YKS · GEOMETRİ

Yamukta alan: iki paralel taban, tek dik uzaklık

Bu derste Paralel tabanları ve bu doğrular arasındaki dik yüksekliği ayırt ederek alanı hesaplar. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta tabanı tanır; alanla uzunluk bilgisini ilişkilendirir.

Taslak ders · branş editörü incelemesi sürüyor. Hata görürsen bize bildir.

Hepnot tarafından yapay zekâ desteğiyle hazırlandı · Taslak sürümü: 16 Ekim 2026

TEMEL FİKİR

Konunun mantığı

Yamuk alanında ortak h ve orta taban. AB∥CD tabanları arasındaki dik uzaklık h dik açı kutusuyla, E ve F orta noktaları eş parça çentikleriyle verilir; EF orta tabanı m=(a+b)/2’dir. İkinci panelde köşegenin ayırdığı iki üçgenin tabanları farklı renkte, ortak h aynı renktedir. — **Yamuk alanında ortak h ve orta taban.** AB∥CD tabanları arasındaki dik uzaklık h dik açı kutusuyla, E ve F orta noktaları eş parça çentikleriyle verilir; EF orta tabanı m=(a+b)/2’dir. İkinci panelde köşegenin ayırdığı iki üçgenin tabanları farklı renkte, ortak h aynı renktedir. Çizim ölçekli değildir; uzunluklar şekilden ölçülmez, soru verilerini temsil etmez. Yamuk ikizkenar değildir ve yan kenarlar tabanlara dik değildir. Kapsayıcı tanımda paralelkenar da yamuktur; bu çizim bir paralel çiftli genel örnektir.

Bu derste yamuk, en az bir çift karşı kenarı paralel olan dejenere olmayan dışbükey dörtgendir. Bu kapsayıcı tanımda paralelkenar da özel bir yamuktur. ABCD köşeleri sırayla verilsin ve AB∥CD olsun; seçilen bu paralel kenarlara taban, uzunluklarına a ve b diyelim. Genel yamukta AD ile BC yan kenarlardır; eşit olduklarını veya tabanlara dik olduklarını varsayamayız.

Yükseklik h, iki paralel taban doğrusu arasındaki dik uzaklıktır ve pozitiftir. Eğik bir yan kenar h yerine geçmez; ancak o kenar tabanlara dikse uzunluğu yükseklik olur. Yükseklik ayağı bir kenarın uzantısına düşse de paralel doğrular arasındaki dik uzaklık değişmez. Birimlerin aynı olması gerekir: santimetre uzunluklardan alan santimetrekare çıkar.

Yamuğun alanı S=(a+b)h/2 olur. Nedenini görmek için bir köşegen çiz: oluşan iki üçgenin birinin tabanı a, ötekinin tabanı b; her ikisinin bu tabana ait yüksekliği paralel doğrular arasındaki h uzaklığıdır. Alanları ah/2 ve bh/2 olarak toplanır. Formülde tabanların farkı değil toplamı bulunmasının nedeni iki üçgenin alanını birlikte saymaktır.

AD ve BC yan kenarlarının orta noktaları E ve F ise EF orta tabandır. EF tabanlara paralel, uzunluğu m=(a+b)/2 olur; dolayısıyla S=mh yazılabilir. Her paralel iç kesit orta taban değildir: iki uçta orta nokta koşulu gerekir. Köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parça da bu tanımdaki orta tabanla karıştırılmamalıdır. Tabanların ortalaması, alan için kullanılacak tek eşdeğer taban uzunluğudur.

Alan ve yükseklik verilirse önce tabanlar toplamını bulabiliriz: a+b=2S/h. Bu toplam tek başına iki tabanı ayrı ayrı belirlemez; bir taban ya da ek bir ilişki gerekir. Tabanlar ile yükseklik aynı kaldığında üst tabanın yatay konumu değişebilir; dışbükey yamuk korunuyorsa alan yine aynıdır. Ancak yan kenarlar ve çevre aynı kalmak zorunda değildir; alan hesabından şekli ikizkenar sayma.

KISACA

AB∥CD tabanlarının uzunlukları a,b; aralarındaki dik uzaklık h ise S=(a+b)h/2. Yan kenarların orta noktalarını birleştiren orta taban m=(a+b)/2 ve S=mh. Eğik kenarı yükseklik sanma; her paralel kesiti orta taban kabul etme.

ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK

Adım adım bir örnek

Bir dışbükey yamuğun paralel tabanları 17 cm ve 9 cm; bu taban doğruları arasındaki dik uzaklık 6 cm. Alanı iki temsille bulunuz.

Köşegenle iki üçgenin alanı

Köşegen çizilince 17 cm ve 9 cm tabanlı iki üçgen oluşur; her tabana ait yükseklik 6 cm.
Alanlar 17×6/2=51 ve 9×6/2=27; toplam 78 cm².

Sınır: 6 cm verisi taban doğrularına dik uzaklık olmalıdır; eğik yan kenar için aynı işlem doğrudan yapılamaz.

Orta tabanla eşdeğer alan hesabı

Yan kenarların orta noktalarını birleştiren parçanın uzunluğu (17+9)/2=13 cm.
Alan=orta taban×yükseklik=13×6=78 cm².

Sınır: Bu, aynı alan bağıntısının orta taban temsilidir; rastgele bir paralel kesitin uzunluğu 13 cm kabul edilmez.

İlk yöntemde neden her iki üçgenin de yüksekliği 6 cm? İkinci yöntemde 13 cm, iki tabandan birinin uzunluğu mu yoksa onların ortalaması mı?

HATA AVI

Hatayı bul

“Yamuğun tabanları 11 ve 7 cm, yan kenarı 5 cm olduğuna göre alanı (11+7)×5/2=45 cm²dir.” Verilenlerde diklik yoksa ilk hata nedir?

İlk hatayı göster

İlk hata: Yan kenarın tabanlara dik olduğu verilmeden bu kenarı yükseklik yerine kullanmak.

Alan için taban doğruları arasındaki dik uzaklık gerekir. Yan kenar 5 cm tek başına h=5 demez; 45 cm² sonucu ancak bu kenar tabanlara dikse gerekçelenir. Genel durumda ek dik uzaklık/açı bilgisi aranır.

Paralel tabanlar 18 ve 6 cm, dik yükseklik 8 cm korunurken üst taban yatayda kaydırılıyor; dışbükey yamuk korunuyor. Alan ve çevre hakkında ne söylenebilir?

Alan (18+6)×8/2=96 cm² kalır; formülde yatay kayma yoktur. Yan kenarlar ve dolayısıyla çevre değişebilir. Kayma, ikizkenarlık ya da diklik koşulu vermez.

TEKRAR KARTLARI

Aklında kaldı mı?

Yamukta alan bağıntısındaki h hangi uzunluktur?

Seçilen iki paralel taban doğrusu arasındaki dik uzaklıktır. Eğik yan kenarın uzunluğu genellikle h değildir.

Orta taban hangi noktaları birleştirir ve alanla nasıl ilişkilidir?

İki yan kenarın orta noktalarını birleştirir; tabanlara paraleldir. m=(a+b)/2 ve alan=m×h. Yalnız paralellik orta nokta koşulunu sağlamaz.

Kaynak ve kontrol durumu

Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.

Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.

Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.