hepnotÜçgende açı ve kenar: karşılık, toplam ve sıkı sınır
Konunun mantığı
Bu derste düzlemde, aynı doğru üzerinde olmayan üç noktanın oluşturduğu Öklid üçgenini ele alıyoruz. Kenarlar pozitif uzunluklardır, iç açılar 0 ile 180 derece arasındadır. Üç noktanın doğrusal olması sınırda çökmüş bir şekil verir; bunu pozitif alanlı üçgenle aynı kabul etmiyoruz. Çizimin görünüşünden ikizkenarlık veya diklik varsaymayacağız.
Üç iç açının toplamı 180 derecedir. Bir köşeden karşı kenara paralel yardımcı doğru çizmek, diğer iki açıyı yöndeş/iç ters ilişkileriyle o köşedeki doğru açıya taşıyarak bu toplamı açıklar. Burada kullanılan geometri düzlemsel Öklid geometrisidir; başka yüzeylerdeki üçgenler için aynı toplamı koşulsuz ileri sürmüyoruz.
Açı ile karşı kenarı eşleştir: A köşesinin karşısında BC, B’nin karşısında AC, C’nin karşısında AB vardır. Aynı üçgen içinde büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur; tersine büyük kenarın karşısındaki açı da büyüktür. Eşitlik durumunda karşılıklı açılar/kenarlar da eşittir. Köşeye komşu bir kenarı yanlış eşleştirmek sıralamayı bozar.
Pozitif a,b,c uzunluklarının üçgen oluşturması için her iki kenarın toplamı üçüncüden büyük olmalıdır. İki sabit kenar a,b verildiğinde koşullar |a−b|<c<a+b olarak birleştirilebilir. Hem alt hem üst sınır sıkıdır. c=a+b veya c=|a−b| durumunda kenarlar tek doğru boyunca kapanır; dejenere olmayan üçgen oluşmaz.
En uzun kenar önceden biliniyorsa yalnız diğer ikisinin toplamıyla bu kenarı karşılaştırmak yeterlidir; pozitiflik ve en uzun olma bilgisi diğer koşulları sağlar. Bilinmeyen kenarı koşulsuz en uzun sayma. Uzunluk tam sayıysa önce gerçek aralığı bul, sonra içindeki tam sayıları seç. İki kenar uzunluğu tek başına bütün açıları belirlemez; ek veri olmadan resme bakıp bir açıyı eşitleyemezsin.
Pozitif alanlı Öklid üçgeninde A+B+C=180°. Büyük kenarın karşı açısı büyüktür; köşe/karşı kenar eşleştirmesini koru. Pozitif a,b,c için |a−b|<c<a+b; sınırlar dahil değildir. En uzun kenarı veya ikizkenarlığı çizimden varsayma.
Adım adım bir örnek
İki kenarı 4 ve 7 birim olan dejenere olmayan bir üçgenin üçüncü kenarı x tam sayı. x’in alabileceği değerleri bulunuz.
Üç eşitsizliği birleştir
- 4+7>x →x<11;4+x>7 →x>3;7+x>4 →x>−3.
- Pozitiflik ve bütün koşullar birlikte 3<x<11 verir.
- Tam sayılar 4,5,6,7,8,9,10 olur.
Sınır: Sınırları dahil etmek doğrusal/dejenere şekilleri ekler; x’in tam sayı olması ayrı veridir.
En uzun kenara göre iki durum
- x≥7 ise en uzun kenar x:4+7>x ile 7≤x<11.
- x≤7 ise en uzun kenar 7:4+x>7 ile 3<x≤7.
- İki durumun birleşimi 3<x<11; tam sayılar yine 4 ile 10 arasındadır.
Sınır: Durumlara ayırmadan x’in daima en uzun kenar olduğunu varsayamazsın; ortak x=7 sınırı birleşimde bir kez sayılır.
İkinci yol tek bir üçgen eşitsizliği kullanıyor gibi görünse de hangi ek koşulu her dalda koruyor? x=3 ve x=11 neden iki yöntemde de dışarıda?
