hepnotTutarlılık, eşdeğerlik ve çıkarım: üç farklı model testi
Konunun mantığı
Bu derste p,q,r gibi kapalı yargıları iki değerli önerme mantığıyla ele alırız. Mantıksal atamalar, verilen harflere 0 veya 1 verilmesidir; gerçek olayların olasılık dağılımını ölçmez. Bir önermeler kümesi, üyelerinin hepsini birlikte doğru yapan en az bir atama varsa tutarlıdır. Ayrı ayrı her önermenin bir doğru satırı olması yeterli değildir; aynı satırda hepsinin doğru olması aranır.
İkili uyumdan bütün kümenin uyumu çıkmayabilir: farklı çiftleri farklı atamalar doğru yapabilir. Bütününü denetlemek, aynı ortak atama aramaktır. Tutarlı olmak da bütün ifadelerin gerçek dünyada doğru olduğu anlamına gelmez; yalnız birlikte doğru olmaları model içinde mümkündür. Bir formül hiçbir atamada doğru olmuyorsa tutarsızdır; her atamada doğruysa totolojidir. Burada totoloji terimi bir formülün özelliği, geçerli çıkarım ise öncül–sonuç ilişkisinin özelliğidir.
İki formül, aynı harflere yapılan her atamada aynı doğruluk değerini veriyorsa mantıksal eşdeğerdir. İkisinin bir olayda veya bazı satırlarda doğru çıkması yeterli değildir. Eşdeğerlik çift yönlü çıkarımı gerektirir; yalnız Fden Gye geçilebilmesi Gden Fye de geçileceğini göstermez. Tam atama taraması, harflerin ve bağlaçların sabit olduğu sonlu doğruluk fonksiyonunu denetleyebilir; doğal cümlenin bu formülle doğru temsil edildiği ayrıca kontrol edilir.
Bir sonuç, öncüllerin hepsi doğruyken yanlış olamıyorsa onlardan mantıksal olarak çıkar. Geçersizliği göstermek için bütün öncülleri koruyan yanlış sonuçlu tek atama yeterlidir. Öncüllerden biri yanlışken sonucun ne olduğuna bakmak bu testi bozmaz veya doğrulamaz. Klasik mantıkta tutarsız öncüllerin birlikte doğru olduğu atama bulunmadığı için bu anlamsal ölçüte göre her formül o öncüllerden çıkar; bu teknik durum, gerçek dünyada istenen her iddiaya güvenmek için yöntem değildir.
Çözümde üç soruyu karıştırma: birlikte doğru olabiliyorlar mı, bütün atamalarda aynı değeri veriyorlar mı, öncüller doğruyken sonuç yanlış olabiliyor mu? Kısaltılmış denetimde öncüllerin zorladığı değerler izlenebilir; tam taramada bütün atamalar kaydedilir. Örneklerde bağımsız harflere tüm atamalar izinlidir; ek ilişki varsa açıkça öncül olarak yazılır. Araçla bitmiş tablo kontrolü, öğrenci başarısı veya insan editör onayı yerine geçmez.
Tutarlılık en az bir ortak doğru atama; eşdeğerlik bütün atamalarda aynı değer; çıkarım ise bütün öncüller doğruyken yanlış sonucun olanaksızlığıdır. Üç test farklı sorular sorar.
Adım adım bir örnek
Kurmaca sembolik görevde r→s, r∨t ve ¬s öncülleri veriliyor. Harfler bağımsız iki değerli yargılardır; ∨ kapsayıcı veya, → maddi koşuldur. Öncüllerin ortak modelini ve t sonucunu denetleyin; bu bir fiziksel devre veya gerçek iş akışı değildir.
Öncüllerin zorladığı değerleri izle
- ¬s doğruysa s=0. r→s de doğru kalacaksa r=0 olmalı.
- r∨t doğru ve r=0 olduğuna göre t=1.
- r=0,s=0,t=1 bütün öncülleri birlikte doğrular; küme tutarlıdır ve t zorunlu çıkar.
Sınır: Koşulun neden ilişkisi değil açık maddi koşul tanımı kullanıldı.
Ortak atamaları filtrele
- Üç bağımsız harfin sekiz atamasını düşün.
- Önce s=0 şartını; sonra r→s ve r∨t doğruluğunu birlikte süz.
- Yalnız (r,s,t)=(0,0,1) kalır. Öncüller doğruyken t=0 olan karşımodel yoktur.
Sınır: Bu üç harfli formüller için tüm atamalar taranır; başka formüller veya doğal dil anlamı kendiliğinden denetlenmiş olmaz.
t doğru bulunan tek ortak satır, tnin kendi başına totoloji olduğunu neden göstermez?
