçtır?
8Adil bir zar atılıyor. A olayı çift sayı gelmesi, B olayı 4 ya da daha büyük bir sayı gelmesidir. P(B|A) değerini ve A ile B'nin bağımsız olup olmadığını birlikte doğru veren seçenek hangisidir?
9Bir kargo paketi tek bir günde teslim edilir. A olayı paketin Pazartesi, B olayı Salı teslim edilmesidir; olaylar ayrıktır. P(A)=0,4 ve P(B)=0,35'tir. (P(A∩B) ; P(B|A)) ikilisi hangisidir?
10Bir kutuda 4 sarı, 4 mor ve 2 yeşil boncuk vardır; her aşamada kalan her boncuk eş olasılıkla çekiliyor. Boncuklar geri konmadan üç kez çekiliyor. Sırasıyla sarı, yeşil, sarı gelme olasılığını veren çarpım hangisidir?
Aklında kaldı mı?
Genel iki olay çarpma kuralı ile bağımsız durumda sadeleşmesi nedir?
P(A)>0 için P(A∩B)=P(A)P(B|A). Bağımsızlık varsa P(B|A)=P(B) ve çarpım P(A)P(B) olur. Sıfır koşulda bu koşullu oranı kullanmayız.
İki pozitif olasılıklı ayrık olay neden bağımsız olamaz?
Ayrıklık kesişim olasılığını0 yapar; pozitif marjinal olasılıkların çarpımı0 değildir. Bağımsızlığın çarpım eşitliği sağlanmaz. Ayrık ve bağımsız aynı kavram değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.