Hatayı bul
Bir öğrenci4,6ve10birim uzunlukları “4+6=10 olduğu için üçgen oluşturur” diye kabul ediyor. İlk hata nedir?
İlk hatayı göster
İlk hata: Dejenere olmayan üçgende toplamın üçüncü kenardan sıkı büyük olması gerekirken eşitliği kabul etmek.
4+6=10 olduğunda iki kısa parça tek doğru üzerinde uzun kenarı ancak tamamlar. Pozitif alanlı üçgen için 4+6>10 gerekirdi; bu uzunluklar uygun değildir.
Çerçeve sorusunda üçüncü kenarın tam sayı olması şartı kaldırılırsa hâlâ9 seçenek mi vardır?
Hayır. Gerçek uzunluklarda 4<x<14 aralığının her değeri seçilebilir; sonsuz sayıda olasılık vardır. Üçgenin sıkı sınırları aynı kalır, yalnız sayı kümesi değişir.
Dersin soruları
1Dejenere olmayan bir ABC üçgeninin iç açıları derece cinsinden A=2 x+15, B=x+25, C=4 x. C açısının ölçüsü kaç derecedir?
Bu soruda hata mı var?2Bir ABC üçgeninde |AB|=9, |AC|=6, |BC|=8 birim. İç açıların küçükten büyüğe sıralaması hangisidir?
Bu soruda hata mı var?3Bir üçgen çerçevenin iki kenarı 5 ve 9 birim. Üçüncü kenar x pozitif tam sayı seçilecek; çerçeve dejenere olmayacak. Kaç farklı x seçilebilir?
Bu soruda hata mı var?Kendini dene
Tüm soruları cevapla. Bitirince puanını ve zorlandığın noktaları göreceksin.
1Bir ABC üçgeninde B açısı C açısının 2 katıdır; A açısı ise B açısından 20° küçüktür. C açısı kaç derecedir?
2Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri 3 : 4 : 5 oranındadır. En büyük iç açı kaç derecedir?
3ABC üçgeninde m(A)=50° ve m(B)=60°’dir. Kenar uzunlukları için hangisi doğrudur?
4ABC üçgeninde |AB|=7, |BC|=7 ve |AC|=5 birimdir. İç açılar için hangisi doğrudur?
5Bir üçgenin iki kenarı 3 ve 9 birimdir. Üçüncü kenar aşağıdakilerden hangisi olabilir?
6Bir üçgenin kenar uzunlukları 5, 8 ve x birimdir (x tam sayı). x, üç kenar içinde kesinlikle en uzun olduğuna göre x kaç farklı değer alabilir?
7ABC üçgeninde |AB|=5 ve |AC|=8 birimdir; başka ölçü verilmemiştir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
8ABC üçgeninde m(A)=40° ve m(B)=65°’dir; başka ölçü verilmemiştir. Aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
9İki kenarı 5 ve 12 birim olan bir üçgenin üçüncü kenarı tam sayıdır ve üçgenin çevresi çift sayıdır. Üçüncü kenar kaç farklı değer alabilir?
10ABC üçgeninde m(A)=2x+10°, m(B)=3x−5° ve m(C)=x+25°’dir. En kısa kenarın karşısındaki açı kaç derecedir?
Aklında kaldı mı?
ABC üçgeninde en uzun kenar AB ise en büyük iç açı hangisidir?
AB’nin karşı köşesindeki C açısıdır. Köşeye komşu kenarlarla karşı kenarı karıştırma.
İki kenar a,b sabitken üçüncü kenar c hangi koşulu sağlar?
Pozitif kenarlı, dejenere olmayan Öklid üçgeninde |a−b|<c<a+b. İki sınır da dışarıdadır; tam sayı kısıtı ayrıca uygulanır.
Kaynak ve kontrol durumu
Bu ders Hepnot için hazırlandı; üçüncü taraf soru kitabından soru veya görsel aktarılmadı. Bu, başka içerikle benzerlik olmadığının garantisi değildir.
Branş editörü incelemesi ve müfredat eşleştirmesi sürüyor; bu nedenle ders taslak olarak işaretlidir.
Müfredat için başvurulacak kaynak: MEB öğretim programları.