Hatayı bul
“Her iki önerme için birlikte doğru bir satır buldum; demek ki eşdeğerler.” İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Bir ortak doğru atamanın tutarlılık için yeterliliğini, bütün atamalarda aynı değeri gerektiren eşdeğerlik yerine kullanmasıdır.
Bir ortak doğru atama yalnız tutarlılık tanığıdır. Eşdeğerlik için bütün aynı-harf atamalarında doğruluk sütunları eşleşmelidir; tek uyuşmazlık eşdeğerliği bozar.
Çalışılmış sembolik görevde ¬s öncülü kaldırılıp yalnız r→s ve r∨t bırakılırsa t sonucu zorunlu kalır mı?
Hayır. r=1,s=1,t=0 ataması iki öncülü doğru, t sonucunu yanlış yapar. İki öncül hâlâ tutarlıdır fakat t artık zorunlu çıkarım değildir; tutarlılıkla bu sonucun geçerliliği ayrı konulardır.
Dersin soruları
1p ve q bağımsız iki değerli harflerdir. F=p∨q, G=¬p∨q, H=¬q olsun. Tutarlılık, seçilen formüllerin hepsinin aynı atamada doğru olabilmesidir. {F,G,H} ve ikili alt kümeleri için hangisi doğrudur?
Bu soruda hata mı var?2İki değerli mantıkta F=p∨(p∧q) olsun. p,q için dört 0/1 atamasının tümüne izin verilir; ∨ kapsayıcı veya, ∧ ve bağlacıdır. F ile bütün atamalarda eşdeğer olan hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3p,q,r bağımsız iki değerli harflerdir. Öncüller p↔q, ¬p∨r ve ¬rdir; ↔ iki harfin aynı doğruluk değerini taşıması, ∨ kapsayıcı veya anlamındadır. Başka öncül yoktur. Hangi sonuç bu öncüllerden zorunlu çıkar?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1p ve q kurmaca bağımsız yargılardır: p “Gökyüzü yeşildir.”, q “Deniz kırmızıdır.” (gerçekte ikisi de yanlıştır; burada yalnız mantıksal atamalar sınanıyor). {p, q} kümesi için hangisi doğrudur?
2F1=p→q, F2=p∨r ve F3=¬q formüllerinden oluşan kümenin tutarlı olduğunu göstermek için hangisi yeterli bir kanıttır?
3F=p∧q ve G=p olsun. Bir öğrenci “F’nin doğru olduğu her satırda G de doğrudur; demek ki F ile G mantıksal eşdeğerdir” diyor. Bu sonuç için hangisi doğrudur?
4F=¬(p→q), G=p∧¬q ve H=¬p→¬q formülleri veriliyor; p ve q bağımsızdır ve dört atamanın hepsine izin verilir. Hangisi doğrudur?
5Öncüller p→q ve q, sonuç p’dir; p ve q bağımsız harflerdir. Hangi seçenek bu çıkarımın geçersiz olduğunu gösterir?
6Öncüller p, ¬p∨q ve ¬q’dur; r bu öncüllerde geçmeyen bağımsız bir harftir ve sonuç olarak r öneriliyor. Klasik iki değerli mantıkta bu çıkarım için hangisi doğrudur?
7S=(p→q)∨(q→p) formülü her atamada doğrudur. Klasik iki değerli mantıkta S’nin hangi öncül kümelerinden çıktığı soruluyor. Hangisi doğrudur?
8F=p→q ve G=q→p formülleri için üç soru soruluyor: (a) {F, G} kümesi tutarlı mı? (b) F ile G her atamada aynı değeri verir mi? (c) F’den G çıkar mı? Yanıtların sırası hangisidir?
9Öncüller p∨q ve p, sonuç ¬q’dur. Bir öğrenci “p=1, q=0 satırında iki öncül ve sonuç birlikte doğru olduğundan ¬q çıkar” diyor. Bu gerekçe için hangisi doğrudur?
10Öncüller p∨q, ¬p∨r ve ¬q∨r; sonuç r’dir. Sonucu yanlış yapan satırdan başlayarak (r=0) kısaltılmış denetim yapan bir öğrenci gerekçesini yazıyor. Hangi gerekçe doğrudur?
Aklında kaldı mı?
Tutarlılık ile eşdeğerlikte atama şartları nasıl farklıdır?
Tutarlılık en az bir ortak doğru atama ister. Eşdeğerlik her atamada aynı doğruluk değeri ister; ikisinin birlikte yanlış olduğu satırlar da karşılaştırılır.
Bir çıkarıma karşımodel oluşturmak için hangi satırı ararız?
Bütün öncüllerin doğru ve sonucun yanlış olduğu satırı. Bazı öncüllerin yanlış olduğu satır tek başına karşımodel değildir.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.